§13. Двумерные установившиеся течения.
1
. Рассматривается хорошо изученная инвариантная подмодель ранга
2 смешанного типа (12.2), построенная на подалгебре 2.17 (см. Приложение).
В этом случае b
b
1 2
1
,
a a
a
1 2
3
a
a
4 5
0
Третье уравнение отщепляется. Далее индекс 1 опускаем и записываем подмодель в виде uu vu p
uv vv p
u v
v uS
vS
p f
S
x y
x x
y y
x y
x y
x y
1 1
0 0
0 0
,
,
(u
)
,
,
( , ).
(13.1)
Линии тока L для системы (13.1) есть интегральные кривые дифферен- циального уравнения dx u
dy v
(13.2)
108
Частицы двигаются вдоль линий тока. Вводятся операторы дифферен- цирования вдоль линий тока D
u v
l x
y
и по нормали к линиям тока
D
v u
n x
y
, а также функция тока
x y
,
с помощью формул
x y
v,
u
. Условие совместности для
есть третье уравнение сис- темы (13.1), таким образом
определено с точностью до постоянного сла- гаемого.
Вдоль линии тока функция тока постоянна, так как
D
l
0.
Расход между двумя линиями тока:
L
1
и
L
2
определяется так
Q L
L
u n ds
A
A
A A
1 2
2 1
1 2
,
,
где
A
L
A
L
A A
1 1
2 2
1 2
,
,
– кривая между линиями тока,
n - нормаль к кривой
A A
1 2
. Расход не зависит от кривой
A A
1 2
и от точек
A
A
1 2
,
на лини- ях тока
L
L
1 2
,
Так же как в любом установившимся движении имеется интеграл эн-
тропии
S
S
,
(13.3)
интеграл Бернулли
u v
I a q
m
2 2
2 2
(13.4)
Система (13.1) равносильна одному уравнению для функции тока:
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 0
a
a
a
a
f S
y
x x
x
y
x y
x
yy
x
y
S
,
(13.5) где функция
,
x y
2 2
определяется из (13.4).
2
. Для безвихревых движений v
u x
y
из леммы § 9 следует
x y
y x
S
S
0.
109
Если
= const, то получаются классические безвихревые течения не- сжимаемой жидкости, которые в газовой динамике играют роль приближен- ной модели.
Случай S =const дает изоэнтропические течения, которые рассматрива- ются далее подробно.
В случае
=
(S) система (13.1) интегрируется. Для этого делается заме- на
d
( )
0
и вводятся новые независимые переменные
y,
u(x y)
u y,
v(x y)
v y,
;
,
,
,
Отсюда
x y
v u p
,
, ( ),
( ),
и
(13.1) принимает вид
,
,
u p vv p u v uv vu y
y y
1 1
0
Интегрирование дает с точностью до переноса по y u
p y, v p
y p
d p
1 2
1 2 2
1 2 2
0
(
)
(
)
(13.6)
Линии тока для этого решения есть концентрические окружности
(x
)
( )
x y
p d
0 2
2 1
2
(13.7)
Итак, безвихревые не изоэнтропические течения бывают лишь специ- ального вида (13.6), (13.7).
Упражнение 1. Вывести формулу (13.6) и доказать, что x
const
0
в
(13.7).
Упражнение 2. Показать, что безвихревое изоэнтропическое течение является изоэнергетическим, т.е. постоянная в интеграле Бернулли (13.4) не зависит от
3
. Безвихревые изоэнтропические течения определяются системой из двух уравнений, которые следуют из (13.1) после исключения
110
u v
u a u uvu v
a v y
x x
y y
0 2
0 2
2 2
2
,
,
(13.8) где a
2
выражается через u
v
2 2
из интеграла
Бернулли u
v
I
q m
2 2
2 2
(a )
с постоянной величиной q
m
(Упр. 2).
Потенциал скоростей u v
x y
,
вместе с функцией тока
удовле- творяет системе уравнений равносильной (13.8)
xyyx
,
,
(13.9) где
определяется из равенства
x y
m
I a q
a f
2 2
2 2
2
,
Линии тока
(x, y)
const
и
эквипотенциали
(x, y)
const
образу- ют ортогональную сеть, так как
0.
