Лекции по газовой механике. Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного
 Скачать 4.39 Mb.
|
В приложениях возникает необходимость в изучении классов движений, более широких, чем класс гладких движений. Это обобщенные движения, удовлетворяющие системе интегральных уравнений (1.4) с добавленным уравнением состояния. Удобно работать с абстрактным законом сохранения в форме (3.3), проинтегрировав его по t в интервале (t 1 , t 2 ): f di v f u d dt t t t t 1 2 0 Здесь интегрирование происходит по ограниченной области R 4 с кусочно гладкой границей и сечениями t гиперплоскостями t const , подынтегральное выражение есть дивергенция четырехмерного вектора g f f u f v f w , , , 1 2 3 . По теореме Остроградского - Гаусса объемный интеграл равен интегралу по граничной трехмерной поверхности g d 0, (4.1) где – орт внешней нормали к . Если – орт оси t, n – орт внешней нормали к сечению t , то cos sin , n (4.2) где - угол между векторами l и , значит, cos sin . g f fu n Уравнению (4.1) могут удовлетворять не только гладкие функции, с помощью которых оно было получено, но и разрывные функции. 27 Набор функций u p , , , , определенных в R x t 4 , , называется обоб- щенным движением газа, если для любой замкнутой кусочно-гладкой ги- перповерхности R 4 эти функции удовлетворяют соотношениям 2 2 cos sin 0, cos sin 0, 1 1 cos sin 0. 2 2 u n d u u n u pn d u u p u n d (4.3) Соотношения (4.3) получаются из (4.1) путем спецификации функций f , соответственно законам сохранения (1.4). Если в области определения обобщенного движения существует ги- перповерхность R 4 , на которой величины u p , , , имеет разрыв первого рода, и вне которой это движение непрерывно, то такое движение называется движением с сильным разрывом, а сечение B(t) гиперпо- верхности гиперплоскостями t const называется поверхностью силь- ного разрыва. Поверхность сильного разрыва есть двумерная поверхность, двигающаяся со временем в пространстве R 3 . Скачки функций на поверхности сильного разрыва удовлетворяют уравнениям сильного раз- рыва. Для вывода этих уравнений на гиперповерхности рассматривается малая ограниченная область с гладкой границей и строится ци- линдрическая поверхность 1 2 3 , где 3 – боковая поверхность цилиндра с направляющей , 1 и 2 – области параллельные на расстоянии h от (рис. 1). t h 1 h 3 y,z 2 x Рис. 1 28 В уравнении (4.1) интеграл разбивается на три интеграла по 1 2 3 , , При предельном переходе h 0 интеграл по 3 стремится к нулю, так как подынтегральная функция ограничена, а мера 3 стремится к нулю. Интегралы по 1 , 2 стремятся к интегралам по разным сторонам с противоположно направленными нормалями 2 1 , Пусть 2 1 a a a – символ скачка функции a на . Тогда из (4.1) следует соотношение cos sin 0, n n f fu d где u u n n n n , В силу произвольности и непрерывно- сти подынтегрального выражения на получается абстрактное уравнение сильного разрыва cos sin 0. n n f fu (4.4) Рассматривается поверхность сильного разрыва в момент t и t t : B t B t t , . Пусть точки M B t , N B t t лежат на нормали поверхности B t H t , – проекция вектора MN на орт нормального вектора n . Скоростью перемещения поверхности B t в направлении нормали n называется предел D H t t n t lim 0 (4.5) Из рисунка 2 видно, что вектор D n l n лежит в касательной плоскости к и поэтому ортогонален . Из (4.2) следует связь между D n и четырехмерной нормалью sin cos 0. n D Тогда (4.4) записывается в виде 29 f u D n n n 0 (4.6) t t D n n t M n N x,y,z 0 Рис. 2 Применение (4.6) к конкретным уравнениям (4.3) дает уравнения сильного разрыва u D u u D pn u u D pu n n n n n n n 0 0 1 2 0 2 (4.7) Упражнение 1. Показать, что скорость перемещения в направлении нормали n поверхности, заданной уравнением F x t , 0 , равна D F n F n t , n F F | | Пусть u составляющая вектора скорости, лежащая в касательной плоскости к поверхности разрыва B(t). Проектирование на эту плоскость второго из уравнений (4.7) дает соотношение ( ) 0, 1, 2. n n i i n n u D u u D u i Отсюда следуют два типа разрывов. Контактный разрыв: u D n