§7. Групповой анализ.
Уравнения газовой динамики (3.5), (3.6), (3.9) инвариантны при дейст- вии
G
11
группы Галилея, расширенной растяжением. Существуют ли другие однопараметрические группы преобразований, допускаемые уравнениями газовой динамики? Ответ отрицательный, если уравнение состояния
52
p f
S
,
общего вида. Для специальных уравнений состояния допускаемая группа расширяется.
Существует алгоритм вычисления группы, допускаемой дифференци- альными уравнениями. Он основан на соответствии между однопараметри- ческими группами преобразований и линейными дифференциальными опе- раторами первого порядка.
Пусть x
i i
,
, , , ,
012 3
независимые переменные; u k
k
,
,
, ,
1 5
зависи- мые переменные,
x f x u, a u
g x u, a i
i k
k
,
,
,
(7.1)
однопараметрическая группа преобразований, т.е. суперпозиция двух преобразований с параметрами a a
1 2
,
есть преобразование из этого же се- мейства с параметром
a a a
3 1
2
,
. Функция
задает закон умножения.
При a=0 (7.1) задает тождественное преобразование.
Тогда функции
i a
i a
k a
k a
u)
f u)
g
(x,
,
(x,
0 0
задают опера- тор дифференцирования вдоль орбиты группы (7.1) в точке a=0:
X
i
x
k
u
i
k
(7.2)
Для каждого оператора (7.2) решается задача Коши
a
i
i
a
k
k
a
x
x u
u
x u
x u
x u
( ,
),
,
, ( ,
)
,
0
(7.3)
Решение задачи (7.3) есть однопараметрическая группа с канониче-
ским законом умножения a
a a
3 2
1
(его всегда можно ввести заменой группового параметра).
Если однопараметрические группы образуют группу Ли G, то им соот- ветствующие операторы образуют алгебру Ли L – векторное пространство с
коммутатором двух элементов
1 2
1 2
2 1
1 2 2 1 1 2 2 1
,
i
k
i
i
k
k
x
u
X X
X X
X X
X
X
X
X
(7.4)
53 со свойствами билинейности, антисимметричности
X
X
X
X
1 2
2 1
,
,
и тождеством Якоби
X
X
X
X
X
X
X
X
X
1 2
3 2
3 1
3 1
2 0
,
,
,
,
,
,
Группе
G
11
из § 1 соответствует алгебра Ли
L
11
с базисом из операто- ров, записанных в декартовой системе координат:
X
X
X
X
t
X
t
X
t
X
y
z
v
w
X
z
x
w
u
X
x
y
u
v
X
X
t
x
y
z
x
y
z
x
u
y
v
z
w
z
y
w
v
x
z
u
w
y
x
v
u
t
t
x
y
z
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 7 5
,
,
,
,
,
,
,
,
( . )
,
,
Алгоритм отыскания допускаемой группы равносилен разыскиванию операторов (7.2), для которых уравнение газовой динамики являются инва- риантным многообразием, т.е. операторы являются касательными диффе- ренцированиями. Операторы (7.2) предварительно продолжаются на произ- водные по правилу
X
D
u D
i x
k u
i k
j k
i j
u i
k i
k
,
(7.6) где
D
u i
x i
k u
i k
– операторы полного дифференцирования.
Вычисления дают следующий классификационный результат. Если уравнение состояния
p f
S
,
общего вида, то максимальная алгебра Ли, допускаемая уравнениями (3.5), (3.6), (3.9), есть
L
11
. Для специальных урав- нений состояния возникают дополнительные операторы, расширяющие ал- гебру L
11
до L
k
, k – размерность алгебры. Результаты приведены в таблице
1, где f,
– произвольные функции,
Y
t u
v w
t u
v w
0
,
S – произ- вольная функция энтропии.
Таблица 1
N p k
Дополнительные операторы
1
f
S
12
p
Y
p
2 1
1 0
(
)
54 2
f S
12
Y
p p
0 2
3 5
3
,
S
13
Y
Y
p
0 2
,
4 5 3
S
14
t Y
xX
yX
zX
t p
p
0 4
5 6
3 5
,
Y
0 2
, Y
p
5
ln
f S
12
Y
p
0 2
2
6
f
S
12
Y
1 7
1 3
,
0,
1,
S
13
Y
Y
p p
1 0
1 2
2 1
2 1 0
,
;
,
,
8 1
S
13
Y
1
, Y
p p
0
9
S
13
Y
1
, Y
p
10 ln
S
13
Y
1
, Y
0 2
11 1
3
S
13
Y
1
, Y
p p
0 3
12
S
Y
0 2
,
Y
p p
p p
Некоторые алгебры в таблице 1 подобны относительно замены пере- менных
, p. В таблице 2 указываются подобные пары алгебр Ли из таблицы
1 и приводятся преобразования подобия.
Таблица 2
Алгебры
Преобразование подобия
N=6, N=1 при
1
p p
p
1
,
ln
N=2, N=1
p p
p
,
,
1 1
N=5, N=2
p p
p
1
,
ln
N=10, N=3
p p
p
1
,
ln
В случае бесконечной алгебры N=12 операторы алгебры и уравнения газовой динамики допускают преобразование
p p p
,
. Эти
55 преобразования подобия позволяют установить конечное число классов по- добных конечномерных подалгебр.