Соотношение сторон прямо- угольных ячеек этой сети дается равенством
D
D
n l
Исключение
из (13.9) дает уравнение для потенциала скоростей
(u
)
(v
)
2 2
2 2
2 0
a uv a
xx xy yy
(13.10)
Система (13.8) линеаризуется, если значения u, v
рассматривать как но- вые независимые переменные;
преобразование годографа u
u(x y), v v(x y).
,
,
Из интеграла Бернулли (13.4) следует, что годограф любого течения v находится внутри круга радиуса q
m
(Рис. 1). Сверхзвуковым те- чениям соответствует кольцо
Дозвуко- a
q q
m
,
где q
u v
2 2
2
, вые течения a
q m
u дозвуковым течениям – круг
Сверхзвуковые q
a
, окружность q
q m
отве- течения
Рис. 1 чает состояние вакуума.
111
Постоянному течению u
u v
v
0 0
,
соответствует точка плоскости годо- графа. Якобиан годографа есть
J
u v u v x
y y
x
(13.11)
Он равен нулю для простых волн u = F(v) или v =G(u). Годограф простой волны есть кривая. Если течение в области не постоянно и не есть простая волна, то ее годограф есть взаимно-однозначное отображение на область в
R
v).
2
(u,
Годограф (13.8) таков
x y
u a y uvx v
a x v
u v
v u
,
2 2
2 2
2 0
(13.12)
Здесь тоже можно ввести потенциал x
y u
v
,
,
которой связан с
(x, y) преобразованием Лежандра
xu yv
Система (13.12) переходит в линейное уравнение для потенциала
(u
)
(v
)
2 2
2 2
2 0
a uv a
vv uv uu
В полярной системе координат в плоскости годографа u
q v
q
cos ,
sin
уравнение принимает вид
(
)(q
)
1 0
2 2
M
q q
qq
,
(13.13) где
M
q a
/
– число Маха. Линейное уравнение (13.13) можно решить ме-
тодом разделения переменных, т.е. в виде
Q q
( ) ( ).
Оно имеет гипер- болический тип, если M > 1 (сверхзвуковое течение); эллиптический тип, ес- ли M <1 (дозвуковое течение), и вырождается при M =1,
Линейное уравнение Чаплыгина может быть получено для функции тока
(
)
)
1 0
2 1
M
q(q q q
(13.14)
112
Упражнение 3. Вывести уравнение (13.14) из системы (13.9), переходя последовательно к переменным
( , ; ,
(u,
, )
(q, ; , )
x y)
v;
( , ;
),
q,
получая промежуточные формулы:
d
udx
vdy
d
vdx
udy
dx
q
d
q
d
dy
q
d
q
d
,
;
cos
(
)
sin
,
sin
(
)
cos
1 1
1 1
(13.15)
(
) (
)
,
,
(
) (
)
,
q
M
q
q
q
q
M
q
q
q
1 2
1 1
2 1
1 1
(13.16)
В уравнении (13.14) делается замена
k q dq q
a
0 1
:
K ( )
,
0
(13.17) с функцией Чаплыгина
K
M
( )
(
)(k
)
1 2
0 2
Упражнение 4. Показать, что
(q)
– монотонная функция lim (q)
,
lim
(q)
q q
q m
m
0 0
Упражнение 5. Показать, что
K
K
K
m
( )
,
(
)
(k
) ,
(
)
0 0
0 0 2
Таким образом, график коэффициента
K ( )
показан на Рис. 2, а область годографа Рис. 1 переходит в полуполосу Рис. 3.
K
(k
)
0 0 2
Дозвуковые течения
m
0
Сверзвуковые
2
течения
Рис. 2 Рис. 3
113 4
. Для дозвуковых течений эффективен метод разделения переменных при решении краевых задач газовой динамики. Рассмотрим его применение для задачи об изоэнтропическом истечении симметричной струи из беско- нечного сосуда с прямолинейными стенками Рис.4.