n , p 0, u n 0 . Через такой разрыв газ не течет, но 0. u 30 Ударная волна: u D n n , u 0 . Через такой разрыв газ течет. Вводится скорость течения газа относительно фронта в направлении нормали v u D n n . Из (4.7) следуют уравнения 2 2 1 1 v v , (4.8) p v p v 2 2 2 2 1 1 1 2 , (4.9) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 p V v p V v , (4.10) 2 1 u u (4.11) Упражнение 2. Вывести полезные соотношения из (4.8) (4.11) 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 , , p p p p v v (4.12) v v p p V V 2 1 2 2 1 1 2 , (4.13) 2 1 2 1 1 2 1 2 p p V V , (4.14) F u u F F 2 0 (4.15) Пусть e V p , – уравнение состояния. Тогда вводится функция Гюгонио H H V p V p e V p e V p V V p p , ; , , , , 1 1 1 1 1 1 1 2 с которой уравнение (4.14) принимает вид H V p V p 2 2 1 1 0 , ; , . Кривая H V p V p , ; , 1 1 0 на плоскости R V p 2 , называется адиабатой Гюгонио с центром в точке V p 1 1 , . Она определяет возможные состояния ударного перехода. Далее формулируются свойства адиабаты Гюгонио для нормального газа. Теорема 1. Адиабата Гюгонио с центром V p 1 1 , задается трижды непрерывно дифференцируемой функцией V W p W p V p ; , , 1 1 (4.16) 31 которая однозначно определена и убывает для p 0, Доказательство. В силу (2.7) 2 2 0 1 H e p p V V , H при V . В силу (2.8) H e V p V p p 1 1 1 1 1 2 0 , при V 0. Поэтому для каждого p 0, существует единственное значение V W p , при котором H=0. Гладкость функции W следует из определения нормального газа, т.е. из гладкости функции e. Дифференцирование тождества H W p p V p , ; , 1 1 0 дает 2 2 0 1 1 e p p W e W p V V p p ( ) (4.17) Из свойств нормального газа следует 1 2 0 V e p p , а также 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 2 0. ( ) p p e V p e V p e e e ep e p e W V e p p p p p p p p Из соотношения (4.17) следует неравенство 0. p W p Следствие. Вдоль адиабаты Гюгонио существуют предельные значения 0 1 0 lim , p V W p V 1 lim p V W p V Теорема 2. Вдоль адиабаты Гюгонию с центром V p 1 1 , справедливо соотношение lim p p S p S p p p k 1 1 1 3 1 0 (4.18) Адиабата Гюгонию имеет касание второго порядка с адиабатой Пуассона S S 1 Доказательство. Вдоль адиабаты Гюгонио из первого закона термодинамики (2.1) и уравнения состояния следуют тождества 32 , , , , , e p e W p p e V p W p V p p TS e pW g W p S p p 1 1 1 1 1 2 Дифференцирование по p дает 2 2 2 2 4 2 1 1 1 1 TS p p W W V T S TS p p W T S T S TS W p p W , , ; (4.19) g W g S g W g W S g S g W g S V S VV VS SS V S 1 2 0 2 2 , В точке V p 1 1 , отсюда получаются выражения для производных S S S g T g W g W g g VV V V VV V 1 1 1 1 3 1 1 3 0 0 2 0 1 , , , , Формула Тейлора дает формулу (4.18) с k S 1 1 1 6 Адиабата Пуассона V V p определяется равенством g V p S p , 1 Дифференцирование по p этого тождества дает g V g V g V V VV V 1 0 2 , . Отсюда W V W V 1 1 1 1 , , что доказы- вает касание второго порядка адиабат Пуассона и Гюгонио. Следствие. Из определения скорости звука a f S 2 , и формул (4.12), (4.13) следуют соотношения вдоль адиабаты Гюгонио при p p 2 1 : p p a u D a u D a u u p p a n n n n n n 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 , , , Таким образом, слабые ударные волны (сила скачка p p p 2 1 стремится к нулю) распространяются со скоростью звука относительно потока газа, а скачек энтропии есть величина третьего порядка малости. 33 Теорема 3. Вдоль адиабаты Гюгонио с центром V p 1 1 , S p 0 при p p 1 (4.20) Доказательство. В силу теоремы 2 неравенство (4.20) справедливо в окрестности точки p 1 . Пусть S p 2 0, p p 2 1 , V W p 2 2 . Прямая : V V V V p p p p 1 2 1 2 1 1 имеет отрицательный наклон, и в силу свойств адиабаты Пуассона из § 2 на ней имеется лишь одна экстремальная точка для энтропии. Для уравнения состояния вдоль адиабаты Гюгонио S p W p p , справедливо равенство V p W p 2 0, а вдоль адиабаты Пуассона S V p p V p V p 2 2 0 , Значит, V p W p 2 2 и обе адиабаты касаются прямой в точке V p 2 2 , в силу (4.19). Вдоль справедливы равенства dH d V V dp p p dV d pdV TdS 1 2 1 2 1 1 (4.21) Функция H обращается в нуль в точках V p 1 1 , , V p 2 2 , и по теореме Ролля dH=0 в точке V p 3 3 , на прямой . Тогда dS p 3 0 и на прямой имеется две экстремальные точки. Противоречие. Следствие. Адиабата Гюгонио звездна относительно своего центра, т.