Подалгеброй алгебры Ли называется подпространство замкнутое от- носительно коммутатора.
Для приложений важно знать всевозможные подалгебры алгебр Ли из таблицы 1. Для каждой подалгебры система уравнений газовой динамики может быть сведена к более простой системе уравнений на инварианты по- далгебры, которая называется подмоделью.
Перечисление подалгебр алгебры Ли L производится с точностью до внутренних автоморфизмов алгебры L – однопараметрические линейные преобразования в L, удовлетворяющие задаче
a a
X
X Y
X
X
,
,
,
0
(7.7) где
X X Y
L
,
,
, в качестве Y можно брать базисные операторы. Вычисле- ние однопараметрических групп для базисных операторов алгебры Ли и их суперпозиции дают полную линейную группу внутренних автоморфизмов.
Если взять по одной подалгебре из класса подобных относительно группы внутренних автоморфизмов, то получится оптимальная система
подалгебр.
Инварианты подобных подалгебр связаны заменой переменных из группы, допускаемой исходными уравнениями, поэтому решения подмоде- лей, построенных на подобных подалгебрах с помощью связанных инвари- антов, связаны той же заменой переменных. Поэтому достаточно строить подмодели для подалгебр из оптимальной системы.
Для основных алгебр из Таблицы 1 оптимальные системы построены.
В приложении приводится оптимальная система для алгебры
L
11
, взятая из работы [5]. В таблице введены обозначения: r – размерность подалгебры, i – номер подалгебры в данной размерности; в базисах подалгебр оставлены номера операторов (7.5); в колонке Nor поставлен номер подалгебры (r.i) из
56 таблицы, которая является нормализатором подалгебры в строке; знак = у номера подалгебры-нормализатора обозначает, что подалгебра в строке са- монормализована.
Нормализатором NorML(
)
подалгебры M алгебры L называется мак- симальная подалгебра в L, для которой M является идеалом.
Идеалом J алгебры Ли L называется подалгебра, для каждого элемента которой коммутатор с любым элементом из L принадлежит J.
Подмодель подвергается исследованию, так же как и основные уравне- ния газовой динамики. Упрощение происходит за счет уменьшения числа переменных. Усложнения получается ввиду того, что решения подмодели необходимо интерпретировать в физических переменных. Подмодель допус- кает преобразования нормализатора, записанного в инвариантах подалгебры.
В дальнейшем проводятся исследование некоторых подмоделей. Под- модели могут быть разных типов, в зависимости от того какие инварианты рассматриваются (точечные или дифференциальные), а также от того, какие выражения для инвариантов получаются.
Полное исследование всех подмоделей еще далеко от завершения.
Можно лишь констатировать, что ранее исследованные подклассы точных решений системы уравнений газовой динамики вкладываются в систему подмоделей, построенных по оптимальным системам.
По оптимальной системе можно построить граф –
дерево вложенных подалгебр, учитывая внутренние автоморфизмы. Каждой ветке этого дерева
(подалгебра – надалгебра) можно сопоставить вложенные подмодели так, что решения любой подмодели надалгебры порождают точные решениями некоторой подмодели подалгебры. Для этого всегда можно выбрать инвари- анты надалгебры как функции инвариантов подалгебры. Представление группового решения определяется заданием функциональной зависимости
57 одной части инвариантов через другие. Сравнение представлений подалгеб- ры и надалгебры задает связь между решениями подмоделей.
Упражнение 1. Доказать, что в любой однопараметрической группе можно ввести канонический параметр.
Упражнение 2. Показать, что однопараметрическая группа удовлетво- ряет задачи (7.3).
Упражнение 3. Показать, что решение задачи (7.3) образует канониче- скую группу.
Упражнение 4. Проверить свойства билинейности, антисимметрично- сти и тождество Якобы для коммутатора (7.4).
Упражнение 5. Вывести операторы (7.5) из преобразований 1
5
§1.
Обратно, решая (7.3) для операторов (7.5) получить группу
G
11
Упражнение 6. Продолжить операторы (7.5) на производные и прове- рить, что они допускаются системой уравнений газовой динамики.
Упражнение 7. Проверить, что операторы в каждой строке таблицы 1 образуют алгебру Ли, составив таблицу коммутаторов.
Упражнение 8. Проверить, что
L
11
является идеалом в каждой алгебре из таблицы 1.
Упражнение 9. Проверить, что операторы таблицы 1 допускаются уравнениями газовой динамики.
Упражнение 10. Проверить преобразования подобия из таблицы 2.
Упражнение 11. Показать, что преобразования подобия
( ),
( )
p p p приводят конечномерные подалгебры бесконечной ал- гебры
Y
p
к одной из трех:
Y
Y Y
Y Y
Y
p p
p
1 1
1 2
;
,
;
,
,
Упражнение 12. Найти внутренние автоморфизмы алгебры
L
11
, решая задачи (7.7) для базисных операторов.