A' y AB, A'B' – стенки симмет- ричного относительно оси
B' C' x сосуда, с углом наклона q=0 2 0
h 0 2h
x
0
, BB' – отверстие ширины a =a
0
B C
2 0
h
, из которого вытекает газ. q
q a a
1 1
,
Вверх по течению
A (x
)
заданы q =0,
0
,
Рис. 4 q
I
m
2 0
2
(a ).
Интеграл Бернулли принимает вид q
I
I
2 2
0 2
(a )
(a ). Из него определяется критическая ско- рость a
, критическая плотность
и критическое давление p
. На свобод- ных границах B'C', BC задано давление p
p f
S
1 0
0 0
(
,
)
и определяется
1 1
, a и q
1
из интеграла Бернулли q
I
I
1 2
1 2
0 2
(a )
(a ).
Предполагается, что v q a
1 1
или q a
1
или p p
p
1 0
= – Q Требуется определить течение, величину расхода газа 2Q через любое
0
u сечение струи, минимальное сужение
A’A
= 0 q
1
a
струи 2h
: Q
h q
1 1
Годограф течения есть круговой сектор (Рис. 5). Из симметрии задачи следуют краевые условия
Рис. 5
(q, )
, (q , )
(q,
)
0 0
1 0
Q
и достаточно решить эту задачу Дирихле в секторе ABC.
B
C
Q
C'
B'’
114
Для вспомогательной функции
Q
0
, разделяя переменные находим частное решение уравнения (13.14), обращающееся в нуль при
0 0
,
,
n n
n n
z n
n
(q) sin(
),
,
, , ...
0 12
, где z
n
(q)
– ограниченное решение обыкновенного дифференциального уравнения
(q
)
(
(
)z
1 2
1 2
1 0
z q)
M
n n
n
(13.18)
Решение задачи задается рядом
n n n
n z
1
(q) sin(
) , если коэффициенты
n удовлетворяют краевому условию
n n n
n z
1 1
0 0
1 0
(q ) sin(
)
,
Разложение в ряд Фурье правой части равенства определяет
1 2
1
( )
n
n
nz q
. Итак, искомая функция тока равна
Q
z z
n n
n n
n n
n
0 1
1 0
2
(q)
(q )
sin(
)
,
(13.19)
Для обоснования полученного представления решения, необходимо выяс- нить асимптотическое поведение функций z
n
(q)
при n
. Для решений уравнений (13.18) оно таково z
R
b n
q n
n n
(q)
(q)
(q)
,
1
где
R
q
M
M
M
dq q
(q)
exp
,
/
/
1 2
1 1
2 1
1 2
1 2 2
2 1 2 0
115 b
n
(q)
– ограниченные функции в интервале
0
q a
. (А.Н.Тихонов.,
А.Б.Васильева., А.Г.Свешников. Дифференциальные уравнения. М. Наука.
1980, стр. 201). Отсюда следует, что ряд (13.19) абсолютно сходится в облас- ти ABB'A' и его можно почленно дифференцировать по q и
. Значит, (13.19) дает решение задачи.
По формулам перехода (13.15), (13.16) можно вычислить величины в плоскости течения. Например, h
находится интегрированием вдоль BC
(Рис. 4) h
h dy q
d d
h q z
z
BC
q n
n n
n n
n
0 1
1 0
1 1
1 0
1 0
1 0
1 1
1 2
0 0
2 1
1
sin
(q , ) sin sin
(q )
(q )
(
)
Решение (13.19) пригодно для q
a
1
. Можно показать, что оно спра- ведливо при q
a
1
, причем в этом случае струя выравнивается на конеч- ном расстоянии от отверстия (Л.В. Овсянников. Об одном газовом течении с прямой линией перехода. ПММ. Т. 13, Вып. 5. 1949. С. 537-542).
Упражнение 6. Решить задачу об истечении струи из несимметричного сосуда с прямолинейными стенками.
Упражнение 7. Решить задачу о симметричном струйном обтекании клиновидной стенки конечной длины.
Упражнение 8. Решить задачу о лобовом столкновении двух свободных струй.
5
. Для сверхзвуковых безвихревых изоэнтропических течений выпол- няется условие гиперболичности (12.3). Поэтому для системы (13.1) можно найти характеристики и условия на них. Удобно пользоваться плоскостью потенциала (
,
), которая связана с плоскостью течения формулами (13.15).
