Лекции по газовой механике. Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
§14. Одномерные движения газа с цилиндрическими волнами и закруткой. Рассматривается подалгебра 2.11 из приложения. В цилиндрической системе координат инвариантное решение записывается в виде U v V u W w 1 1 1 , , , где – алгебраический параметр, функ- ции u v w p 1 1 1 , , , , – зависят от t, r. Подстановка в уравнения газовой дина- мики (3.5), (3.6), (3.9) дает подмодель эволюционного типа (12.1) с b a r w a r w a r u w a r u a A a 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 1 1 4 1 1 5 4 , , , , , Опуская индекс 1, получим систему 127 u uu p r w v uv r w u(r w ) r r u t r r t r t r t r 1 1 2 1 0 0 , , (r w ) , , (14.1) p up A u r u t r r 1 0 или S uS t r 0. Второе уравнение системы (14.1) для v отщепляется; его можно ре- шать как линейное неоднородное уравнение для каждого решения оставших- ся уравнений, в которые не входит величина v. Четвертое уравнение системы (14.1) определяет функцию тока (или лагранжеву координату из §12) (t, ) r : r G r u G r t ( ), ( ) . Третье и пятое уравнения системы (14.1) ин- тегрируются и дают интеграл закрутки r w , (14.2) и интеграл энтропии S S (14.3) Остается первое уравнение, которое после подстановки интегралов становится квазилинейным гиперболическим уравнением для функции тока: r t t t r t r t r r r r s r a r f S G r a r G G 2 2 2 3 1 1 2 3 2 4 1 2 (14.4) При 0 уравнение (14.4) и система (14.1) рассматривались в §12. Здесь предполагается 0. В силу (14.2) из первого уравнения следует, что закрутку можно трак- товать как массовую силу в обычном одномерном движении с цилиндриче- скими волнами. Пусть u(r, t), v(r, t), w(r, t), p(r, t), (r, t) – гладкое решение подмодели (14.1) без особенностей. Тогда в физическом пространстве траектория, 128 проходящая через точку M x r 0 0 0 0 , , , находится как решение задачи r u r t r w r t x v r t r r x x t t t t t t , , , , , ; , , 0 0 0 0 0 0 (14.5) Отсюда следует, что r r t r t r x x t r t x , , , , , 0 0 0 0 0 0 Если точка M 0 двигается по кривой x s r s s 0 0 0 , , (в качестве пара- метра кривой s можно взять 0 0 r ), то решения задачи (14.5) лежат на поверхности (s, t – параметры поверхности), которая состоит из траекторий. Эта поверхность может быть контактным разрывом или стенкой. Рассматривается плоскость x x 0 , на которой выбирается ось для от- счета углов. Фиксируется r r t t 0 0 , и меняется угол от 0 до 0 2 Величина U v r t , при обходе окружности принимает приращение 2 , остальные физические величины непрерывны. Значит, в области тече- ния должен быть контактный разрыв или стенка, состоящая из траекторий. Стенка выстраивается после получения решения уравнений (14.1). При r=0 получается кромка этой стенки. Возникает вопрос о существовании аналити- ческого решения возле кромки и вопрос о произволе таких решений. Физическое решение без особенности на оси r=0 требует, чтобы u t, , 0 0 w t,0 0 . Вид аналитического по r решения подмодели (14.1) имеет вид u r u r w r w r r p P r p r A A r A k D A p A A p k k k k k k k k k k k r k r k p k , , , , , ! , , 2 1 0 0 0 2 где происходит суммирование по k 0 Подстановка рядов в систему (14.1) дает 2 1 2 0, k k k k k kt k k k k k k k k r u r u r k u r r w r k p r 129 w r u r k w r kt k k k k k 2 0, kt k k k k k k k k k r u r k r r k u r 2 0, P r p r u r k p r A r k u r t kt k k k k k k k k k 2 2 2 0. При r=0 получается не определенная система обыкновенных диффе- ренциальных уравнений, которая интегрируется: 0 0 0 2 0 0 2 0 0 1 2 0 3 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 1 2 1 4 3 8 2 0 2 0 1 2 2 0 u u w p p C w u w w C u u P A u dP a P d F P C P P t tt t t t t t , , , , ( , ) , где C C 0 1 , – постоянные, 0 t – произвольная функция. Коэффициенты рядов при r определяются из системы 0 1 0 1 1 0 2 0 0 1 1 1 3 2 3 0 u u u w w w p p t определяется через 0 , w u w w u w C C C A A R d u u C A A d C R A u A u u C A A R t t 1 0 1 0 1 1 3 0 3 2 1 2 0 3 2 0 3 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 0 3 2 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 0 3 2 0 2 3 3 3 0 2 3 3 2 0 1 