Лекции по газовой механике. Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
§2. Термодинамические закономерности. При движении частицы в сплошной среде происходит ее энергетическое взаимодействие с окружением. Имеет место первый закон термодинамики: подводимое к частице тепло Q в расчете на единицу массы в процессе малого изменения ее состояния связано с изменением внутренней энергии частицы d и работой A i , совершаемой в частице внутренними силами, соотношением Q d A i , причем d есть полный дифференциал внутренней энергии . Этим постулируется существование функции состояния – внутренней энергии, определенной с точностью до постоянного слагаемого. Если система с течением времени может проходить некоторую по- следовательность состояний как в одном, так и в другом направлении, то этой последовательности состояний соответствует обратимый процесс, в противном случае процесс называется необратимым. Непрерывный процесс обратим, если все описывающие процесс соотношения для бесконечно малых изменений параметров состояния сохраняются при замене знаков этих изменений на обратные. Имеет место второй закон термодинамики: существует отнесенная к единице массы среды функция состояния S – энтропия такая, что при об- ратимых изменениях состояния частицы dS Q T , где T – абсолютная температура частицы, Q – подводимое к ней извне тепло. В термодинамике доказывается, что для обратимых процессов dS является дифференциалом. При необратимых процессах 14 T d S = Q+ Q Здесь Q – некомпенсированное тепло. Третий закон термодинамики утверждает Q 0. Знак равенства соответствует обратимым процессам. Если частица теплоизолирована, то Q = 0. Такой процесс называется адиабатическим. Если адиабатический процесс обратим, то dS = 0, т.е. S = const. При адиабатическом необратимом процессе dS > 0 – энтропия возрастает. Для идеального газа касательные напряжения на любую площадку отсутствуют, есть только нормальные силы давления p pn n , где n – единичная нормаль к площадке. Поэтому работа внутренних сил частицы отнесенная к единице массы газа равна A pdV i ( ) , где V 1 – удельный объем. Помимо внутренней энергии , энтропии S, плотности или удельного объема V 1 , давления p, температуры T, удобно ввести энтальпию по формуле i = + pV. Таким образом, для обратимых процессов в частице идеального газа справедливы соотношения, связывающие параметры состояния и их дифференциалы Q TdS d pdV (2.1) или TdS di dp 1 (2.2) В дальнейшем предполагается, что газ как термодинамическая система является двухпараметрической средой. Это означает, что параметры состояния частицы , , , , p S T вполне определяются заданием двух каких- либо параметров. В этом случае должно быть три соотношения на пять параметров состояния. Два соотношения задает уравнение в полных 15 дифференциалах (2.1). Еще одно недостающее соотношение является эм- пирическим и называется калорическим уравнением состояния, если S – один из независимых параметров, и термическим уравнением состояния, если T – один из независимых параметров. Если калорическое уравнение имеет вид E V S , , то из (2.1) следует T E V S p E V S S V , , , Упражнение 1. Пусть калорическое уравнение имеет вид i I p S , Тогда остальные параметры определяются по формулам , S T I 1 , p V I I pV Покажите, что термодинамические потенциалы Гиббса: внутренняя энергия E V S , , энтальпия i I p S , , свободная энергия ( , ) F TS F V T , полный термодинамический потенциал ( , ) TS pV p T , энтропия ( , ) S S V , удельный объем ( , ) V V S полностью определяют из (2.1) все газодинамические пара- метры явно. Остальные 4 случая двух независимых термодинамических параметров приводят к дифференциальному уравнению, решения которого определено с точностью до функции одного переменного. Для однозначного определения параметров газа надо измерять второе уравнение состояния. В термодинамике вводятся дополнительные величины. Удельная те- плоемкость c определяется равенством cdT Q При постоянном объеме из (2.1) следует Q dT T V , т.