Система (13.16) записывается в матричном виде
116 0
0 0
0 0
2
q ct g q
q q
,
(13.20) где sin
,
,
M
M
qa
1 1
- угол Маха. Пусть характеристика
( ) имеет нормаль (
, ),
1
d d
; характеристическая матрица такова
A
q ct g q
( )
2
Характеристическое уравнение det
( )
)
A
q(
ct g
2 2
2 0
имеет реше- ния
t g
. Левые собственные векторы матрицы A( )
можно взять в виде
( ,
).
1
t g
Умножение на них (13.20) дает условие на характеристиках
C
d d
t g r
const
C
d d
t g l
const
:
,
(q)
,
:
,
(q)
,
где
(q)
q ct g dq a
q
1
Переход в плоскость течения по формулам (13.15) дает
C
dy
dx
tg
r
q
const
C
dy
dx
tg
l
q
const
:
(
),
( )
;
:
(
),
( )
(13.21)
Так как q
a sin
,
то отсюда следует, y
C
a что абсолютная величина проекции
n
u вектора скорости на нормаль к харак-
N
n
a теристике равна скорости звука (Рис. 6).
C
Простые волны для системы (13.16)
0 Рис. 6 x имеют свойства такие же как для
117 одномерных нестационарных течений.
Теорема 1. В простой волне одни из инвариантов Римана r или l сохра- няет постоянное значение. Если r
const
,
r – волна, ( l const
, l –волна), то линии уровня простой волны являются прямолинейными характеристиками
C
(C ).
Обратно, если в области непостоянного течения один из инвариан- тов Римана постоянен, то течение есть простая волна.
Доказательство. В простой волне q
q(
),
( );
( , ).
Под- становка в (13.16) дает q
q q ct g q
0 0
2
,
Непостоянное решение
возможно лишь при q
q ct g
2 2
2 2
0
или
0
r l
Пусть r
r const
(q)
0
, тогда q q ct g t g
,
0
Значит,
постоянно вдоль характеристики
C
, но на
C
постоянно l. Зна- чит, на
C
постоянны r, l или q,
или
,
. Следовательно уравнение харак- теристики
C
интегрируется и получаются прямые линии
t g
F
y x t g
F
1
(q),
(
)
(q).
(13.22)
Пусть l l
const
(q)
,
0
тогда получаются прямые характери- стики
C
t g
G
y x t g
G
1
(q),
(
)
(q).
(13.23)
Наконец, если в некотором непостоянном течении r
const l const
(
),
то величина
зависит от q. Значит, параметр простой волны равен q.
Теорема 2. Если в непрерывном безвихревом изэнтропическом плоском течении есть характеристика
C
(C )
, вдоль которой вектор скорости по- стоянен, то к ней примыкает либо постоянное течение, либо простая l – вол- на (r – волна).
118
Доказательство. Пусть вдоль
C
постоянно q. Так как вдоль
C
посто- янно r, то величины
, l тоже постоянны (см. (13.21)). Через каждую точку
C
проходят характеристики C
заполняя некоторую область, в которой l
const
. Значит, в этой области имеется либо l – волна, либо постоянное течение.
Простая волна называется центрированной, если все ее прямолинейные характеристики проходят через одну точку.
Упражнение 9. Вывести уравнения центрированной r – волны:
(q)
,
(
)
,
r t g y
x t g
0
(13.24) и центрированной l – волны:
( )
,
(
)
,
q
l
tg
y
x
tg
0
(13.25)
Центрированные плоские простые волны называются течениями
Прантля-Мейера.
Упражнение 10. С помощью центрированной простой волны решить за- дачу обтекания выпуклого угла.
Простая волна называется волной сжатия (волной разрежения), если вдоль линии тока в направлении вектора скорости плотность возрастает
(убывает). Так как в указанном направлении d
0
, то волну определяет знак производной:
0 – течение сжатия,
0 – течение разрежения.
Лемма 1. Угловые коэффициенты dy dx d
d
,
прямолинейных характери- стик в простой волне с ростом
либо оба возрастают, либо оба убывают.