Упражнение 13. Найти нормализаторы подалгебр из упражнения 11.
58
Упражнение 14. Проверить, что в таблице из приложения операторы в строчках образуют подалгебры, и вычислить для них нормализаторы.
Упражнение 15. Показать, что
J
X
X
6 1
6
,
,
есть идеал в
L
11
, а
X
X
N
7 11 5
,
,
подалгебра. Составить оптимальную систему для
N
5
: r i
Базис
Nor r i
Базис
Nor
5 1
7, 8, 9, 10, 11
=5.1 1
1 7+a11, a
0 2.1 4
1 7, 8, 9, 10 5.1 2
7 3.2 2
7, 8, 9, 11
=4.2 3
7+10 2.2; a =0 3
1 7, 8, 9 5.1 4
10 5.1 2
7, 10, 11
=3.2 5
11 4.2 2
1 7, 11
=2.1 2
7+a11, 10 3.2 3
10, 11 5.1
Упражнение 16. Для каждой подалгебры из таблицы упражнения 15 вычислить стационарную подгруппу автоморфизмов, действующую в
J
6
Упражнение 17. Проверить оптимальную систему из приложения.
Упражнение 18. Записать басисные операторы алгебры
L
11
в цилинд- рической системе координат.
§8. Инвариантные подмодели ранга три.
Одномерным подалгебрам из оптимальной системы (см. Приложение) сопоставляются инвариантные подмодели ранга три. Необходимо вычислить базис функционально независимых инвариантов оператора, причем выбрать его так, чтобы три инварианта базиса выражались только через независимые переменные, а из остальных инвариантов определились бы все неизвестные функции. Инварианты – функции всех переменных зависимых и независи- мых, которые обращаются в нуль действием операторов из подалгебры. Вы-
59 числять инварианты многомерной подалгебры можно последовательно. Сна- чала вычисляются инварианты одного любого оператора, а остальные опера- торы записываются через инварианты первого. При лишней неинвариантной переменной коэффициенты приравниваются нулю (расщепление). Далее вы- числяются инварианты следующего оператора и так далее.
Инварианты можно выбрать так, что инвариантная подмодель ранга три принимает один из следующих двух типов: эволюционный тип
E
u u u v u b R P
a v
u v v v b R P
a w
u w v w a
R
u R
v R
R u v
Ra
P
u P
v P
A
P u v
a t
x y
x t
x y
y t
x y
t x
y x
y t
x y
x y
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 2
1 2
1 1
1 1
1 3
1 1
1 1
4 1
1 1
1 5
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
,
,
,
,
(R, )
,
(8.1) где коэффициенты системы b
x y a
i i
(t,
,
)
,
1 1
0
– квадратичные функции по переменным u v w
1 1
1
,
,
;
стационарный тип
S
u u v u w u b R P
a u v v v w v b R P
a u w v w w w b R P
a u R
v R
w R
R u v
w
Ra u P
v P
w P
x y
z x
x y
z y
x y
z z
x y
z x
y z
x y
z
1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 2
1 2
1 1
1 1
1 1
3 1
3 1
1 1
1 1
1 4
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
,
,
,
,
A
P u v
w a
x y
z
(R, )
,
1 1
1 5
1 1
1
(8.2) где b
y z a
i i
(x ,
,
)
,
1 1
1 0
– квадратичные функции по u v w
1 1
1
,
,
Системы (8.1), (8.2) приводятся к симметрическим системам так же, как это было сделано в § 3. По определению из § 5 система (8.1) гиперболи- ческая.
60
Теорема 1. Для системы (8.2) область гиперболичности определяется неравенством
b ub vb wa1 1
1 2
2 1
1 2
3 1
1 2
2
(8.3)
Доказательство. По определению из § 5 для характеристического век- тора
( , , ) системы (8.2) получается уравнение
3 2
2 1
2 2
2 3
2 0
a b b
b
, где
u v
w
1 1
1
Для гиперболичности системы необходимо, чтобы квадратичная форма по переменным
в квадратных скобках была знако- переменна. Это возможно, если собственные числа матрицы квадратичной формы имеют разные знаки.
Уравнение для собственных чисел таково g
J
J
J
( )
,
3 1
2 2
3 0
(8.4) где
J
a v
w b
b b
J
b b b b b b
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
3 2
1 2 1 3 2 3
(u
)
,
a u b b
v b
b w
b b
J
a b b w b b v b b u b b b
2 1
2 2
3 1
2 1
3 1
2 1
2 3
2 1 2 1
2 1 3 1 2
2 3 1 2
1 2 3
(
)
(
)
(
) ,
По теореме Раусса (Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. М. Наука, 1966, с.
