Лекции по газовой механике. Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного

• Название: Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного
• Анкор: Лекции по газовой механике
• Дата: 12.05.2023
• Размер: 4.39 Mb.
• Имя файла: habirov.pdf
• Тип: Книга; #1124687
• страница: 15 из 15

§20. Вычислительные методы.
В вычислительной газовой динамики есть два классических метода: метод характеристик и метод распада произвольного разрыва (С.К.
Годунов). Иллюстрируем эти методы на при мере одномерных движений.
1. Метод характеристик.
Одномерные уравнения газовой динамики в характеристической форме
(
0,1,2


) имеют вид (12.7)
2 2
0
:
(
) ,
;
:
(
) ,
;
:
,
(èëè
0),
( , ),
dp
ua
C
dr
u
a dt
du
dt
a
r
dp
ua
C
dr
u
a dt
du
dt
a
r
C
dr
udt
dp
a d
dS
p
f
S
a
f












 









Задача Коши:
, , ,

u
p S
заданы при
0

t
t
, где нет точек вакуума
(
0,
0).
p



Существует единственное решение для
0 1
 
t
t
t
Если решение известно, то для любых близких точек
,


P P
проведем характеристики
,


C C
до пересечения в точке
P
. Далее проведем
0
C из
P
в
0
P
назад. По значениям газодинамических функций в
0
,
,


P P P
определяются значения в .
P
Если решение заранее не задано, то газодинамические параметры в
P
определяются приближенно из уравнений












(
)
,
(
)
;
1
;
(
)
1
(
)

































 
















P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
r
r
u
a
t
t
r
r
u
a
t
t
au
u
u
p
p
t
t
a
r
au
u
u
p
p
t
t
a
r
По найденным
, ,
,
P
P
P
P
t r u
p
определяем
0
,
P
P
r S
(или

P
)


 


0 0
0 0
0 0
2
,
0,
(
,
),












P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
r
r
u
t
t
S
S
p
f
S
p
p
a

210
Если S задано дискретно в
,


P P
, то применяем линейную интерполяцию
0 0











P
P
P
P
P
P
P
P
S
S
S
S
r
r
r
r
Точность вычислений можно увеличить, если коэффициенты
1
,
,



 



au
K
u
a r
вычислять в средней точке
2



P
P
K
K
K
, а систему приближенных уравнений решать итерациями.
Первое приближение для
2
P
P
K
K
K




Задача Коши на кривой
L
решается также, если все характеристики выходят из точек
L
в одну сторону (пространственно подобная кривая
L
). Кривая
L
временно подобна, если она разделяет характеристики

C
и

C
Численно строится сетка из характеристик в треугольнике ABC .
Для некоторых начальных данных характеристики
AC ,
BC не пересекаются и
C уходит в бесконечность при
 
t
. Доказано, что точное решение единственно и непрерывно зависит от начальных данных и возмущений. При уменьшении расстояний между узлами сетки приближенное решение стремится к точному решению в узлах сетки.

211
Задача
Гурса с данными на характеристиках

C
,

C
удовлетворяет условиям на характеристиках и с условиями согласования в т. O , так что две из трех функций независимы. Из точек
,



P P
на


C
OA
и из точек
,



P P
на


C
OB
проводим звуковые характеристики до пересечения. Характеристику
0
C
проводим назад.
Определим функции в узлах.
Область определения решения может быть бесконечной (из ,
A B звуковые характеристики идут в бесконечность) или ограниченной, когда характеристики разных семейств пересекаются.
Задача о поршне или с ударной волной.
На кривой
OA
характеристики

C
заданы функции, удовлетворяющие условиям на характеристиках.
На неизвестной кривой OL характеристики
0
C задана связь
( , , , )
0

G t r u p
(кроме энтропии). Пусть в точке O данные согласуются. Из точек O и

P
проводим характеристики
0
,

C C
до пересечения в точке
P
, условия на характеристиках определяют функции в точке
P
(
0
P
S
S

).
Далее решаем элемент задачи
Гурса для определения газодинамических функций функций в точке '
P
В качестве
( , , , )
0

G t r u p
берутся:
1)
( , )
dr
u t r
dt

- задача о поршне;

