Фатыхов М.А. Лекции по механикe. Министерство образования и науки

• Название: Министерство образования и науки
• Анкор: Фатыхов М.А. Лекции по механикe.doc
• Дата: 18.04.2018
• Размер: 3.22 Mb.
• Имя файла: Фатыхов М.А. Лекции по механикe.doc
• Тип: Учебное пособие; #18177
• страница: 16 из 17

2. Гравитационная масса
Понятие массы было дано при изучении закона сохранения импульса (лекция 5, раздел 2). В основе этого понятия лежат инерционные свойства тел. Поэтому так определенную массу называют инертной массой и иногда обозначают посредством m⁽ⁱ⁾. Однако тела обладают не только свойствами инерции, но и способностью возбуждать в окружающем пространстве гравитационные поля. В этом отношении они аналогичны электрически заряженным телам, создающим вокруг себя электрическое поле. Инерция тел и их способность возбуждать в окружающем пространстве гравитационные поля не должны априори рассматриваться как взаимосвязанные и тем более тождественные свойства тел. Можно думать, что тела являются источниками гравитационных полей не потому, что они обладают инертными массами, а потому, что они несут особые заряды, аналогичные электрическим зарядам. Такие заряды называются гравитационными зарядами или гравитационными массами. Силы взаимодействия гравитационных масс, как показывает опыт, изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Для количественного определения гравитационных масс можно поступить так же, как поступают с электрическими зарядами в электростатике. Обозначим гравитационные массы взаимодействующих точечных тел посредством и . Тогда для силы их гравитационного притяжения можно написать

, (12.2)

где С – численный коэффициент, зависящий только от выбора единиц. Этому коэффициенту можно приписать произвольную размерность и произвольное численное значение. Тогда, считая единицы для rи Fустановленными, мы установим также единицу гравитационной массы и ее размерность, а формула (12.2) даст принципиальный способ измерения гравитационных масс.

Пропорциональность силы гравитационного взаимодействия тел их гравитационным массам не является физическим законом. Мы так вводим понятие гравитационной массы, что указанная пропорциональность соблюдается по определению. Физический закон, установленный Ньютоном, состоит в том, что сила гравитационного взаимодействия тел пропорциональна их инертным массам. Отсюда следует, что инертная масса тела пропорциональна его гравитационной массе. Единицы этих масс можно выбрать так, чтобы они были не только пропорциональны, но и численно равны между собой. Поэтому этот фундаментальный физический закон называется законом равенства, или эквивалентности инертной и гравитационной масс. Посмотрим, каковы его опытные основания и физические следствия.

Рассмотрим сначала свободное падение тел в поле тяжести Земли. По второму закону Ньютона m⁽ⁱ⁾a =F, где F – сила тяжести. По смыслу под следует понимать инертную массу тела. Сила же тяжести может быть представлена в виде F= m^(g}g, где m^(g)– гравитационная масса того же тела. Заметим, что сейчас мы рассматриваем движение относительно инерциальной системы отсчета и поэтому не вводим никаких сил инерции. Все силы являются «реальными» в ньютоновском смысле. В частности, сила тяжести Fв нашем теперешнем рассмотрении есть сила только гравитационного притяжения между телом и Землей (центробежная сила в нее не входит). Второй закон Ньютона дает m^(i]a = m^(g]g, откуда

(12.3)

Так как инертная и гравитационная массы равны, то а = g. Все тела в поле тяжести Земли падают с одним и тем же ускорением. Этот экспериментальный факт, установленный впервые Галилеем, является подтверждением закона о равенстве инертной и гравитационной масс. Он справедлив и для любого гравитационного поля. В одном и том же гравитационном поле все тела при свободном падении приобретают одинаковое ускорение. Мы видим, что обобщенный закон Галилея по своему содержанию совершенно эквивалентен принципу равенства инертной и гравитационной масс.