475) число k положительных корней многочлена g( )
равно числу перемен знака в ряду выражений, составленных из коэффициентов уравнения (8.4)
1 1
2 3 1 1
3
,
,
,
J
J
J J
J
При k=1 возможны три случая
1 0
0 2
0 0
3 0
0 1
1 2 3
3 1
1 2 3
3 1
1 2 3
3
)
,
,
;
)
,
,
;
)
,
,
JJ JJJJJ JJJJJ JJJ
При k=2 возможны еще три случая
61 4
0 0
5 0
0 6
0 0
1 1 2 3
3 1
1 2 3
3 1
1 2 3
3
)
,
,
;
)
,
,
;
)
,
,
J
J J
J
J
J
J J
J
J
J
J J
J
J
Пусть
2 2
2 2
2 1
2 3
1 1
1 0
,
b
b
b q
a
u
v
w
, иначе переобозначим переменные.
В случае 1) из
J
1 0
следует
q
b
b
b
2 1
2 3
и
J
3 0
. Покажем, что не- равенство
1 2
3
J J
J
выполняется. Действительно,
J J
q b
b b
b b b b b b q b b
1 2 2
1 2
3 1 2 1 3 2 3 2
1 2
(
) ;
b b b
J
1 2 2
3 3
(q
)
и достаточно доказать неравенство
2 1
1 2
2 1
2 3
1 2
3 3
1 (
)(
)
,
q
b
b
b
b
b
b
q
q
b
которое равносильно следующему очевидному неравенству
2 2
3 2
3 1
0
q
b
b
q
b
b
или
1 2 0.
b b
Значит, область вне сферы
q
b
b
b
2 1
2 3
в пространстве перемен- ных q
u a
q
u a
q
u a
1 1
1 2
2 1
3 3
1
,
,
является областью гиперболично- сти.
Из 2), 3) следует, что область между сферой
q
b
b
b
2 1
2 3
и эл- липсоидом q b
q b
q b
1 2
1 1
2 2
2 1
3 2
3 1
1
разбивается на две части поверхно- стью
J J
J
1 2 3
и обе части являются областями гиперболичности.
Таким образом, случаи 1)
3) объединяются в одном неравенстве
J
3 0
, равносильном (8.3).
В случае 4) следует q
b
2 3
,
62
q
b
b
b
b b
b b
b b
b q
b q
J J
J
b b q
b
2 1
2 3
1 2 1 3 2 3 1
2 2
2 1 2 3
1 2 2
3
Отсюда следует противоречивое неравенство
q b
b q
b b
2 3
2 2
3 1
0
или b b
1 2 0
В случаях 5), 6) из неравенств J
J
1 3
0 0
,
следуют противоречивые нера- венства q
b b
b q
b
2 1
2 3
2 3
,
Теорема доказана.
Рассматриваются инвариантные подмодели ранга 3, построенные по одномерным подалгебрам оптимальной системы из приложения.
Подалгебра 1.1 задает движение с квазиконической спиральной ли-
нией уровня инвариантных функций. Для составления уравнений подмоде- ли вычисляются инварианты оператора подалгебры в цилиндрической сис- теме координат. Оператор
at
ax
bt
ar
b
t
x
r
U
имеет инварианты: x
xt ba t y r t z
a t
1 1
1 1
1 1
1
ln ,
,
ln ;
u
U
xt ba v
V
r t w
t Wr a
P
p R
1 1
1 1
1 1
1 1
,
,
,
,
Используя инварианты, записываем вид инвариантного решения
1 1
1 1
1 1
1 1
,
,
,
,
,
U
u
xt
ba
V
v
rt
W
rt
w
a
p
P
R
(8.5) где u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
– функции инвариантов x y z
1 1
1
,
,
Подстановка (8.5) в уравнения газовой динамики (3.5), (3.6),(3.9), запи- санных в цилиндрической системе координат, дает систему стационарного типа (8.2) с b
b b
y
1 2
3 1
2 1
,
;
a u
ba a
v y
a a
y a
v y
1 1
1 2
1 1
1 1 2 3
1 1
1 1
1 1
2
,
(w
) ,
(w
)(
),
1 4
1 1
5 4
3
,
a
y v a
Aa
Линия в физическом пространстве R
x r
4
(t, , , ),
соответствующая по- стоянным значениям инвариантов
1 0
1 0
1 0
,
,
,
x
x y
r z
является линией
63 уровня инвариантных функций u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
. Проекция этой линии в про- странство R x r
3
( , , )
задается равенствами x
r r
x b
a r
r r
r e a
0 0
0 0
0
ln
,
(
)
Первое уравнение задает поверхность вращения квазилуча (см. рис. 1), пере- секающего ось r в точках r=0 и r
r r e ax b
1 0
0 1
, и имеющего один мини- мум в точке x
ba e r r m
1 1
1 0 1
,
r r e m
1 1
r r
1
r m
x m
0 x
Рис. 1
Второе уравнение задает цилиндр с прямой образующей параллельной оси х и направляющей – логарифмической спиралью. Таким образом, линия уровня есть спираль, намотанная на поверхность вращения квазилуча.
При
b
0
квазилуч становится лучом x
r r
x
0 1
0
. Поверхность вра- щения есть конус. Таким образом, спираль наматывается на коническую по- верхность.
