Лекции по газовой механике. Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
§5. Характеристики и слабые разрывы. Для уравнений газовой динамики, как и для любой системы квазили- нейных уравнений, вводится понятие характеристик. Рассматривается сис- тема в матричном виде (3.10) и определяется характеристическая матрица 0 0 0 0 0 0 ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 t x y z A A A A A b где u v w , 1 2 b a . Вектор , , , называется ха- рактеристическим вектором системы, если det 0. A Так как 3 3 2 2 2 2 2 det A b a , то относительно получается алгеб- раическое уравнение 5-ой степени. Имеется 5 вещественных корней: один трехкратный корень 0 и два простых корня 1 2 2 2 2 0 a . Ес- ли число действительных корней характеристического уравнения, учитывая кратность, и число левых собственных векторов совпадает с порядком сис- темы, то система (3.10) называется гиперболической. Поверхность ( , , , ) 0 h t x y z называется характеристической, если ее нормаль в каждой точке совпадает с характеристическим вектором ( , , , ) t x y z h h h h . Таким образом, трем действительным корням соответству- ют 3 уравнения с частными производными первого порядка для действи- тельных характеристик 0 : 0, t x y z C h uh vh wh (5.1) 1 2 2 2 2 : 0. t x y z x y z C h uh vh wh a h h h (5.2) Решение характеристического уравнения задает поверхность в 4 ( , ) R t x с единичным нормальным вектором cos sin n , где – орт 38 оси t, n – нормаль к C(t) в 3 R , C(t) сечение плоскостью t = const, 2 2 2 2 sin , угол между векторами и Для величины имеется представление cos sin n u . Так же как в §4 для скорости n C перемещения поверхности ( ) C t в направлении норма- ли справедливо соотношение sin cos 0. n C Следовательно, ( )sin n n u C и уравнения характеристик записываются в виде C u C C u C a n n n n 0 0 0 : ; : (5.3) Через характеристику C 0 газ не течет, в пространстве R 4 она является гео- метрическим местом мировых линий частиц и называется контактной ха- рактеристикой. Через характеристики C газ течет, причем относительно характери- стики по нормали к ней – со скоростью звука. Они называются звуковыми характеристиками. Характеристики C 0 , C определяются на заданном решении уравне- ний газовой динамики. Для их однозначного определения к уравнениям (5.1), (5.2) надо задать двумерную поверхность в R 4 , через которую проходят C 0 и C , например, так h( x h x 0 0 , ) ( ). Тогда уравнение h x const 0 ( ) оп- ределяет в R x 3 ( ) начальную двумерную поверхность, через которую прой- дут характеристики h(t x const , ) Решения уравнений (5.1), (5.2) строятся методом характеристик, кото- рые для уравнений газовой динамики называются бихарактеристиками. Бихарактеристики – это кривые, которые, проходя через каждую точку дву- мерной поверхности , образуют характеристическую поверхность. Уравне- ния для бихарактеристик таковы C dx dt u 0 : ; (5.3) 39 C dx dt u a h h dh dt u h a h j t x y z j j j : , , , , , . 1 (5.4) Все бихарактеристики, выходящие из одной точки P x (t , ) 0 0 образуют характеристический коноид. Бихарактеристика для C 0 есть мировая ли- ния. Бихарактеристики для коноида C удовлетворяют системе (5.4) с на- чальными условиями x t x h t h j j 0 0 0 0 , и условиями согласования 1 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t x y z x y z h u h v h w h a h h h , где u v w a 0 0 0 0 , , , – значение известных функций в точке P. Так как точка P фиксирована, а усло- вие согласования однородно по переменным h j0 , и уравнения (5.4) допуска- ют растяжение по этим переменным, то в начальных условиях остается лишь два свободных параметра. Таким образом, двухпараметрическое семейство бихарактеристик образует двигающуюся двумерную поверхность в R 3 Упражнение 1. Показать, что характеристический коноид для посто- янного решения задается уравнением x x u t t a t t 0 0 0 2 0 2 0 2 , (5.5) которое определяет трехмерный конус в R x t 4 , . Сечение гиперплоскостью t const есть сфера в R x 3 с центром, двигающимся по прямой траекто- рии x x u t t 0 0 0 , и радиусом равным a t t 0 0 . Для дозвуковых дви- жений 0 0 u a сферы вложены друг в друга, для звуковых движений сферы касаются друг друга в одной и той же точке, для сверхзвуковых движений огибающая поверхность всех сфер образует конус. Звуковые поверхности, исходящие из начальной поверхности 0 0 0 x h при 0 t t ( 0 0 ( , ) x x - параметрическое задание начальной поверхности, т.е. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ( , )) 0, 0, 0, h x x h x h n - нормаль к начальной 40 поверхности) строятся по решению системы (5.4) с условиями 0 0 0 | t t h h Для постоянного решения получим 0 0 , h h 0 0 0 0 0 ( , ) ( )( ) x x u a n t t - параметрическое задание двигающейся поверхности. Например, для сферы 0 0 0 ( ) 0 h x x R ( в сферической системе координат 0 sin cos , x R 0 sin sin , y R 0 cos ,0 2 ,0 z R ) имеем 1 0 0 0 ( , ), h R x 1 0 0 0 0 0 (1 ( )) ( ) x x a R t t u t t или, исключая , , получим 0 0 0 0 ( ) ( ) x u t t R a t t - две двигающиеся сферы: одна «+» двигает- ся вне начальной сферы, другая «-» двигается внутри начальной сферы. Вдоль характеристик уравнения газовой динамики представляются как обыкновенные дифференциальные уравнения. Для этого вычисляют левые собственные векторы матрицы A для каждого характеристического век- тора, и действуют ими на систему (3.10). Для характеристики 0 0 : 0 C Dh ранг матрицы A равен двум и имеются три линейно независимых собственных вектора (0,0,0,0,1), ( , , , , ) h h y x 0 0 0 0 0 , ( , , , , ). 0 0 0 0 0 h h z y Умножение (3.10) на них слева дает уравне- ния, в которых дифференцирование функций u, v, w, p, S производится вдоль некоторой линии, лежащей на характеристике h x t 0 0 , : DS 0, h Du h Dv h p h p y x y x x y 0 0 0 0 0, h Dv h Dw h p h p z y z y y z 0 0 0 0 0. (5.7) 41 Для характеристики C Dh a h : 0 ранг матрицы A равен четырем. Собственный вектор таков (h , , , , ) x y z h h a h 0 . Умножение (3.10) на собственный вектор слева дает условие на характеристике C 0. a h Du a h divu h Dp a h p (5.8) Система из восьми уравнений (5.1), (5.2), (5.7), (5.8) для восьми иско- мых функций h h u, v, w, p S 0 , , , вместе с уравнением состояния образует характеристическую форму уравнений газовой динамики. Упражнение 2. Проверить, что функции u, v, w, p, S в уравнениях (5.7), (5.8) дифференцируются вдоль некоторых кривых, лежащих на соот- ветствующих характеристиках. Характеристики играют важную роль при постановке и решении крае- вых задач. Например, задача Коши для (3.10) ставится так: на некоторой ги- перповерхности задаются значения искомых функций u u x t p p x t S S x t x t 0 0 0 ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) , (5.9) и требуется определить решение в окрестности , принимающее заданные значения на . Существование условий на характеристиках означает, что данные (5.9) не могут быть произвольными, если является характеристи- кой. Кроме того, если – характеристика и выполнены условия на характе- ристике, то решение не может быть единственным. Действительно, все про- изводные можно выразить через производные вдоль кривых, лежащих в , и производные в направлении нормали к . Хотя бы одна линейная комбина- ция уравнений системы (3.10) связывает только производные, касательные к . Оставшихся уравнений недостаточно, чтобы определить все нормальные производные однозначно. Таким образом, задача Коши с данными на харак- теристике поставлена некорректно. 42 Если некоторое решение системы (3.10) ограничено характеристиче- ской поверхностью , то с другой стороны могут непрерывно примыкать другие решения, причем производные в направлении нормали к могут пре- терпевать разрыв. Поверхность R x t 4 ( , ) называется поверхностью слабого разрыва решения, если это решение и производные от решения по касательным на- правлениям к поверхности непрерывны, а производные по нормали имеют в точках разрыв первого рода. Теорема 1. Пусть является поверхностью слабого разрыва решения системы (3.10). Тогда есть характеристика на решении Доказательство. Пусть – единичный вектор нормали поверхности , – дифференцирование по направлению . Для любого направления дифференцирование вдоль раскладывается в сумму s , где s – дифференцирование в касательном к направлении. Если есть орт оси x i , то i x i s i i , , 0,1,2,3, i 0 , x t 1 , x x 2 3 , x y x z . В результате подстановки выражений для всех производных в уравнения (3.10) получается соотношение A U F , где F – гладкая функция на и