212 2) задача со свободной границей
( , )
dr
u t r
dt

,
0
( , ( ))
p t r t
p

(
( )
r
r t

не задана);
3) задача с ударной волной
,
dr
D
dt

условия на ударной волне с заданными значениями газодинамических функций перед фронтом;
4) разгон поршня


,



a
du
dr
M
p
p
L
u
dt
dt
,
M
- масса поршня,
L
- площадь поршня.
Общие замечания о числе газодинамических параметров, задаваемых на кривой
L
. Область движения газа справа от кривой
L
а) Пространственно подобная кривая на
L
заданы все функции на
L
не задано никаких условий б) Временно подобная кривая на
L
задают 2 условия на
L
задают одно условие
Если
L
неизвестно, то на движение
L
надо задать дополнительное уравнение.

213
2. Схема С.К. Годунова.
Схему демонстрируем на примере уравнений акустики (11.5)
1 0
0,
t
x
u
p




2 0
0.



t
x
p
a u
Начальные данные заменим кусочно постоянными функциями между узлами сетки. Разрывы распространяются вдоль характеристик.
Характеристическая форма системы
0 0
0 0
0 0
:
,
(
)
0;
:
,
(
)
0.











 


I
I
dx
C
a
D p
a
u
dt
dx
C
a
D p
a
u
dt
К постоянному решению в области I и II примыкает простая волна, в которой инварианты Римана

I
и

I
постоянны:
0 0
0 0
,





n
n
p
a
u
p
a
u
0 0
0 0
p
a
u
p
a
u







Обобщенное решение задачи о распаде произвольного разрыва таково:
*
0
*
0 0
0
*
0
*
0 0
0
,
при
;
,
при
;
,
при
2 2
2 2










 


 









  
n
n
n
n
n
n
u
u
p
p
x
x
a t
u
u
p
p
x
x
a t
u
u
p
p
p
p
u
u
u
p
a
x
a t
x
x
a t
a
Для ударных волн
( , )
p u

диаграммы простых и ударных волн совпадают.
Действительно, дифференциальные уравнения имеют дивергентный вид, их интегрирование по области ( анологично тому, как это делалось в параграфе 4) по формуле Гаусса-Остраградского дает криволинейный интеграл для произвольной части

ударной волны
1 0
0,
udx
p
dt










2 0
0 0.
pdx
a dt









Отсюда следуют соотношения
 
 
 
 
2 0
0 0
p
u
D
a
u
p





 
 
0 0
,
p
a u

 
где
dx
dt
D

- скорость ударной волны.

214
Упражнение 1. Вывести соотношения на ударной волне из формулы
(4.13) для слабых ударных волн.
Пусть
( ),
( )
u
u x p
p x


– непрерывны при
0

t
. На разностной сетке при
0

t
начальные функции кусочно постоянны. Решаем задачу о распаде разрыва
1 1
1 0
0 2
2 1
1 0
1 0
2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
0 0
0 0
0 0
,
при
;
,
при
;
,
2 2
2 2
при
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
u
u
p
p
x
a t
x
x
a t
u
u
p
p
x
a t
x
x
a t
u
u
p
p
p
p
u
u
u
U
p
P
a
a
x
a t
x
x
a t



















 




 












 

Заменим полученные решения при


t
приближенным, чтобы структура решения была такой как при
0

t
, т.е. была бы кусочно постоянна между узлами
j
x :




1 1
2 2
2 1
1 1
0 0 1
1 0
2 2
1
,

 














 
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
u
u
P
P
p
p
a U
U
при x
x x
h
h
Приближенные формулы получены из законов сохранения в интегральной форме. Уравнения имеют дивергентный вид. Их интегрирование по прямоугольнику по формуле Гаусса-Остроградского дает
0 0,




p
udx
dt
2 0
0 0


 

pdx
a dt

215 1
1 2
1 2
1 1
1 1
2 1
2 1
1 1
0 0 2
0 0
1 1
( , )
( ,0)
( , )
(
, )
,
( , )
( ,0)
( , )
(
, )










































j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
u
P
P
x
x
u
j
j
x
x
p
U
U
p
x
x
j
j
x
x
u x
dx
u x
dx
p x t
p x
t
dt
p x
dx
p x
dx
a
u x t
u x
t
0




dt
В этих формулах
0 2


h
a
(условие Куранта). В этом случае характеристики не пересекаются в полосе
0
t

 
. Условия пересечения таково
1 0
0






j
j
x
a
x
a
Для расчета одномерных движений газа по схеме С.К. Годунова используют уравнения газовой динамики в дивергентной форме
2 2
2
(
)
(
)
(
)
0,
0,
1 1
0 2
2






























 







 





x
u
u
p
u
t
x
t
x
u
p
u
u
t
и используют точные решения задачи о распаде произвольного разрыва.