Фиксируем переменные t, x, r и меняем
от
0
до
0 2
. Мы полу- чим одну и туже точку в физическом пространстве. При этом значения инва- рианта z
1
принимает приращение 2
. Значит, для того, чтобы решение ин- вариантной подмодели задавало непрерывное течение в физическом про- странстве, необходима 2
– периодичность инвариантного решения u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
по переменной z
1
. В противном случае в течении должны быть поставлены стенки или сильные разрывы.
64
Подалгебра 1.2 задает
движение с винтовыми линиями уровня, шаг которых зависит от времени. В цилиндрической системе координат опера- тор имеет вид: at a
a x
U
,
;
0 инварианты таковы
1
,
,
t xxat
1
,
, ,
, , .
r UxtV W p
Представление инвариантного решения имеет вид
1 2
2 2 2 1
1 1
1 1
2 2 2 1
1
;
,
,
,
,
Uarra tuatr w VvWwatr ra tuR pP
(8.6) где u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
– функции инвариантов t x r y
,
,
1 1
Подстановка (8.6) в уравнения газовой динамики (3.5), (3.6), (3.9), за-
писанных в цилиндрических координатах, дает систему эволюционного типа
(8.1), где
2 2 2
1 2
1
,
1;
ba t rb
1 4
1 5
4
,
,
av raAa
1 1
1 1
2 2 2 2
1
,
a tatravwurrra t
2 2
1 1
2 2 2 1
,
atrawurra t
2 2 1
2 1
3 1
1 2
2 2 2
2 2 2
v a t rra tatrawura tra t
Постоянным значениям инвариантов t, x
1
, r соответствует винтовая линия в физическом пространстве
R x r3
( , , )
. Это линия постоянства инва- риантных функций.
При фиксированных переменных t, x, r и меняющимся угле
от
0
до
0 2
инвариант x
1
и функция U получают приращение 2
at и 2
a соот- ветственно. Следовательно, в области движения газа должна быть стенка или поверхность сильного разрыва, сечение которых любым цилиндром r=const есть винтовая линия.
Подалгебра 1.3 имеет инварианты t, x, r; U, V, W, p,
в цилиндриче- ских координатах. Инвариантное решение вида
1 1
1
( , ,
),
Uu t x y
65 1
1 1
1 1
1 1
1
( , ,
),
( , ,
),
( , ,
),
V
v t x y W
w t x y
p
P t x y
1 1
( , ,
),
R t x y
1
,
x
x
1
;
y
r
определяет подмодель эволюционного типа (8.1) с
1 2
1,
b
b
1 2
1 1
1 2
1 3
1 1
4 1
5 4
0,
,
,
,
a
a
r w a
r v w a
r v a
Aa
Линии уровня инва- риантных функций есть окружности, поэтому подмодель называют подмоде- лью вращательно симметричных движений.
Подалгебра 1.4 задает движение с винтовыми линиями уровня, шаг
которых не зависит от времени. Инварианты в цилиндрической системе координат таковы t x r y x
U V W p
,
,
;
, ,
, , .
1 1
Инвариантное решение вида
U
v r
w r
u V
u W
w r
u p
P
R
1 1
1 2
1 1
1 1
1
,
,
,
,
,
где функции u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
зависят от инвариантов t x y
,
,
,
1 1
задает эволю- ционного типа подмодель (8.1) с b
b r
1 2
2 1
1
,
;
a r
r u
a r
u r
u a
r u w r
r u
a r
u a
A a
1 1
1 1
1 2
2 2
1 1
1 1
3 1
1 1
2 1
1 1
2 4
1 1
5 4
2
(w
) ,
(w
),
(w
) ,
,
Если решение подмодели 2
– периодическое по y
1
, то оно задает не- прерывное движение газа.
Подалгебра 1.5 задает вращательные движения в однородном поле
сил. Инварианты в цилиндрической системе координат таковы x
x t
y r z a
t U
t V W p
1 2
1 1
1 2
,
,
,
, ,
, , .
Представление решения в виде
U
t u V
v W
a r w
R p
P
1 1
1 1
1
;
,
(
),
,
,
где функции u v w
R P
1 1
1
,
,
, ,
зависят от инвариантов x y z
1 1
1
,
,
, задает стационарного типа подмодель (8.2) с b
b b
a r a
1 2
3 2
2 1
1 1
,
;
,
a a r w
a r
v w
a r
v a
A a
2 2
1 2
3 1
1 1
4 1
1 5
4 1
2 1
(
) ,
(
),
,
Для непрерывности физического течения нужно потребовать 2
a
–
периодичность по z
1
решения подмодели.
66
Уравнения x
const y const z const
1 1
1
,
,
задают вращательное движение точки по цилиндру, равноускоренное в направлении оси цилиндра.
Подалгебра 1.6 задает вращательные движения. Инварианты в ци- линдрической системе координат таковы x
x y
r z
t
1 1
1
,
,
,
U V W
p
, ,
, , .
Представление инвариантного решения в виде
U
u
1
;
V
v W
r w
R p
P
1 1
1
,
(
),
,
,
где функции u v w
R P
1 1
1
,
,
, ,
зависят от x y z
1 1
1
,
,
, определяет стационарного типа подмодель
(8.2) с b
b b
r a
1 2
3 2
1 1
0
,
;
,
a r
w
2 1
2 1
(
) ,
a r
v w
a r
v a
A a
3 1
1 1
4 1
1 5
4 2
1
(
),
,
Для непрерывности физического течения требуется 2
– периодич- ность по z
1
решения подмодели.