3 / / / / , exp , 0 1 0 t , где C C 2 3 , – постоянные. Все величины с индексом 1 выражаются через 0 t . Для величин с индексом k получается система 2 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 2 2 2 2 , 2 2 , k t kt k k k k k kt k k k u u u k u u w w w k p g w w u k u w g (14.6) 130 0 0 3 0 0 0 4 2 , 2 2 , kt k k k k k k k u u g A u A k u g где g ik выражаются через коэффициенты рядов с индексом меньше k. Предположим, что все величины с индексом меньше чем k выражают- ся через 0 . Покажем, что все величины с индексом k выражаются через 0 Из последнего уравнения системы (14.6) определяется u k линейно через k и 0 . Тогда третье уравнение системы (14.6) есть линейное уравнение для нахождения k с коэффициентами, выражающимися через 0 . Поэтому k выражается через 0 . Второе уравнение системы (14.6) так же есть линейное уравнение для нахождения w k с коэффициентами, зависящими от 0 . Пер- вое уравнение в (14.6) определяет p k Итак, по индукции показали, что все коэффициенты рядов определя- ются через произвольную функцию 0 t , которая может быть задана на кромке. Кроме того, в каждом порядке появляются две постоянные интегри- рования. Сходимость рядов для малых r доказывается на основе теоремы 6.1 Коши-Ковалевской. Для этого система (14.1) должна быть системой типа Коши по переменной r . Это так, если u a u t w t 2 2 0 0 0 0 , , , , p t r 0 0 , Упражнение 1. Показать, что на линии a u система (14.1) будет системой типа Коши по r, если функция f, задающая уравнение состояния p f S ( , ), не удовлетворяет уравнению f f f 2 , где – произ- вольная функция. 131 Упражнение 2. В случае политропного газа p B S ( ) найти реше- ние уравнения (14.4) вида r b t . Показать, что b(t) определяется равен- ством C C b C b db t b b t 3 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 0 / , где b C C C 0 1 2 3 , , , – постоянные. Система (14.1) с отщепленным вторым уравнением допускает операто- ры t t r t r , , что совпадает с нормализатором подалгебры 2.11 из при- ложения. Упражнение 3. Показать, что t – инвариантное решение бывают двух типов а) u r p w S S p r 0 2 , , , – уравнение состояния, w r p r , – произвольные функции, v r wt v r 1 0 б) u S S 0 0 , – изэнтропическое течение, w r 0 1 , u dp r B 2 1 0 2 2 2 2 – интеграл Бернулли. Получается изоэнтропическое течение из неточечного источника с за- круткой. Упражнение 4. Показать, что автомодельное решение – инвариантное решение, построенное на операторе t r t r , задается формулами S S 0 – интеграл энтропии, u s u s r t u 1 1 1 0 (s), , ; C u sw 1 1 2 – интеграл закрутки; а u 1 (s), (s) определяются параметрически системой обыкновен- ных дифференциальных уравнений , , s s u a u u C s a s u s u C su s 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 (14.7) 132 Упражнение 5. Для каких уравнений состояния система (14.7) имеет интеграл вида: а) F u const , , 1 б) F u s F u const 1 1 2 1 ( , ) ( , ) ? Упражнение 6. Показать, что простая волна редуцируется к инвари- антному решению для системы (14.1). Упражнение 7. Вычислить характеристики и условия на них для сис- темы (14.1) C d r u, D S C d r u a aD u D p r a S r a u; C d r u a aD u D p r a S r a u t t t 0 0 3 2 1 2 3 2 1 2 0 : ; : , ( ) : , ( ) Упражнение 8. Вывести уравнения инвариантных разрывов r r t b для подмодели 2.11: контактный разрыв u r b , p 0, u 0; ударная волна: v w u r p b 0 1 2 2 1 1 1 , , u r p b 2 2 1 2 1 1 , H p p 1 1 2 2 0 , ; , – условие Гюгонио. § 15. Течения со спиральными поверхностями уровня. Рассматривается подалгебра 2.1 из приложения. В цилиндрической системе координат базис ее операторов записывается так t t t x r x U t x r U , ( ) , где , – алгебраические па- раметры ( в таблице приложения =а, = b ). После вычисления инвариан- тов можно написать следующее представление инвариантного решения: U xt q q q(u w V v q, W q q qw q r t s xt t 1 2 2 1 2 2 1 1 1 ) , (u ) ; , ln , (15.1) где u, v, w, p, – инвариантные i – скорости, давление, плотность являются функциями инвариантов q, s – новых независимых переменных. 