е. c V T V – теплоемкость при постоянном объеме всегда положительна c V 0. При постоянном давлении из (2.2) следует Q i dT T p , т.е. c i p T p – теплоемкость при постоянном давлении. Важной характеристикой сжимаемой среды является отношение теп- лоемкостей c c p V 16 Для калорического уравнения состояния вида p f S , величина f S всегда положительна. Величина a f S 1 2 называется скоростью звука. Если калорическое уравнение записать в виде p g V S f V S , , 1 , то величина 1 2 V S a g называется акусти- ческим импедансом. Упражнение 2. Вывести формулу d a d m a 2 2 , где m f f 1 Для совершенных газов справедливо уравнение Клайперона pV = RT, (2.3) где R – газовая положительная постоянная. В этом случае из (2.1) следует, что внутренняя энергия T зависит только от температуры. Действительно пусть T p , , тогда из (2.1) и (2.3) следует T T p p R TS RTp TS , 1 Приравнивая смешанные производные S S Tp pT , получим p 0 и S определяется с точностью до постоянного слагаемого, если задать T . Итак, термическое уравнения (2.3) недостаточно, чтобы определить все термодинамические параметры, необходимо доопределить модель заданием функции T , тогда S R V T c T dT c T i T T RT c i T T c c c c R V V T p T p v p v ln , , , , 1 1 Так как R c v 0 0 , , то всегда 1. 17 Если c const v , то совершенный газ называется политропным и тогда c T i c T c const S R V c T S c c const v p p v p V , , , ln ln , , 0 p e S S c V 0 (2.4) Из статистической физики следует, что энергия молекул газа в равновесном состоянии распределяется равномерно по всем степеням свободы возможных движений молекулы; энергия, приходящаяся на одну степень свободы, составляет 1 2 RT в расчете на единицу массы газа. Если n – число степеней свободы движений молекулы, то удельная внутренняя энергия газа равна 1 2 nRT , а удельная энтальпия есть i n RT 2 2 Соответственно теплоемкости и их отношения даются формулами c nR c n R n n V p 1 2 1 2 2 2 ; , Одноатомный газ имеет три степени свободы – возможность двигаться в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Для него 5 3 . Газы со сложными молекулами имеют большое число внутренних степеней свободы и для них 1. Итак, для совершенных газов 1 5 3 Статистическая физика не правильно трактует распределение энергии по колебательным степеням свободы, а при низких температурах – и по вращательным степеням свободы молекул. Для двухатомных молекул число степеней свободы n = 7 (три посту- пательных, две вращательных, две колебательные) и согласно со статисти- 18 ческой физикой 9 7 . Однако точный результат для теплоемкости двухатомных молекул при постоянном объеме таков c T e e R v v T T V V 5 2 1 2 2 1 1 , где V – характеристическая колебательная температура. Например, V K 2273 для O 2 , 3393K для N 2 , 3122K для СО. Отсюда при T c R V V 5 2 7 5 , ; при T c R V V 7 2 9 7 , Таким образом, для воздуха (смесь O 2 , N 2 ,...) в нормальных условиях 14 , При S = const уравнение (2.4) задает адиабату Пуассона для совер- шенного газа с постоянными теплоемкостями, тогда называется показа- телем адиабаты и для основных термодинамических величин получаются выражения a p RT a i a 1 2 2 1 2 1 2 1 1 , , Упражнение 3. Показать, что в совершенном газе скорость звука выражается через внутреннюю энергию T по формуле a RT R 2 1 1 Упражнение 4. Доказать предложение V T V T p V T p V T p V , , 1 2 1 2 В газовой динамике выявлены свойства уравнений состояния , , , ( , ), p f S e V p E V S описывающих поведения нормальных газов. Этих свойств достаточно, чтобы провести качественное исследование фундаментальных закономерностей при движении газа. 19 Газ называется нормальным, если функции , , f e E обладают следую- щими свойствами. 