216
Приложение. Оптимальная система подалгебр основной алгебры.
r i
Базис
Nor
11 1
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
=11.1 10 1
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11
=10.1 2
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11.1 9
1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11
=9.1 2
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 11.1 8
1 1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11
=8.1 2
1, 2, 3, 5, 6, a4+7, 10, b4+11 9.1 3
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7+a11, 10 9.1 4
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11
=8.4 5
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11 11.1 7
1 1, 2, 3, 7, 8, 9, 11
=7.1 2
4, 5, 6, 7, 8, 9, 11
=7.2 3
1, 2, 3, 7, 8, 9, 10 8.1 4
2, 3, 5, 6, 7, 10, 11
=7.4 5
1, 2, 3, 4, 7, 10, 11
=7.5 6
1, 2, 3, 5, 6, 10, b4+7+a11 9.1 7
1, 2, 3, 5, 6, a4+7, 4+10 8.3; a=0 8
2, 3, 4, 5, 6, 7, 11
=7.8 9
1, 2, 3, 5, 6, a4+7, b4+11 8.4 10 1, 2, 3, 5, 6, 10, a4+11 9.1 11 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7+a11, a

0 8.4 12 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 9.1 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7+10 8.3; a=0 14 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10 11.1 15 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11 10.1

217 6
1 4, 5, 6, 7, 8, 9 7.2 2
1, 2, 3, 7, 8, 9 8.1 3
1, 2, 3, a4+7, 10, b4+11 7.5 4
1, 4, 5, 6, 7, 11
=6.4 5
1, 2, 3, 4, 7, 11
=6.5 6
2, 3, 5, 6, a4+7, b4+11 7.8 7
2, 3, 5, 6, 7+a11, 10, a

0 7.4 8
2, 3, 5, 6, 7, 10 8.2; a=b=0 9
2, 3, 5, 6, 1+7, 10 7.6; a=b=0 10 2, 3, 5, 6, a1+7, 4+10 7.7; a=0 11 1, 2, 3, 4, 7+a11, 10 7.5 12 2, 3, 5, 6, 10, 11 7.4 13 1, 2, 3, 4, 10, a5+11; a

0 8.5 14 1, 2, 3, 4, 10, 11 9.1 15 2, 3, 4, 5, 6, 7+a11, a

0 7.8 16 2, 3, 4, 5, 6, 1+7 7.12 17 2, 3, 4, 5, 6, 7 8.4 18 1, 2, 3, 5, 6, b4+7+a11; a

0 8.4 19 1, 2, 3, 5, 6, a4+7 9.1 20 1, 2, 3, 5, 6, a4+7+10 7.6; a=0 21 1, 2, 3, 5, 6, 10 9.1 22 1, 2, 3, 5, 6, 4+10 8.3; a=0 23 2, 3, 4, 5, 6, 11 7.8 24 1, 2, 3, 5, 6, a4+11 8.4 25 1, 2, 3, 4, 5, 6 11.1 5
1 7, 8, 9, 10, 11
=5.1 2
1, 4, 7, 10, 11
=5.2

218 3
2, 3, 7, 10, 11
=5.3 4
4, 5, 6, 7, 11
=5.4 5
1, 5, 6, a4+7, b4+11 6.4 6
2, 3, 4, 7, 11
=5.6 7
1, 2, 3, a4+7, b4+11 6.5 8
1, 2, 3, 10, b4+7+a11 7.5 9
1, 2, 3, a4+7, 4+10 6.11, a=0 10 2, 3, 5, 10, a6+11 6.12 11 1, 2, 3, 10, 11 11.1 12 1, 2, 3, 10, 4+a11 9.1 13 2, 3, a1+5, 6, 4+10; a