На линии постоянства инвариантов x y z
1 1
1
,
,
точка движется по ок- ружности с постоянной круговой скоростью.
Подалгебра 1.7 задает обобщенно конические течения. Инварианты в декартовой системе координат таковы x
xt a
t y yt
1 1
1 1
ln ,
,
z zt u
xt v, w,
p
1 1
1
,
,
, .
Представление инвариантного решения в виде u
u xt a v v
yt w
w zt
R p
P
1 1
1 1
1 1
,
,
,
,
,
где функции u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
зависят от x y z
1 1
1
,
,
, определяет стационарного типа подмо- дель (8.2) с b
b b
a u
a
1 2
3 1
1 1
;
,
a v
a w
2 1
3 1
,
,
a a
A a
4 5
4 3
,
Линия в R
y, z
3
(x,
) постоянства инвариантов x x
y y
1 0
1 0
,
, z
z
1 0
есть квазилуч x
y
y
x
a
y
y
0 0
0
ln
(см. Рис. 1) в плоскости
z y
y z
0 0
67
Подалгебра 1.8 задает конические течения. Инварианты в декартовой системе таковы x
xt y
yt z
zt
1 1
1 1
1 1
,
,
,
u
x t
v
w
p
1
, ,
,
, .
Представление инвариантного решения в виде
u
u
x t
1 1
,
v
v
yt
w
w
zt
R p
P
1 1
1 1
,
,
,
,
где функции u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
зависят от x y z
1 1
1
,
,
, определяет стационарного типа подмодель (8.2) с b
b b
a u
1 2
3 1
1 1
;
,
a v
a w
2 1
3 1
,
, a a
A a
4 5
4 3
,
Линии постоянства инвариантов x y z
1 1
1
,
,
являются прямыми, прохо- дящими через начало декартовой системы координат.
Подалгебра 1.9 задает движения газа в постоянном поле сил. Инва- рианты в декартовой системе координат таковы
2 1
1 2
,
x
x
t
y y, z z u t v, w,
p
1 1
;
,
, .
Представление инвариантного решения в виде u
t u v v w w
R p
P
1 1
1
,
,
,
,
задает подмодель
(8.1) с b
b b
a a
a a
a
1 2
3 1
2 3
4 5
1 1
0
,
,
Линии постоянства инвариантов x y z
1 1
1
,
,
есть прямые, параллельные оси x, по которым точки двигаются равноускоренно.
Подмодель 1.10 задает стационарные движения газа. В этом случае представление решения есть газодинамические функции, независящие от времени. Получается стационарная подмодель (8.2) с b b
b
1 2
3 1
,
a a
a a
a
1 2
3 4
5 0
Проведем качественные исследования эталонной простейшей подмо- дели стационарного типа. Индекс 1 у всех переменных опускается в даль- нейшем описании стационарных движений.
Линии в
R
y, z
3
(x,
),
определяемые как интегральные кривые системы обыкновенных дифференциальных уравнений dx u
dy v
dz w
68 называются линиями тока и обозначаются символом L. Из (1.2) следует, что линии тока являются траекториями частиц в стационарном движении. Урав- нения для энтропии (3.8) принимает вид
D S
uS
vS
wS
x y
z
0. От- сюда следует интеграл энтропии: энтропия вдоль линии тока постоянна
S
S
0
(L).
(8.7)
Из уравнения (3.13) после скалярного умножения на скорость
u следу- ет равенство
D
u
D p
2 0
1 2
1
Вводится в рассмотрение энтальпия i
pV
В силу первого закона тер- модинамики (2.2) и (8.7) следует равенство
D u i
2 2
0
Отсюда получается интеграл Бернулли
u i
i L
2 0
2 2
(8.8)
Так как di d
a
S const
2
, то I
a d
2 2
0
отличается от 2i на слагаемое, зави- сящее от S.
Упражнение 1. Для нормального газа при постоянной S справедливо, что I(a )
2
есть однозначная возрастающая функция квадрата скорости звука и
I(a )
2 0
при a
2 0
; I(a )
2
при
Итак, (8.8) представляется в виде
u
I
q
L
m
2 2
2
(a )
, где q
m есть максимально возможная скорость на данной линии тока L. Мак- симальная скорость достигается в точке вакуума a
0 и
0.
Критической скоростью a
0
называется единственный корень уравнения
69
a
I a
q
m
2 2
2
(
)
Теорема 2. Для дозвуковых течений
u a
справедливо неравенство
u a
a
; для сверхзвуковых течений
u a
следует неравенство
u a
a
Доказательство. I(a )
2
– монотонно возрастающая функция. При
u a
справедлива цепочка неравенств
u
I u u
I a q
L
a
I a a
I a m
2 2
2 2
2 2
2 2
2
, откуда следует неравенство
u a
a
При
u a
все знаки неравенств заменяются на противоположные.