Опыты Галилея имели малую точность. Значительно большей точности достигли Ньютон, а затем Бессель (1784–1846) в опытах с колебаниями маятника. В опытах Ньютона и Бесселя было установлено, что период колебаний математического маятника не зависит от материала, из которого он изготовлен. Это подтверждает закон равенства инертной и гравитационной масс. Относительная точность, с какой это равенство было установлено в опытах Бесселя, составляет 1/60 000.

Венгерский физик Этвеш (1848–1919) установил равенство инертной и гравитационной масс с относительной точностью . По сравнению с опытами Ньютона точность была повышена примерно в сто тысяч, а по сравнению с опытами Бесселя – более чем в десять тысяч раз. Идея опытов Этвеша заключается в следующем. Вес тела складывается из двух различных сил: силы гравитационного притяжения Земли и центробежной силы инерции. Первая сила пропорциональна гравитационной массе, вторая пропорциональна инертной массе m^(i]. Если бы инертная и гравитационная массы не были строго пропорциональны друг другу, то направление отвеса зависело бы от материала тела.

Одним из фундаментальных следствий теории относительности является связь между энергией и массой Е =mс². Здесь т означает инертную массу. Таким образом, всякая энергия обладает инертной массой. Закон эквивалентности инертной и гравитационной масс позволяет распространить это утверждение и на гравитационную массу. Всякая энергия должна обладать также и гравитационной массой. Высокая чувствительность опыта Этвеша позволила подвергнуть это заключение экспериментальной проверке. С этой целью Саузернс повторил опыт Этвеша с радиоактивными веществами. Опыт дал тот же результат: никакого различия между гравитационной и инертной массами обнаружено не было. Так как при радиоактивных превращениях энергия и инертная массы уменьшаются, то отсюда следует, что пропорционально уменьшается также и гравитационная масса. Таким образом, равенство инертной и гравитационной масс все время соблюдается.

Опыт Этвеша в усовершенствованном виде был повторен американским физиком Р.Дикке и его сотрудниками в 1961–1964 годах. Им удалось повысить точность результатов Этвеша более чем в 100 раз. Сравнивались грузы из меди и свинца, из золота и алюминия. С относительной точностью 3 • 10^-11 авторы констатировали равенство коэффициентов пропорциональности между гравитационной и инертной массами для этих материалов.

Опыт Дикке был повторен в усовершенствованном виде В.Б.Брагинским и В.И.Пановым в 1971 году. Равенство коэффициентов пропорциональности между гравитационной и инертной массами было подтверждено с относительной точностью 10^-12. Это то же самое, как если бы мы взвесили корабль водоизмещением в десять тысяч тонн вместе с грузом с точностью до одной сотой грамма.

Дорелятивистская физика не придавала существенного значения равенству инертной и гравитационной масс, рассматривая это равенство как случайное совпадение. Основополагающее значение закона эквивалентности инертной и гравитационной масс было понято Эйнштейном. Закон эквивалентности послужил для Эйнштейна отправным пунктом при построении общей теории относительности, называемой иначе релятивистской теорией гравитации. Этот закон является главным опытным фактом, на котором основана общая теория относительности. Последняя была бы неверна и от нее следовало бы отказаться, если бы было обнаружено малейшее нарушение закона эквивалентности инертной и гравитационной масс. Вот почему повышение и без того исключительной точности, с которой проверяется этот закон, имеет важное принципиальное значение, а не является просто спортивным увлечением с целью побития рекорда и установления нового.

3. Поле тяготения и его напряженность
Закон тяготения Ньютона определяет зависимость силы тяготения от масс взаимодействующих тел и расстояния между ними, но не показывает, как осуществляется это взаимодействие. Тяготение принадлежит к особой группе взаимодействий. Силы тяготения, например, не зависят от того, в какой среде взаимодействующие тела находятся. Тяготение существует и в вакууме.

Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля. Гравитационное поле – это особый вид материи, посредством которого осуществляется взаимное притяжение тел. Это поле порождается телами и является формой существования материи. Следовательно, это поле материально. Основное свойство поля тяготения заключается в том, что на всякое тело массой m, внесенное в это поле, действует сила тяготения, т.е.