Доказательство. Для r – волны имеем, используя интеграл Бернулли,
dy
dx
tg
(
)
cos (
)(
),
2
119
m
q
q
q ctg
q
m
f
f
2 2
2 1
sin sin cos
,
,
Отсюда выражения для производных
2
,
2 sin cos
dy
m
q
dx
q
d
d
tg
m
q
q
(
)
sin cos
2 2
и имеют один и тот же знак.
Для
l
- волны выражения для производных отличаются знаком.
Таким образом, геометрический критерий различия простых волн сжа- тия и разрежения на плоскости течения и на плоскости потенциала формули- руются одинаково.
Теорема 3. Простая волна является волной сжатия (разрежения), если и только если прямолинейные характеристики сходятся (расходятся) в направ- лении течения (Рис. 7). r – волны
l – волны сжатие разрежение разрежение сжатие направление
течения
C
C
C
C
Рис. 7
Доказательство. Прямолинейные характеристики в простых волнах сходятся (расходятся) в направлении d
0
, если
d d
0 0
(
)
(см. Рис. 7). Вычисления из леммы 1 d
d t g m
(
)
sin cos
2 2
3
показывают, что
0 0
(
).
120
В простой волне сжатия наступает градиентная катастрофа, т.е. про- изводные функций стремятся к бесконечности при неограниченном сближе- нии прямолинейных характеристик.
Упражнение 11. Найти место наступления градиентной катастрофы в простой волне сжатия.
6
. Для анализа сверхзвуковых течений общего характера плоскость го- дографа преобразуют в плоскость инвариантов Римана по формулам
r
q l
q
q
q ctg
dq
a
q
( ),
( ), ( )
1
Выведем дифференциальное уравнение, равносильное уравнению (13.14).
Вдоль
C
меняется только
l
, т.е. уравнение характеристики
C
d t g d
равносильно
l
l
tg
. Вдоль
C
меняется только r и ее уравнение дает
r r
t g
. Величины
,
зависят только от q, по- этому их можно выразить как функции разности
l
r
. Исключение
из по- лученных уравнений дает уравнение Дарбу
lr
l
r
G l
r
(
)(
)
,
0
(13.26) где z
G
m m
z
2 2
8 2
8 3
,
(z)
sin cos при z
0.
Как пример постановки краевой задачи для (13.26), рассматривается за- дача об истечении сверхзвуковой струи из прямолинейной трубы ширины
2 0
y
, в которой течет постоянный поток газа с параметрами
0 0
0 0
,
,
p q
a
Вне струи покоится газ с давлением p
p
1 0
. Граница струи с покоящимся газом считается контактным разрывом. Пока течение в струе непрерывно, оно является безвихревым и изоэнтропическим. Постоянная в интеграле
Бернулли определяется данными задачи q
q
I
m
2 0
2 0
2
(a ).
На границе струи давление равно p
1
, из уравнения состояния определяется плотность
1
и скорость звука a
1
, из интеграла Бернулли определяется модуль скорости
121 q
I
q m
1 2
1 2
2
(a )
. Ось трубы является осью симметрии задачи, примем ее за ось x и положим на этой линии тока
=0. Граница течения есть тоже линия тока с
0 0 0 0
q y
Рис. 8
В плоскости потенциала получается краевая задача для нелинейной системы (13.16) в полуполосе 0 0
0
,
с начальными данными q(
q
0 0
0 0
, )
, ( , )
и граничными условиями q(
q
,
)
, ( , )
0 1
0 0
Область течения разбивается на подобласти 0, 1,...10,... (Рис. 8), в кото- рых решение либо задается явными формулами, либо ставится классическая краевая задача. К области 0 постоянного течения q
q
0 0
,
вдоль харак- теристики
C
примыкает центрированная простая r – волна (область 1 –
A B N
1 1 1
) r
r y y
x t g
(q)
(q )
,
(
).