0 6.22 14 2, 3, 1+5, 6, 10 6.21 15 2, 3, 5, 6, 4+10 7.7; a=0 16 2, 3, 5, 6, 10 8.2; a=b=0 17 1, 2, 3, 6, 4+10 7.14 18 1, 4, 5, 6, 7+a11 6.4 19 2, 3, 5, 6, 7+a11, a

0 7.8 20 2, 3, 5, 6, a4+7; a

0 8.4 21 2, 3, 5, 6, 1+7 8.3; a=0 22 2, 3, 5, 6, 7 9.1 23 1, 2, 3, 4, 7+a11; a

0 6.5 24 1, 2, 3, 4, 7 7.5 25 1, 4, 3+5, 2-6, 7
=5.25 26 2, 3, 5, 6, a4+7+a10; a

0 7.7; a=0 27 2, 3, 5, 6, 7+10 7.6; a=b=0 28 1, 2, 3, 4, 7+10 6.11; a=0 29 1, 4, 5, 6, 11 6.4

219 30 2, 3, a4+5, 6, b4+11 6.23 31 2, 3, 5, 6, a4+11 7.8 32 2, 3, 4, 6, a5+11 6.23 33 1, 2, 3, 4, a5+11; a
0

7.15 34 1, 2, 3, 4, 11 8.4 35 2, 3, 4, 5, 6 8.4 36 2, 3, 4, 5, 1+6 6.25 37 1, 2, 3, 5, 6 9.1 4
1 7, 8, 9, 11
=4.1 2
7, 8, 9, 10 5.1 3
1, a4+7, 10, b4+11 5.2 4
5, 6, a4+7, b4+11 5.4 5
1, 4, 7, 11
=4.5 6
2, 3, a4+7, b4+11 5.6 7
1, 4, 10, 7+a11 5.2 8
2, 3, 10, 7+a11; a

0 5.3 9
2, 3, 7, 10 6.3; a=b=0 10 2, 3, 1+7, 10 5.8; a=b=0 11 2, 3, a1+7, 4+10 5.9; a=0 12 1, 4, 10, 11 5.2 13 2, 3, 10, a5+11; a

0 6.12 14 2, 3, 10, 11 7.4 15 4, 5, 6, 7+a11; a

0 5.4 16 4, 5, 6, 7 6.4 17 a1+4, 3+5, 2-6, b1+7 5.25 18 a1+4, 5, 6, b1+7; a
2
+b
2
=1 5.18; a=0 19 1, 5, 6, b4+7+a11 6.4

220 20 1, 3+5, 2-6, a4+7 5.25 21 2, 3, 4, 7+a11 5.6 22 2, 3, 4, 1+7 5.24 23 1, 2, 3, b4+7+a11; a

0 6.5 24 1, 2, 3, a4+7 7.5 25 1, 2, 3, a4+7+10 6.11; a=0 26 4, 5, 6, 11 7.2 27 1, a4+5, 6, b4+11, a

0 5.29 28 1, 5, 6, a4+11 6.4 29 1, 4, 6, a5+11 5.29 30 2, 3, a4+6, b4+c5+11 6.23 31 2, 3, 4, a5+11; a

0 6.23 32 2, 3, 4, 11 7.8 33 1, 2, 3, a4+11 8.4 34 1, 2, 3, 11 10.1 35 2, 3, a1+5, 4+b6+10 6.22 36 2, 3, a1+5, 6+10 6.21 37 2, 3, 1+5, 10 6.21 38 2, 3, 5, 10 7.10; a=0 39 1, 2, 3, 4+10 8.3; a=0 40 1, 2, 3, 10 11.1 41 1, a2+b3+4, c3+5, d2+6; a
2
+b
2
+(c+d)
2
=1 6.25 42 1, 4, 3+5, 2-6 7.12 43 1, 4, 5, 6 8.4 44 2, 1+a3, 3+5, 6 6.25 45 2, 3, 1+5, 6 7.12 46 2, 3, 5, 6 9.1

221 47 1+a3, 2, 5, 6 7.15 48 1, 2, 3, 4 9.1 3
1 7, 8, 9 5.1 2
7, 10, 11
=3.2 3
4, 7, 11
=3.3 4
1, a4+7, b4+11 4.5 5
1, 10, b4+7+a11 5.2 6
1, 4+10, a4+7 4.7; a=0 7
1, 10, a4+11 5.2 8
5, 6, b4+7+a11; a