в ее окрестности. Если для характеристической матрицы det A 0 , то все нормальные производные однозначно определяются, что противоречит определению слабого разрыва. Значит, det A 0 и – характеристика. Уравнения характеристик (5.1), (5.2) получены из дифференциальных уравнений газовой динамики (3.10) алгебраическими преобразованиями. По- этому они инвариантны относительно группы преобразований G 11 43 Упражнение 3. Проверить, что (5.1), (5.2) допускают преобразования группы G 11 , а также растяжение h dh и преобразование h h) ( , где – произвольная функция. Аналогичное утверждение справедливо и для урав- нений на бихарактеристики (5.3), (5.4). Показать, что поверхность слабого разрыва инвариантна относительно удвоенной на газодинамические функции группы преобразований G 11 §6. Основные краевые задачи. Квазилинейная система (3.10) или интегральная система (1.4) имеет бесконечное множество решений. Для выделения из него специальных ре- шений необходимо задавать дополнительные соотношения. Таковыми могут быть дополнительные уравнения, соотношения на поверхностях в простран- стве движения газа, предельное поведение решения, интегральные характе- ристики движения. Как правило, дополнительные соотношения получаются из физической постановки задачи, но они могут задаваться определенным видом искомого решения. Краевая задача – это способ задания искомых величин и их произ- водных на поверхностях, ограничивающих область движения газа. К таким задачам предъявляется требование корректности: в определенном функцио- нальном пространстве решение задачи должно существовать, быть единст- венным и непрерывно зависеть от дополнительных условий. Задача Коши или задача с начальными данными. Задается движение в начальный момент времени t t 0 : u x t u x x t x p x t p x x R ( , ) ( ), ( , ) ( ), ( , ) ( ), 0 0 0 0 0 0 3 (6.1) и требуется найти решение уравнений газовой динамики, принимающее при t t 0 значения (6.1). Решение задачи Коши можно искать в различных функциональных классах: в классе C А аналитических функций, в классе C бесконечно диф- 44 ференцируемых функций, в классе C k функций конечной гладкости, имею- щих непрерывные производные k-го порядка, в классе C непрерывных функций, в классе измеряемых ограниченных функций, в классах обобщен- ных функций. Теорема 1 (Коши-Ковалевской). Для любых аналитических данных (6.1) и аналитического уравнения состояния p f S ( , ) существует единст- венное аналитическое решение системы уравнений (3.5), (3.6), (3.9), удовле- творяющее начальным условиям (6.1), inf ( ) x R x 3 0 0 0 (6.2) Это решение определено в области x R t x 3 , , где x 0 , и непрерывно зависит от начальных данных (6.1) в метрике пространства ана- литических функций. Доказательство. Фиксируем t 0 , x R 0 3 . Начальные функции (6.1) разлагаем в ряды Тейлора по степеням x x 0 , сходящиеся в шаре x x r x 0 0 . Докажем теорему в шаре быть может меньшего размера. За- мена переменных x x y y y y t t 0 2 3 0 , , , , u u x 0 0 ( ) U U U 1 2 3 , , , 0 0 4 0 0 5 ( ) , ( ) x U p p x U приводит к за- даче Коши вида U B U U U y U y U k y k ( ) , , ( ), ( ) , 0 0 0 0 0 (6.3) где элементы матриц B k и вектора U 0 являются аналитическими функциями в нуле. Ряды этих функций сходятся в шарах U R y r , Говорят, что аналитическая функция x x n n , n n n k 1 , , , x x x n n k n k 1 1 , имеет мажоранту ( ) x x n n n , n 0 , если n n 45 Дифференцирование равенств (6.3) определяет все производные функ- ции U в нуле. Значит, если искать решение задачи (6.3) в виде ряда Тейлора, то его коэффициенты определяются однозначно как многочлены с положи- тельными коэффициентами от коэффициентов рядов для B U k и U y 0 Для этого делаются следующие операции: дифференцирование рядов, сло- жение и умножение рядов, подстановка ряда в ряд, переход к пределу при 0 0 , , y что определяет положительность коэффициентов многочлена. Рассматривается задача Коши для мажоранты W C W W W y W y k y k ( ) , ( , ) ( ), 0 0 (6.4) где C k – мажоранта для B k , W 0 – мажоранта для U 0 . Если найдется сходя- щийся в нуле ряд, являющийся решением задачи (6.4), то он будет мажоран- той для формального ряда – решения задачи (6.3). Действительно, многочле- ны, одни и те же для обеих задач (6.3) и (6.4). Эти многочлены с положи- тельными коэффициентами, значит, их значения для задачи (6.4) мажориру- ют их значения для задачи (6.3). Остается подобрать C k , W 0 возможно про- стого вида, чтобы задача для мажоранты точно разрешалась. Пусть элементы матрицы B k и вектора U 0 разлагаются в ряды b b U U U y n n U U U ij k ij n k n i im m n n n , , (n , , ), , 0 0 1 5 1 5 1 5 3 1 2 1 2 3 1 2 3 ( , , ), m m m m m m m m y y y y , сходящиеся в шарах U R y r , . Тогда существуют постоянные N M R , 1 5 такие, что 1 5 1 5 ! , ; ! ! k k ijn ijn n n n N N b C n n n n n R R 0 0 1 2 3 1 2 3 ! , ; ! ! ! im im m m m M M U W m m m m m m m r r 46 C W NR R W W W y Mr r y y y i j n k n i m m 1 5 1 0 1 2 3 1 , Решение задачи (6.4) разыскивается в виде W W W 1 5 (s), s y y y 1 2 3 : W NR R W W W s Mr r s s 3 5 0 1 1 ( ) , ( , ) ( ) (6.5) Решение задачи (6.5) задается квадратным уравнением 3 1 1 0. 5 5 5 W RN s W R r W R W M (6.6) Уравнение (6.6) имеет два различных корня при s 0 , так как M R 1 5 . Поэтому в некотором шаре Q радиуса точки s 0 уравне- ние (6.6) имеет ненулевой дискриминант. Из двух корней выбирается тот, который при s 0 принимает значение M. Итак, определяется аналити- ческое решение задачи (6.5), разлагающееся в ряд, сходящийся в шаре Q с центром в точке s 0 . Этот ряд является мажорантой решения задачи (6.3). Теорема доказана в областях y r y y y 1 2 3 , которыми можно покрыть все пространство R 3 Непрерывная зависимость от начальных данных следует из того, что при M 0 выбранный корень уравнения (6.6) стремится к нулю. Упражнение 1. В каком месте доказательства теоремы 1 использова- лось условие (6.2)? Чему равны значения функции x ? В классах функций конечной гладкости справедлив аналог теоремы 1, утверждающий корректность поставленной задачи Коши в малом по t, т.е. в области x R t x 3 , ( ) для небольших значений ( ) x 0 Теорема единственности справедлива в большой области. Теорема 2. Пусть ограниченная область R x t 4 ( , ) имеет сечения (t) гиперплоскостью t = const и ограничена областью 0 3 0 ( ) ( ) R x и 47 гиперповерхностью с внешней нормалью ( , , , ), имеющую общую границу с областью 0 Пусть решение системы (3.10) U u, v, w, p S C , ( ) 1 и граница удовлетворяют условиям inf , , x t 1 0 (6.7) u v w a 2 2 2 1 2 (6.8) Тогда для любого другого решения V C 1 найдется постоянная k>0, с которой для разности W V U справедлива оценка W t k W t ; ; , , 0 0 (6.9) где норма решения определяется равенством W t W d W W x t t i i ; , , . ( ) 2 2 2 2 1 5 Доказательство. Система (3.10) с помощью обозначения A A A A A A i i t t x x y y z z записывается в матричном виде 0. A U U Для разности двух решений W V U получим , A U W CW CW A U A U W V Скалярное умножение на 2 W , тождество j j W A W 2 W A W W A W j j j j , A j – симметричные матрицы, приводят к соотношению j j j j W A W W BW B C A , 2 Интегрирование по части области , лежащей между гиперплоскостя- ми t = 0, t = const, дает по формуле Гаусса-Остроградского 48 W A W d W A W d W A W d W BW d d t t t t t ( ) (0) ( ) ( ) , 0 (6.10) где A – характеристическая матрица из § 5. Неравенство Коши 1 2 3 W W W 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 W W W и соот- ношение (6.8) дают положительную определенность квадратичной формы на гиперповерхности : W A W u v w W W W bW W 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 2 0 4 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 2 5 2 1 2 1 2 W W W W ab a W W W W a W (6.11) Ввиду равномерной ограниченности решений и их производных в , условия (6.8) и положительной определенности матрицы A t утверждается, что с некоторыми положительными постоянными M, m, N справедливы не- равенства M W W A W m W W BW N W t 2 2 2 , (6.12) Из (6.10), (6.11), (6.12) следует неравенство m W t M W N W d t ; ; ; 2 2 2 0 0 (6.13) для любого t T T t 0, , sup Замена t W d t t Nm t , , (t) exp 2 0 1 в (6.13) дает Mm tNm 1 1 0 ( ) exp . Интегрирование последнего неравенства с граничным условием 0 0 дает t MN t Nm 1 1 0 1 ( ) exp 49 или t MN t Nm 1 1 0 1 ( ) exp . Тогда неравенство (6.13) принима- ет вид m t M t Nm ( ) exp 0 1 Отсюда следует (6.9) с k M m TN m 1 2 2 exp Следствие. Если U V на 0 при t=0, то это равенство верно в любой точке x t , Если t – гладкая гиперповерхность класса C 1 , то на ней (6.8) может выполняться в виде равенства, т.