1. Функция f определена и трижды непрерывно дифференцируема в области 0 , S S S , всюду в этой области удовлетворяет неравенствам f f f f S 0 0 0 0 , , , , (2.5) и предельным соотношениям f 0 при S S , f при S S (2.6) 2. Функция e определена и трижды непрерывно дифференцируема в области Q V p 0 0 , , всюду в Q удовлетворяет неравен- ствам e>0, p pe e (2.7) и предельным соотношениям e 0 при V 0, ( , ) 0 E V S при V (2.8) Упражнение 5. Для нормального газа выполняются соотношения 0, 0 f f при 0 ; 1 0 ( , ) f S d ; 0, p e 2 0 V e p (2.9) Доказать для функции g V S f V S , , 1 неравенства газа Вейля 0, 0, 0, 0. V VV S g g g g Состояние газа называется вакуумом, если выполнено одно из равенств 0, , 0, 0 V p e , остальные будут следствием для нормального газа. Рассмотрим свойства адиабат Пуассона S const для нормального газа в плоскости (V, p). 20 Через фиксированную точку V p Q 0 0 , проходит одна и только одна адиабата S S 0 . Действительно, p f S g V S , , из (2.5) следует g f S S 0, т.е. при фиксированном V значение p строго возрастает с ростом S. Так как в Q f V g V 2 0, 2 0 3 f f V g g VV , то кривая S S 0 строго выпукла вниз и убывает. Из (2.5) и упражнения 5 следует, что g 0 при V , g при V 0. Значит, у всех адиабат Пуассона есть асимптоты 0 V и 0 p . Любая прямая l с отрицательным углом наклона 0 (Рис. 1) касается единственной адиабаты S S 0 в точке V p 0 0 , . Все адиабаты S S S 2 0 не пересекаются с l p p 0 S S S 2 0 S S 0 S S S 1 0 V 1 V 0 V 2 V Рис. 1 l Всякая адиабата S S S 1 0 пересекает l в двух точках V p 1 1 , , V p 2 2 , , причем вдоль прямой dS dV 0 при V V 0 и dS dV 0 при V V 0 На практике используют уравнения состояния более общие, чем для совершенного газа или нормального газа. Например, уравнение Ван-дер- Ваальса 2 , 0, 0, RT c p b c V b V (2.10) где b – объем занятый частицами газа, c – величина силы притяжения между частицами, используется для плотных газов, жидкостей и смесей; уравнение состояния вида 21 p V Tf V (2.11) описывает поведение реальных плотных сред - газов, жидкостей, твердых тел при больших давлениях и температурах. Для воды при высоких давлениях используют уравнение состояния Тэта p B S 0 1 , (2.12) где ( ) B S – слабо зависит от энтропии. В самом общем виде уравнение состояния представляется вириальным разложением 1 2 2 3 (1 ...), pV RT A V AV где вириальные коэффициенты имеют вид 1 2 1 2 3 i i i i A b b T b T Упражнение 6. Выразить оставшиеся термодинамические параметры для сред с уравнениями состояния (2.10), (2.11), (2.12). Проверить свойства нормальности. §3. Дифференциальные уравнения. Движением (или течением) газа в области x t R , 4 называется набор функций u p , , , , определенных в и удовлетворяющих уравнениям (1.4). Движение называется гладким, если функции u p , , , непрерывны вместе с первыми производными всюду в . Гладкие движения удовле- творяют системе дифференциальных уравнений, равносильной (1.4). Для вывода этих уравнений вводится абстрактный закон сохранения d dt f d nd t t 0 (3.1) В объемном интеграле вводятся лагранжевы переменные x x t x , 0 : f d f Jd t 0 0 , где J x x det 0 – якобиан замены. Из (1.2) следует 22 d dt x x u x x x 0 0 и J Jdi v t u . (3.2) Для любой функции F x t , справедлива формула дифференцирования t t F x t x t F u F DF , , 0 . Теперь можно выполнить диффе- ренцирование интеграла по движущемуся объему d dt f d f J d f f di v u Jd Df f di v u d t t t t 0 0 0 0 ( ) Применение формулы Остроградского - Гаусса к поверхностному