е. всякий луч, выходящий из центра, может пересечь адиабату Гюгонио в одной точке. Вдоль адиабаты Гюгонио энтропия возрастает с ростом давления. Из второго закона термодинамики в теплоизолированной частице энтропия должна возрастать при переходе через ударную волну. Следовательно, из теоремы 3 возрастает давление и плотность. Теорема 4 (Цемплен). Абсолютная величина нормальной со- ставляющей скорости частицы относительно ударной волны до перехода 34 фронта ударной волны больше скорости звука, а после перехода фронта меньше скорости звука. Доказательство. Пусть состояние 1 – перед фронтом, а состояние 2 – за фронтом. Рассматривается изменение энтропии на отрезке прямой : p p k V V 1 1 , соединяющей две точки V p 1 1 , и V p 2 2 , адиа- баты Гюгонио с центром в точке V p 1 1 , , p p 2 1 , k p p V V 2 1 2 1 0 . Из соотношения (4.21), справедливого вдоль , следует dS=0 в некоторой точке рассматриваемого отрезка. В силу свойств адиабат Пуассона в этой точке достигается максимум энтропии на отрезке, т.е. S S V V 1 2 0 0 , Дифференцирование уравнения состояния ( , ) p g V S вдоль дает соот- ношение k g g S V S V . Так как g S 0 для нормального газа, то g k g V V 1 2 . В силу равенств g a V 2 2 , (4.12) неравенства принимают вид: a p p v a p p v 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 , , которые рав- носильны утверждению теоремы. Уравнения сильного разрыва связывают семь величин u p u p D n n n 1 1 1 2 2 2 , , ; , , , Теорема 5. Пусть заданы состояние по одну из сторон ударной волны u p n1 1 1 , , и еще одна из величин u p D n n 2 2 2 , , , Тогда уравнения ударного перехода определяют остальные величины и состояние частицы до или после прохождения ударной волны. Доказательство. Пусть задано p 2 . Если p p p p 2 1 2 1 , то частица в состоянии 1 находится до (после) прохождения через ударную волну. По адиабате Гюгонио определяется V 2 2 1 . После чего из (4.12) и (4,8) 35 определяются D u p n n 1 2 1 , u D u D n n n n 2 1 2 1 . Если нормаль направлена в сторону состояния 1, то выбирается знак +(–). Пусть задано 2 . Сравнение с 1 определяет сторону ударной волны. Адиабата Гюгонио определяет p 2 , если 1 1 2 V или 1 1 2 0 V (4.22) Скорости определяются как при задании p 2 Пусть задана величина D n . Определяется a V g V S f S V 1 2 1 2 1 1 1 1 , , . По теореме 4 при v a 1 1 состояние 1 до прохождения ударной волны, при v a 1 1 состояние 1 после прохождения ударной волны. В последнем случае должно быть выполнено условие 1 2 2 1 1 1 0 1 v p V V V (4.23) Тогда (4.12), (4.14) имеют единственное решение V p 2 2 , , отличное от V p 1 1 , , в силу звездности адиабаты Гюгонию. После этого определяется u n2 по формуле (4.8). Пусть задана величина u n2 . Значения V p 2 2 , определяются как точки пересечения гиперболы (4.13) и адиабаты Гюгонио. Возможны два или одно решение (см. рис.3). p p 1 0 V 1 V 0 V Рис. 3 36 Точка пересечения с верхней ветвью гиперболы отвечает состоянию 1 частицы до прохождения ударной волны. Точка пересечения с нижней ветвью гиперболы отвечает состоянию частицы после прохождения ударной волны и возможна при условии 2 2 1 1 0 1 n n u u p V V (4.24) D n определяется как в первом случае. Упражнение 3. Вывести следствие теоремы 1 и ограничения (4.22), (4.23), (4.24). Упражнение 4. Выяснить взаимное расположение адиабаты Гюгонио с центром V p 1 1 , , хорды соединяющей точки V p 1 1 , и V p 2 2 , , адиабат Пуассона S S 1 и S S 2 , адиабаты Гюгонио с центром V p 2 2 , Упражнение 5. Для каких уравнений состояния возможно, что скорость ударной волны есть линейная функция нормальной скорости. Уравнения сильного разрыва (4.7) выводились из интегральных за- конов сохранения (1.4), которые инвариантны относительно группы G 11 Следовательно (4.7) инвариантны относительно удвоенной на зависимые переменные группы G 11 |