(12.4)

Вектор g не зависит от mи называется напряженностью поля тяготения. Напряженность поля тяготения определяется силой, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой. Напряженность есть силовая характеристика поля тяготения.

Поле тяготения называется однородным, если его напряженность во всех точках одинакова, и центральным, если во всех точках поля векторы напряженности направлены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке, неподвижной по отношению к какой-либо инерциальной системе отсчета.

Для графического изображения силового поля используются силовые линии (линии напряженности). Силовые линии выбираются так, что вектор напряженности поля действует по касательной к силовой линии.
4. Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения
Рассмотрим, чему равна работа, совершаемая силами поля тяготения при перемещении в нем материальной точки массой т. Вычислим, например, какую надо затратить работу для удаления тела массой m от Земли. На расстоянии R(рис. 12.3) на данное тело действует сила .

Рис. 12.2

При перемещении этого тела на расстояние dRзатрачивается работа

(12.5)

Знак минус появляется потому, что сила и перемещение в данном случае противоположны по направлению (рис.12.2).

Если тело перемещать с расстояния R₁до R₂, то затрачиваемая работа

(12.6)

Из формулы (12.6) вытекает, что затраченная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положением тела, т.е. силы тяготения консервативны, а поле тяготения является потенциальным.

Известно, что работа, совершаемая консервативными силами, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком минус, т.е.

Из формулы (12.6) получаем

(12.7)

Так как в формулы входят только разность потенциальных энергий в двух состояниях, то для удобства принимают потенциальную энергию при равной нулю. Тогда (12.7) запишется в виде . Так как первая точка была выбрана произвольно, то .

Величину называют потенциалом. Она является энергетической характеристикой поля тяготения. Потенциал поля тяготения –скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой М, равен

(12.8)

где R– расстояние от этого тела до рассматриваемой точки.

Из формулы (12.8) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом образует сферическую поверхность (R = const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называются эквипотенциальными.

Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом поля тяготения () и его напряженностью (g). Из выражений (12.4) и (12.8) следует, что элементарная работа dА, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой т, равна .

С другой стороны, (d/ – элементарное перемещение). Учитывая (12.3), получим, что т.е. или .

Величина характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения.

Можно показать, что

(12.9)

где – градиент скаляра . Знак минус в формуле (12.9) показывает, что вектор напряженности направлен в сторону убывания потенциала.

В качестве частного примера рассмотрим потенциальную энергию тела, находящегося на высоте hотносительно Земли: где R₀ – радиус Земли.

Так как

и (12.10)

то, учитывая условие , получим

Таким образом, мы вывели формулу, которая постулировалась раньше. Разделив на , для потенциала гравитационного поля вблизи поверхности Земли получим формулу

(12.11)
5. Космические скорости
Для запуска ракет в космическое пространство надо в зависимости от поставленных целей сообщать им определенные начальные скорости, называемые космическими.

Первой космической (или круговой) скоростью называют такую минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т.е. превратиться в искусственный спутник Земли. На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом R, действует сила тяготения Земли, сообщающая ему нормальное ускорение. По второму закону Ньютона .

Здесь – масса тела, М – масса Земли. Из написанного уравнения следует, что

(12.12)

Радиус Земли Следовательно, .

Второй космической скоростью называют скорость , которую надо сообщить телу при запуске с Земли для того, чтобы оно вышло из сферы земного притяжения. Для нахождения воспользуемся законом сохранения энергии. При этом сопротивлением воздуха при прохождении тела через атмосферу Земли пренебрегаем. В момент запуска полная энергия равна

(12.13)

При удалении тела на бесконечность полная энергия становится равной нулю. Поэтому, приравняв нулю выражении (12.13), получим для значение

(12.14)

Учитывая значение , получим, что .