0 1
0
В ней можно найти точку пересечения
B
1
первой
C
– характеристики y
y x t g
0 0
с осью x, характеристику C
, выходящую из B
1
, точку пе- ресечения
C
– характеристики
B N
1 1
с прямой
C
– характеристикой
A N
1 1
. В области 2 формируется постоянное течение
q
q
1
,
2 1
0
(
)
(
)
q
q
. Эта область ограничена прямыми
A N
1 1
: y
y x t g
0 2
1
(
),
A A
1 2
: y
y x t g
0 2
и прямой
C
– характери- стикой A N
2 1
, примыкающей
l
– волны области 4:
l
q
q
q
l
y
x tg
G q
( )
(
)
(
)
,
(
)
( )
2 1
5 2
0 1
0 2
4
N
1
y
0
q
0
> 0 p
0
x
А
1
А
2
А
3
А
4 5
N
2 7
N
3 9
8 10 11 6 q
1
, p
1
< p
0
B
1
B
2
B
3
B
4 3 y
122
К области 4 примыкает постоянное течение (область 5 –
B N B
2 2
3
) с q
q
5 0
,
C
– характеристика
N B
1 2
, ее точка пересечения
B
2
с осью x определяются из решения общей краевой задачи в области 3 –
B N B
1 1
2
для уравнения (13.26). Вдоль C
– характеристики B N
1 1
, постоянен l инвариант r
r
1
, и определяется
B
2
N
1
l
2
функция
1
( )
l
, вдоль
C
– ха-
3 рактеристики
N B
1 2
постоянен ин-
0
1
( )
l вариант l
l
2
, на оси
B B
1 2
заданы
N
1
B
1
угол наклона скорости
0
r l и функция тока
0 (Рис. 9). r
1
r При замене переменных
r l,
Рис. 9
уравнение (13.26) остается инвариантным, треугольник
B N B
2 1 1
переходит в треугольник B N B
2 1 1
, симметричный относительно биссектрисы r l
0, граничное условие
N B
l
1 1
1
( )
перейдет в граничное условие
N B
r
1 1
1
(
)
. Таким об- разом, в прямоугольнике B N B N
2 1 1 1
получается задача Гурса, которая имеет единственное решение. Если решение этой задачи найдено, то определяется
C
– характеристика
N B
1 2
и параметры на ней. Значит, определяются пара- метры простой l – волны в области 4, в частности
C
– характеристика
A N
2 2
Аналогично области 3 в области 6 ставится краевая задача для уравне- ния (13.26), из которой определяется
C
– характеристика
N A
2 3
и парамет- ры на ней. Далее строится простая l – волна в области 7 и т.д.
Упражнение 12. Поставить краевые задачи в областях 3, 6, 9. Написать формулы для простых волн в областях 1, 4, 7, 10. Определить постоянные
123 течения в областях 2, 5, 8, 11. Симметрична ли фигура
A B B A
1 1 4
4
относи- тельно прямой параллельной оси y, проходящей через точку
N
2
(Рис. 8)?
Упражнение 13. Вывести уравнение ударной поляры для политропно- го газа.
Упражнение 14. Нарисовать ударные поляры для a
q q
m
1
Упражнение 15. Показать, что окружность q
a
пересекает ударную поляру в точке, находящейся на большем расстоянии от центра, чем точка максимального угла поворота потока.
Упражнение 16. Решить задачу обтекания тупого угла сверхзвуковым постоянным потоком газа с присоединившимся прямым скачком уплотне- ния.
Упражнение 17. Решить задачу об отражении косого скачка от прямо- линейной стенки с помощью еще одного отраженного скачка (регулярное отражение).
Упражнение 18. Показать, что из точки схождения трех ударных волн обязательно должен выходить контактный разрыв.
8
. Установившееся течение газа в окрестности звуковой линии назы- вается околозвуковым. Звуковая линия на данном решении определяется одним из равносильных равенств q(x y)
a y), q(x y)
a
,
(x,
,
,
M
y)
(x,
1
Если к звуковой линии примыкает сверхзвуковое течение, то в каждой точке звуковой линии характеристики
C
и
C
образуют с вектором скоро- сти угол 90
(13.21), так как sin
1
Теорема 4 (Никольский, Таганов). В плоском потенциальном потоке при движении вдоль звуковой линии, не совпадающей с линией тока, вектор скорости поворачивается монотонно.