е. она, есть характеристика на решении U , тогда называется областью определенности задачи Коши. Обобщенная задача Коши. Значения искомых функций задаются на гиперповерхности , в каждой точке которой выполнено строгое неравенст- во (6.8) для ее нормали. Если же некоторые бихарактеристики лежат в ги- перповерхности или касаются ее, то обобщенная задача Коши может быть некорректной. Задача о поршне. Вместе с начальными данными на гиперплоскости t=0 задают контактную характеристику : ( , ) 0, 0 t h t x h u h . Через газ не течет и ее сечение гиперплоскостью t=const задает движение дефор- мирующегося поршня. Скорость движения этого сечения в направлении нормали при t=0 может не совпадать с нормальной компонентой скорости частиц газа. В этом случае возникает сильный разрыв. Если скорость сечения в начальный момент совпадает с нормальной компонентой скорости, то вы- полняются условия согласования нулевого порядка и возможен слабый раз- рыв производных, который будет двигаться по звуковой характеристике. При согласовании первых производных, могут рваться вторые производные и т.д. Задача о поршне с условием согласования корректна в малом по t воз- можно со слабым разрывом, распространяющимся по звуковой характери- стике, проходящей через сечение с гиперплоскостью t=0. Если же условия 50 согласования не выполнены, то непрерывного течения не существует и реа- лизуется движение с сильным разрывом и центрированными волнами разре- жения. Задача обтекания. Частный случай задачи о поршне, когда поверх- ность неподвижна и непроницаема. Если задается уравнением h x 0, то условие непроницаемости таково u h 0. (6.14) Набегающий поток газа задается параметрами газа на бесконечности. Задача со свободной границей. Задаются начальные данные. Разы- скивается контактная характеристика , на которой задается давление. Если определяется уравнением h x t , 0 , то условия на свободной поверхно- сти таковы h uh vh wh p p x t t x y z 0 0 , , . (6.15) Разрешимость таких задач изучена слабо. Задача Гурса. Все граничные данные задаются на характеристиках и удовлетворяют условиям на характеристиках. Например, пусть задана глад- кая поверхность R x 3 , расположенная на гиперплоскости t=0. Через нее проходят две звуковые характеристики и разных семейств, на кото- рых заданы значения газодинамических величин U u p U u p , , , , , как функции класса C 1 с выпол- ненными условиями на характеристиках. Требуется определить решение в области , ограниченной характеристиками и . Если выполнены усло- вия согласования на поверхности , то в области содержится контактная характеристика 0 , на которой может образоваться слабый разрыв. Если граничные данные непрерывны на , то вдоль характеристики 0 распро- страняется разрыв производных. Если на непрерывны первые производные 51 граничных значений, то вдоль характеристики 0 распространяется разрыв вторых производных и т.д. Если условие согласования не выполнены, то в необходимо возникают особенности. Задача Гурса корректна в малом по t для времени подобных областей, для которых прямая параллельная оси t выпущенная из точек лежит внут- ри области . В противном случае для пространственно подобных областей на граничных характеристиках должны выполняться условия согласования: мировая линия частицы пересекающая характеристики имеет в точках пере- сечения согласованные скорости. Задача с особенностями. Если начальные данные (6.1) не являются непрерывными, то для любого t в решении появятся особенности, характер которых зависит от структуры функций (6.1). К таким задачам приводятся физические задачи взаимодействия различных движений газа или соприкос- новение газа с внешними телами; сосредоточенное взаимодействие на газ в точке, на линии или на поверхностях, на которых задаются интегральные ха- рактеристики: поток массы, импульса или энергии; асимптотического пове- дения параметров газа в точке, на линии, на поверхности при t Задача отыскания периодических решений. Начальные данные (6.1) есть периодические функции. Требуется найти решение, являющееся перио- дическим для t t 0 Могут быть и другие ограничения на решения. С ними познакомимся далее. |