133 Подстановка представления (15.1) в уравнения газовой динамики (3.6), (3.9), (3.8) приводит к уравнениям инвариантной подмодели стационарного типа 12.2 q Du p q q qw q(q Dv p v q qw u Dw w ( q v), A Dp u v q v DS p f S s q s q 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 3 0 (q ) ) (u ) , (q ) , , , ( , ), (15.2) где D u v s q . Вместо последнего уравнения для энтропии можно взять уравнение (3.5) для плотности D v q v s q (u ) 1 3 0. (15.3) Система (15.2) имеет симметрический вид, так как матрицы при произ- водных вектора (u, , ) v, w, p S симметричны. Если одна из них положительно определена, то система (15.2) является симметрической гиперболической системой. Пусть h(s q) , 0 уравнение i – характеристик. Имеется (см. § 5) трех- кратная контактная i – характеристика C uh vh s q 0 0 : , (15.4) и возможные две другие действительные i – характеристики удовлетворяют уравнению C u a q h uvh h a s s q q : ( ) (v )h 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0 (15.5) 134 Условие гиперболичности системы (15.2) есть условие неотрицатель- ности дискриминанта квадратичного уравнения (15.5) относительно h h s q 1 , оно задает i – область гиперболичности на данном i – решении q u v a 2 2 2 1 2 2 2 (q ) (15.6) Условие (15.6) в физических переменных принимает вид V r t r r t U t r W xt a 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 Для инвариантной подмодели (15.2), (15.3) можно ввести величины и определения, аналогичные величинам и определениям двумерных устано- вившихся течений из § 13: i – линии тока ds u dq v (15.7) есть бихарактеристики i – характеристики C 0 ; i – функция тока (s, q), с ко- торой u q v q q q s s s 3 2 3 2 1 , , , (s, ); i – интеграл эн- тропии S S ( ); i – интеграл закрутки w D s ( ) / 2 3 1 Упражнение 1. Получить интегралы энтропии и закрутки для системы (15.2), (15.3). Точке (s, q) инвариантной подмодели (15.2) соответствует двумерная поверхность в физическом пространстве R x r t 4 , , , . Сечение гиперплоско- стью t = const дает кривую в R x r 3 , , . При различных значениях t проек- ции кривых в пространство R x r 3 , , образуют поверхность. Эта поверх- ность будет поверхностью уровня инвариантных функций, значения которых вычислены в одной точке, и является спиральной поверхностью. Уравне- ние поверхности уровня получается из формул (15.1) для независимых инва- риантов q, s после исключения t x r q s q r 1 ln ln (15.8) 135 r 1 Сечение поверхности (15.8) r 1 полуплоскостью const 2 > 1 есть кривая, имеющая r m два нуля функции x(r) x m 0 x в точках r 0 =0 (Рис. 1), r q s 1 1 exp ; один минимум er r ex r m m 1 1 , . При увели- чении угла величины r x m 1 , – уменьшаются. Сечение поверхности (15.8) плоскостью x x 0 есть спираль при x 0 0 , или две спирали, соединенные в точке r qx 0 0 , 0 s ln ln , 1 0 x согласно уравнению x qr s q r 0 1 ln ln при x 0 0 При 0 поверхности уровня являются цилиндрическими поверхно- стями, образованными вращением кривой (15.8) вокруг оси х. Пусть R s q 2 , область в полуплоскости q 0 . При фиксирован- ном t точкам области соответствуют линии в R x r 3 , , , которые покры- вают область . Пусть 0 сечение области полуплоскостью 0 Имеется взаимно - однозначное соответствие между и 0 по формулам (15.1). При изменении 0 на 2 k, k – целое, образ 0 сдвигается вдоль оси х на 2 k t и оба образа находятся в одной и той же полуплоскости (Рис. 2). Для однолистности образов необходимо и достаточно, чтобы ширина r вдоль s, т.е. длина сечения прямой q = q 0 , не превосходила величины 2 . Например, для этого можно взять из полуполосы 0 0 2 q s 0, 2 t x Рис. 2 136 Если при некотором значении q q 0 ширина вдоль s равняется 2 , то в физическом пространстве для фиксированного t могут получиться разрывы физических величин U, V, W, p, на винтовой линии s s q q 0 0 , . Для не- прерывности требуется периодичность инвариантных функций по s с перио- дом 2 Итак, непрерывное инвариантное течение во всем пространстве воз- можно, если существует периодическое решение подмодели (15.2) в области шириной 2 по s, q 0. Если значения у инвариантных функций в точках q q s s 0 1 0 , , s s 2 0 2 различны, то каковы они должны быть, чтобы винтовая по- верхность разрыва