интегралу n d di v d t t и тождества Df f di v u f di v f u t приводит (3.1) к виду f di v f u d t t 0. (3.3) Так как t – произвольный объем, то в области непрерывного течения справедливо дифференциальное уравнение f di v f u t 0 (3.4) Все скалярные уравнения из системы (1.4) имеют вид (3.1): для закона сохранения массы f , ; 0 для закона сохранения импульса в декар- товых координатах f u v w p p p , , , , , , , , , , , ; 0 0 0 0 0 0 для закона сохранения энергии f u pu 1 2 2 , Подстановка в (3.4) дает уравнение неразрывности, уравнение им- пульса и уравнение энергии t u di v u 0, (3.5) u u u p t 1 0, (3.6) t u p di v u 1 0. (3.7) 23 Уравнение (3.7) с помощью термодинамического тождества (2.1) и уравнения (3.5) равносильно уравнению для энтропии DS S u S t 0 (3.8) Если уравнение состояния задать в виде p f S , , то дифференци- рование дает уравнение для давления Dp A p di v u , , 0 (3.9) где A p f a p , , 2 Упражнение 1. Записать уравнения (3.5) (3.9) в декартовых, цилинд- рических и сферических координатах. Система уравнений (3.5), (3.6), (3.9) замкнута, т.е. число искомых функций совпадает с числом уравнений. Коэффициент A этой системы выражается через уравнение состояния. Если рассматривать систему (3.5), (3.6), (3.7) (или (3.5), (3.6), (3.8)), то для замыкания системы надо добавить уравнение состояния , p (или p f S , ). Выведенная система уравнений может быть записана в симметрическом виде в декартовой системе координат. Для этого надо взять уравнение (3.6), умноженное на ; уравнение (3.9), умноженное на b A 1 и уравнение (3.8). Тогда получается система в матричном виде A U A U A U A U t t x x y y z z 0, (3.10) где U u v w p S A b A u u u bu u t x , , 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 , 24 A v v v bv v A w w w bw w y z 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 , Матрицы A j симметричны, а A t положительно определенная матрица. Рассматриваются некоторые кинематические характеристики: вихрь скорости rot , u циркуляция скорости u dl l вдоль линии l Пусть l – кривая AB, состоящая из одних и тех же частиц. Тогда в силу (3.6), (1.2) 2 1 1 2 AB AB AB B A d du dl u du p dl u dt dt Если кривая l замкнута, то по теореме Стокса , l u dl nd (3.11) d dt p dl n r ot p d p nd T S nd l 1 1 1 , (3.12) где поверхность, натянутая на контур l , с нормалью n . Последнее ра- венство в (3.12) следует из термодинамического тождества (2.2) 1 p i T S. При баротропном гладком движении p из (3.12) следует d dt 0, т.е. циркуляция по жидкому замкнутому контуру (или поток вихря сквозь такой контур) остается постоянной. При этом вихри в движущемся газе сохраняются. 25 Упражнение 2. Доказать формулы векторного анализа. 2 , , 1 , 2 rot V p V p rot a b b a a b a div b b div a u u u rot u u rot 0 i , div rot 0 a Уравнение импульса (3.6) можно записать в форме Лэмба - Громеки 2 1 1 2 t u u p u (3.13) Применение операции rot к (3.13) дает уравнение для вихря 2 t D u u divu p (3.14) Упражнение 3. Показать, что для баротропных движений решение уравнений (3.14) с начальными условиями 0 0 0 0 , x x таково t x x x x x x , det 0 0 1 0 0 0 Система уравнений (3.5), (3.6), (3.7) с добавленным уравнением со- стояния получена из интегральных законов сохранения (1.4), путем пре- образований, независящих от выбора системы отсчета. Поэтому они до- пускают группу преобразований G 11 из §1. Упражнение 4. Проверить, что преобразования 1 –5 не меняют систему (3.5), (3.6), (3.9) в декартовой системе координат. Упражнение 5. Доказать формулу Эйлера (3.2). Упражнение 6. Показать, что в лагранжевых координатах уравнения (3.5), (3.6), (3.8) принимают вид J M u p S M u x t T t x t t 0 0 0 1 0 0 , , , , где M x x 0 , J M M T det , – транспонированная матрица. |