Доказательство. Из уравнений (13.15), (13.16) следуют равенства для
Якобианов
124
(x,
( ,
(x,
( , )
( , )
( ,
(
)
y)
q)
y)
q)
q q
M
q
1 1
0 2 3 2
2 2
2
при
M
1
,
const ;
( ,
(x,
( ,
(x,
(x,
(x,
q)
y)
q)
q)
q)
y)
q x q const y x const
0
Выберем локальную систему координат так, как показано на Рис.10. y y Если двигаться по q < a x линии q
a
, q < a q
a
чтобы дозвуковая q
a
u область остава-
u x лась слева, то а) б) а) q y
x
0 0
,
,
Рис. 10 б) q
y
x
0 0
,
Следовательно, вектор
u поворачивается по часовой стрелке.
Если к звуковой линии примыкает область сверхзвукового течения и двигаться так, чтобы эта область оставалась справа, то вектор скорости по- ворачивается по часовой стрелке.
Если с обоих сторон звуковой линии течение дозвуковое или сверхзву- ковое, то на ней
const q a
const
,
, значит, эта линия эквипотенци- аль d
0
Теорема 5. Пусть в области непрерывного течения к звуковой линии примыкает простая волна. Тогда звуковая линия является прямой двойной характеристикой C
. Вектор скорости ортогонален этой прямой.
Доказательство. Пусть к звуковой линии L примыкает r – волна с уравнением (13.21)
(q)
r
0
. Так как
(a )
0
, то
r
0
вдоль L, т.е. L есть линия уровня простой волны, совпадая с некоторой характеристикой
C
dy dx t g t g ct g r
:
(
)
(r
)
0 0
2
. Отсюда следует, что L
C
–
125 прямая y
y x
r y
L
0 0
0 0
0
(x
)ct g
, (x ,
)
Характеристика
C
, проходя- щая через точку
(x ,
)
0 0
y
, определяется из уравнений dy dx t g y(x y
(
),
)
0 0
. Прямая L удовлетворяет этой задачи, значит,
L
C
C
. Никакая другая характеристика не пересекает L.
Касательный вектор к L есть
l r
r
(sin
, cos
),
0 0
а вектор скорости та- ков
u a
r r
(cos , sin
)
0 0
. Следовательно,
l u
0.
Из доказанных утверждений следует, что непрерывное обтекание стенки с местной сверхзвуковой зоной неустойчиво. Действительно, пусть q < a на участке AB стенки возникла сверхзвуковая зона и имеется
M
N M
прямолинейный участок
C
A B
A B
1 1
(Рис. 11), имеющий
u q > a
C
угол наклона равный
0
. В
A
A
1 0
B
1
B точке
0 1 1 0
0
A B q q
:
,
Из точки 0 выходят две харак-
Рис. 11 теристики:
C
C
:
(q)
(q ),
:
(q)
(q ),
0 0
0 0
которые пересека- ют звуковую линию в точках
M
M
,
,
так что
M
0 0
(q ),
M
0 0
(q )
. Отсюда
M
M
2 0
. При изменении положения точки 0 на
A B
1 1
точки
M
M
,
на звуковой линии смещаются, причем d
d
M
M
0
. По теореме 1 знаки d d
M
M
и одинаковы, значит, d
d
M
M
0 и q const
0
на отрезке A B
1 1
. В характеристическом треугольнике A NB
1 1
должно быть постоянное течение
0 0
, q q
. К постоянному течению примыкают простые волны, которые достигают звуко- вой линии. По теореме 5 звуковая линия есть прямая
C
характеристика в
126 этих простых волнах, что противоречит ее пересечению характеристиками в точках
M
M
,
Итак, непрерывное течение невозможно с местной сверхзвуковой зо- ной, в которой есть прямолинейный участок стенки. В такой зоне должны возникать скачки уплотнения.
Упражнение 19. Рассмотреть качественную картину течения в канале с переходом через звуковую линию (сопло Лаваля). Изобразить годограф те- чения.
Упражнение 20. Качественно построить картину истечение сверхзву- ковой струи с переходом через звуковую линию из симметричного беско- нечного сосуда с прямолинейными стенками.
Скачать 4.39 Mb.