была контактным разрывом, ударной волной, стенкой? Лемма 1. Физические траектории лежат на поверхностях, соответст- вующих i–линиям тока подмодели. Доказательство. По формулам (15.1) уравнения расчета траекторий таковы dx dt x t q u qw q dr dt v q; r d dt q w q u q 2 2 2 2 2 2 , В силу этих уравнений дифференцирование независимых инвариантов дает d q vt d s ut t t 1 1 , . Отсюда получается уравнение для i–линии тока (15.7). Следствие. Если область определения решения подмодели (15.2) ог- раничена i – линиями тока и ее ширина по s не превосходит 2 , то в физи- ческом пространстве границе области соответствует движущаяся стенка или контактный разрыв. В частности криволинейной полуполосе q 0 ши- рины 2 по s, ограниченной i – линиям тока, соответствует течение, в кото- ром двигается винтообразная стенка нулевой толщины. Если на этой поверх- ности давление непрерывно, то получается контактный разрыв. 137 Инвариантная поверхность задается равенством F r t q h s (x, , , ) 0 (15.9) Нормаль в физическом пространстве и скорость движения поверхности в на- правлении нормали вычисляется по формулам § 4. n F F q h h q h s s s 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 , , ; D F F q xt h q h n t s s 1 1 2 2 2 1 1 1 2 , где x r r , , 1 Вектор скорости раскладывается на нормальную и касательную со- ставляющие u U V W u n u u u n n n , , , Относительная скорость и условия на поверхности сильного разрыва (§ 4) записываются через инварианты u D v uh q h n n s s 1 1 2 2 2 1 2 , (15.10) для контактного разрыва p p p v u h j j s 2 1 0 0 , , (15.11) где индекс j 12 , определяет значения величин по разные стороны разрыва; для ударной волны 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 p p , , (15.12) H p p 1 1 2 2 0 , ; , – условие Гюгонио, u 0. Из последнего условия следует альтернатива: 1) i – прямой скачок: h s 0, u w v 0, ; (15.13) 2) i – косой скачок: h s 0, u h h v w v h h s s 2 2 2 2 2 1 2 1 0 1 1 , , / (15.14) 138 Теорема 1. По заданным параметрам течения перед ударной волной при условии гиперболичности (15.6) в случае i – косого скачка и одному из параметров течения за фронтом ударной волны 2 2 , , ( ) p h s определяются ос- тальные параметры течения из условий ударного перехода. Доказательство. Пусть заданы 1 1 1 1 1 , , , , p u v w и, например, 2 1 Тогда из условия Гюгонио определяется p 2 . Из (15.12) определяется 1 2 , В случае i – прямого скачка из (15.13) находятся u w v 2 2 2 , , Для i – косого скачка уравнение его поверхности (15.9) определяется из (15.10) со стороны заданных параметров u h h v u h v s s 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 0 Действительные решения возможны при условии не отрицательности дискриминанта этого квадратного уравнения относительно переменной h s : v h u p a 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 (h ) [ ][ ] Это неравенство совпадает с (15.6) со стороны заданных параметров. После определения h(s) из (15.14) находятся w v u 2 2 2 , , Если задано p 2 вместо 2 , то 2 определяется из условия Гюгонио. Если задано h(s), то по (15.10) определяется 1 и условие Гюгонио вместе с первым равенством (15.12) определяют 2 , p 2 в случае нормально- го газа. Если задано v 2 , то из (15.10), (15.14) определяется в случае i – косого скачка p p v u h v u h h h s s s 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 [ ](v ) [ ](v ) Подстановка этих выражений в условие Гюгонио дает дифференциальное уравнение для определения h(s) . 139 Аналогично разрешается i – косой скачок в случае задания u 2 Подмодель (15.2) допускает только перенос s в случае произвольного уравнения состояния, что совпадает с нормализатором подалгебры 2.1 из приложения. Упражнение 2. Показать, что инвариантное s – решение подмодели (15.2) имеет интегралы: S S D v q w 0 0 3 2 3 , , u C qw 0 при 0, где S D C 0 0 0 , , – постоянные. В результате получается система обыкновенных уравнений 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 0 3 0 q q q q q v q q vv v a q q v , , (v )q , где qw (u ). Упражнение 3. Найти изобарические решения подмодели (15.2), ис- пользуя формулы упражнения 2 из § 9. |