Неравенство (8.3) показывает, что в области сверхзвукового течения система (8.2) является гиперболической.
Для определения характеристик подмодели установившихся течений воспользуемся результатами §5. В выражении для характеристической мат- рицы А отсутствуют слагаемое с
A
t
. Нормальный характеристический век- тор в
R
y, z
3
(x,
)
таков
n n
( , , ),
1 – это единичная нормаль к харак- теристике. Величина
u n u
n
– проекция на нормаль вектора скоро- сти. Уравнение для нахождения характеристического вектора det ( )
A n
0 распадается на три: u
n
0
– контактные характеристики, которые состо- ят из линий тока; u a
n
– звуковые характеристики, на которых проек- ция скорости на нормаль по абсолютной величине равна скорости звука.
Звуковые характеристики возможны лишь в области сверхзвукового течения, так как
u u
a n
. В областях дозвуковых течений возможны лишь кон- тактные характеристики.
70
Для линии тока L определяется трубка тока
T
r
, которая образована линиями тока, проходящими через окружность
K
r малого радиуса r с цен- тром на линии L и лежащей в плоскости перпендикулярной L (Рис. 2).
Пусть K – другое сечение
T
r
T
r и
– боковая поверхность
u между
K
r и K. Поверхность
L
образована линиями тока,
K
r
K поэтому на ней
u n
0
, где
n -
Рис. 2 нормаль к
Интегральный закон сохранения массы для неподвижного объема
с границей
гласит: изменение массы в объеме равно потоку массы через по- верхность
t d
u nd
Для стационарных течений отсюда следует равенство
( )
r
r
K
K
Q T
u nd
u nd
(8.9) для расхода
Q
r
(T )
, который не зависит от сечения.
Пусть площади
K
K
r
,
есть
r
,
и существует предел lim r
r
F
0
–
площадь сечения.
Тогда существует конечный предел
Q
Q
u F
r r
r
lim
(T )
0 1
называемый расходом вдоль линии тока L.
Из (8.9) следует интеграл
F u
const
(8.10)
71
Теорема 3. В расширяющейся трубке тока дозвуковая скорость убыва- ет, а сверхзвуковая скорость возрастает; в сужающейся трубке тока, наобо- рот, дозвуковая скорость возрастает, а сверхзвуковая убывает.
Доказательство. Дифференциал от (8.8), (8.10) вдоль L дает d
u d u
M
M
u a
(
)
(
),
;
1 2
dF
F
d u
u
(
)
0.
Отсюда получим равенство dF
F
d u u
(M
)
2 1
.
(8.11)
Из (8.11) следуют все возможные сочетания знаков: dF
M
d u dF
M
d u dF
M
d u dF
M
d u
0 1
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
,
,
;
,
,
;
,
,
;
,
,
,
равносильные совокупности всех утверждений о свойствах трубки тока.
В установившимся движении поверхность ударной волны неподвижна
D
n
0
и называется
скачком уплотнения.
По теореме Цемплена 4.4 состояние 1 перед скачком и состояние 2 за скачком связаны неравенствами u
a u
a n
n
1 1
2 2
,
Следовательно,
перед скачком уплотнения течение сверхзвуковое, а за скач- ком может быть как сверхзвуковым, так и дозвуковым. Из (4.10) следует
1 2
0 2
u pV
или
u i
2 2
0
,
72 т.е. постоянная в интеграле Бернулли (8.8) не меняется при переходе через скачок
i q
m
0 0
вдоль линии тока L.
Если вектор скорости ортогонален скачку, то скачок называется пря-
мым. В этом случае линия тока проходит через скачок гладко. Скачок уп- лотнения называется косым, если вектор скорости образует угол с нормалью скачка. В этом случае вектор скорости меняет направление при переходе че- рез скачок, а линия тока имеет излом, при этом касательная составляющая скоростей не меняется (4.11) (см. Рис. 3).
Уравнение (4.15) имеет вид
[ ]
u
h
0
и служит для определения поверхности скачка
: ( )
,
h x
0
здесь |[ ]|
[
].
u
u
n
Уравнение адиабаты
Гюгонио (4.14) или (4.16) удобно записать в виде
V
V
z
2 1
1
(
( )),
где
z
p V a
[ ]
1 1 2
- амплитуда скачка.
u
1
v
n
u
u
2
u
Рис. 3
Поведение графика функции Г (z) следует из свойств адиабаты Гюго- нио, установленных в § 4 (Рис. 4.3), в нормальном газе (см. Рис. 4, где z
p a
1 1 1 1
1 2
).