0 5.4 9
3+5, 2-6, a1+b4+7 5.25 10 5, 6, 1+b4+7 5.18; a=0 11 5, 6, a4+7 6.4 12 1, 4, 7+a11; a

0 4.5 13 1, 4, 7 5.2 14 2, 3, b4+7+a11; a

0 5.6 15 2, 3, a4+7, a

0 6.5 16 2, 3, 1+7 6.11; a=0 17 2, 3, 7 7.5 18 1, 4, 7+10 4.7; a=0 19 2, 3, a4+7+a10; a

0 5.9; a=0 20 2, 3, 7+10 5.8; a=b=0 21 5, 6, a4+11 5.4 22 1, a4+5, b4+c6+11 5.29 23 1, 4, a5+11,
a

0 5.29 24 1, 4, 11 6.4 25 2, 3, a4+b5+11; b

0 6.23

222 26 2, 3, a4+11 7.8 27 3, a1+b2+6, 4+10 5.17 28 1, 2+4, 10 5.12; a=0 29 1, 4, 10 7.5 30 2, 3, 4+a5+10; a

0 6.22 31 2, 3, 5+10 6.21 32 2, 3, 4+10 7.7; a=0 33 2, 3, 10 8.2; a=b=0 34
–a2+b3+4, a1+d2–c3+5, –b1+c2+e3+6; a
2
(e–d)
2
+b
2
e
2
+c
2
d
2
=1 6.25 35 a1+4, b3+5, b2–6; a
2
+b
2
=1 7.12 36 4, 5, 6 10.1 37 a1+3, b1+5, c1+d2+6; b
2
+c
2
+d
2
=1 6.25 38 a1+3, 5, 6 7.15 39 1, 3+5, a2+6; a

–1 6.25 40 1, 3+5, 2–6 7.12 41 1, 5, 6 8.4 42 2, a1+3, 4 7.15 43 2, 3, 4 8.4 44 1, 2, 3+4 7.14 45 1, 2, 4 8.5 46 1, 2, 3 11.1 2
1 a4+7, b4+11 3.3 2
10, 7+a11; a

0 3.2 3 a1+7, 4+10 3.6; a=0 4
1+7, 10 3.5; a=b=0 5
7, 10 4.3; a=b=0

223 6
10, 11 5.1 7
4, 7+a11; a

0 3.3 8
1, b4+7+a11; a

0 4.5 9
4, 1+7 3.13 10 4, 7 4.5 11 1, a4+7 5.2 12 1, a4+7+10 4.7; a=0 13 4, 11 5.4 14 4, a5+11; a

0 4.26 15 1, a4+b5+11 5.29 16 1, a4+11 6.4 17 1, 10 7.5 18 3, 4+a6+10 5.17 19 1, 4+10 6.11, a=0 20 a1+c3+5, b1+d2+6; a
2
+ b
2
+(c+d)
2
=1 6.25 21 3+5, 2–6 7.12 22 5, 6 8.4 23 a1+2, 3+4 6.25 24 a1+2, 4 7.15 25 1, 3+4 7.14 26 1, 4 9.1 27 2, 3 9.1 1
1 b4+7+a11; a

0 3.3 2 a4+7; a

0 4.5 3
7 5.2 4
1+7 4.7; a=0 5 a4+7+10; a

0 3.6; a=0

224 6
7+10 3.5; a=b=0 7 a4+11; a

0 5.4 8
11 7.2 9
4+10 5.9; a=0 10 10 8.1 11 3+4 6.25 12 4
8.4 13 1
9.1
С
ПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Л.В. Овсянников. Лекции по газовой динамике. М. Наука. 1981.
2.
Г.Г. Черный. Газовая динамика. М. Наука. 1988.
3.
Г. Биркгоф. Гидродинамика. МИЛ. 1954.
4.
Р. Курант, К.О. Фридрихс. Сверхзвуковые течения и ударные волны.
МИЛ. 1950.
5.
Л.В. Овсянников. Программа подмодели. Газовая динамика. Прикладная математика и механика. 1994. Т. 54, вып. 4. С. 30-55.
6.
Л.В. Овсянников. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.:
Наука, 1978.