Условия на скачке принимают вид
u
u
z
n
n
2 1
1 1
( ),
a z
u
z
n
1 2
1 2
( ). Отсюда
2 2
2 1
1
(
) ( ).
z
M
u a
z
Из подобия прямоугольных треугольников на рисунке 3 следует
v
u
q
u
u
u
u
q
n
n
n
1 1
1 2
1
, где
2 2
2 1
1 1
1
|
|
,
,
n
u
q u
q
u
2 2
2 2
u
u
v
73
1 1
1
45
M
z
1 2
z
1 0 z
0
z
1 1
0 1
Рис. 4
Отсюда получается параметрическое представление ударной поляры
u
q
M
z
1 1
2 1
(
),
v
a z
z
zM
2 1
2 1
2
( ( )
),
где
M
q a
1 1 1 1
,
z - параметр кривой в плоскости ( , )
u v (Рис. 5). v
90
90
N
90
N'
B
2
'
B
2
B
1
M
1
u
0
a
q
1
u
u
Рис. 5
Из свойства звездности адиабаты Гюгонио следует, что уравнение
( )
z
M
z
1 2
при любом
M
1 1
имеет единственный корень
z M
0 1
(
).
По- этому ударная поляра определена в интервале 0 0
z
z , звездна относи- тельно точки
(
, ),
q
1 0
имеет в этой точке производную |
/
|
dv
du
ctg
1
при
z
0,
где
1
- угол Маха sin
1 1 1 1
a q
В силу звездности угол наклона
скорости
u
1
к поверхности скачка всегда больше угла Маха
1
Точка
(u , )
0 0
, u
q q
M z
0 2
1 1
2 0
1
(
)
, соответствует прямому скачку.
По теореме Цемплена 4.4 течение за прямым скачком всегда дозвуковое u
a
0
. За косым скачком течение может быть как сверхзвуковым
B
2
, так и
74 дозвуковым
B
2
. Для косых скачков угол поворота вектора скорости не пре- восходит некоторого максимального значения. Ударная поляра при z
0 имеет бесконечные ветви в области u
q
1
с асимптотой u
u q
z
1 1
1
(
)
. В этом случае состояние 1 находится за скачком.
Подалгебра 1.11 задает сдвиговые движения. Инварианты в декарто- вой системе координат таковы t
x x
t z y y; u z v w,
p
,
,
, ,
, .
1 1
Представление инвариантного решения в виде u
z u
t w t
v v
1 1
2 1
1
,
,
1 1
2
,
1
w
tu
w
t
,
,
R p
P
где функции u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
зависят от t x y
,
,
1 1
, определяет подмодель эволюционного типа (8.1) с
2 1
2 1
,
1,
b
t b
a t u w
t a
a a
a u
1 1
1 2
2 4
5 3
1 2
1 0
,
,
Линии уровня инвариантных функций есть параллельные прямые, ле- жащие в плоскостях параллельных плоскости (x, z). Направления прямых линий уровня линейно зависит от времени.
Подалгебра 1.12 описывает галилеево - инвариантные движения га-
за. Инварианты в декартовой системе координат таковы
t x
y
,
,
1
y
z u
x t
v w
p
1 1
,
, , , , .
Представление инвариантного решения в виде
1 1
1 1
,
,
,
,
,
u
xt
w v
u w
v
R p
P
где u v w
P R
1 1
1
,
,
, ,
зависят от t x y
,
,
1 1
, определяет подмодель эволюционного типа (8.1) с
b
b
1 2
1
;
a
a
a
t w
1 2
3 1
1 0
,
, a t
a
A a
4 1
5 4
;
Линии уровня инвариантных функций параллельны оси x.
Подалгебра 1.13 описывает двумерные движения газа. Инвариант- ное решение имеет представление u
w v
u w v
p
P
R
1 1
1
,
,
,
,
,
где
75 все функции зависят от t x y, y z
,
,
1 1
и задает подмодель эволюционного типа (8.1) с b
b
1 2
1
,
a a
a a
a
1 2
3 4
5 0
При w
1 0
получаются плоскопараллельные движения газа.
В последних двух случаях третье уравнение подмодели отщепляется от системы и может быть решено как линейное уравнение по известному реше- нию оставшихся уравнений. C учетом этого замечания каждая из рассмот- ренных здесь подмоделей ранга три допускает лишь нормализатор алгебры, по которой она построена. При этом операторы нормализатора должны быть записаны в инвариантных переменных, которые остались в системе после отщепления некоторых уравнений.
Таблица 1 из §7 не сохраняется для подмоделей. Есть подмодели, когда она сокращается и когда она расширяется с появлением новых уравнений со- стояния, при которых допускаемая подмоделью группа расширяется.
Упражнения 2. Подставить представления инвариантных решений для подалгебр 1.1- 1.13, указанные в тексте, в уравнения газовой динамики, и по- лучить подмодели (8.1) и (8.2).
Упражнения 3. Перенести некоторые свойства подмодели установив- шихся движений на другие подмодели стационарного типа.
Упражнения 4. Найти базисы функционально - независимых инвари- антов для всех подалгебр из приложения.
Упражнения 5. Как можно доказать утверждения о двух типа инвари- антных подмоделей, не перебирая все подалгебры?
Упражнение 6. Для каждой из подмоделей проверить утверждение о допускаемой алгебре в виде нормализатора.
Упражнение 7. Привести подмодели к симметрическому виду.
Упражнение 8. Составить таблицы расширений для подмоделей.
Упражнение 9. Вывести уравнения характеристик для подмоделей.
Скачать 4.39 Mb.