Заметим, что значение не зависит от направления, в котором запускается тело с Земли. От этого направления зависит лишь вид траектории, по которой тело удаляется от Земли.

Третьей космической скоростью называют скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца.

Подставив в формулу (12.14) вместо Mмассу Солнца () и вместо R – радиус земной орбиты , получим значение скорости, равное 42 км/с. Такова была бы третья космическая скорость, если бы Земля в момент запуска была неподвижна и не притягивала бы тело к себе. Но Земля сама движется относительно Солнца со скоростью 30 км/с. Поэтому при запуске в направлении орбитального движения Земли скорость 42 км/с относительно Солнца достигается при скорости относительно Земли, равной 42-30=12 км/с, а при запуске в противоположном направлении 42+30 км/с = 72 км/с. Таковы были бы минимальное и максимальное значения , если бы не было бы притяжения тела к Земле. С учетом этого притяжения для третьей космической скорости получаются значения от 17 до 73 км/с. Сообщение телам таких больших начальных скоростей является сложной технической задачей. Ее первое теоретическое осуществление начато К. Э. Циолковским, им была выведена уже рассмотренная нами формула Циолковского, позволяющая рассчитывать скорость ракет.

Впервые космические скорости были достигнуты в СССР: первая – при запуске первого искусственного спутника Земли в 1957 г., вторая – при запуске ракеты в 1959 г. После исторического полета Ю.А.Гагарина в 1961 г. начинается бурное развитие как советской, так и зарубежной космонавтики.
6. Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции
Мы уже неоднократно отмечали, что все тела, независимо от их массы и химического состава, получают в данном гравитационном поле одинаковые ускорения. Поэтому в таком поле они движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают свободно движущиеся тела, если их движение рассматривать относительно какой-либо неинерциальной системы отсчета. Иначе говоря, указанным свойством обладают также силы инерции. Эта аналогия между силами тяготения и силами инерции явилась отправной точкой при построении общей теории относительности, или релятивистской теории гравитации Эйнштейна.

Рассмотрим по примеру Эйнштейна, что происходит в движущемся лифте. Допустим сначала, что лифт неподвижно висит на тросе или движется равномерно относительно Земли. Все тела в лифте подвергаются действию земного поля тяготения. Пассажир в лифте ощущает вес собственного тела, оказывает давление на пол лифта, подвергается со стороны пола равному и противоположно направленному противодавлению. Груз, подвешенный на пружине, растягивает ее силою своего веса. Все тела, предоставленные самим себе, свободно падают относительно лифта с одним и тем же ускорением gи т.д.

Вообразим теперь, что лифт настолько удален от Земли и прочих небесных тел, что он практически не подвергается с их стороны никаким гравитационным воздействиям. Пусть кто-то тянет за трос лифта, сообщая последнему постоянное ускорение а = - g. Гравитационного поля в лифте нет, зато есть сила инерции -та= mg. Под действием таких сил все тела в лифте, если их ничем не удерживать, начнут «падать» с прежним ускорением g. Груз, подвешенный на пружине, растянет ее, как если бы он обладал весом mg. Пассажир в лифте будет оказывать на пол такое же давление, как и в предыдущем случае. Короче говоря, все механические явления и движения в лифте будут в точности такими же, что и в неподвижном лифте, висящем в поле тяжести. Эйнштейн распространил это утверждение не только на механические, но и на любые физические явления. Для такой гипотезы имеются веские основания. В природе нет чисто механических явлений. В основе каждого «механического» явления лежит громадное множество разнообразных других явлений, относящихся к различным разделам физики. Так, столкновение бильярдных шаров обычно рассматривают как типично механическое явление. Но существование самих шаров и их внутренняя структура определяются квантовыми законами, а упругие силы, развивающиеся во время столкновения, сводятся к силам электростатического взаимодействия заряженных частиц, из которых построены тела.

Итак, все физические явления в равномерно ускоренном лифте будут происходить в точности так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Между тем дорелятивистская физика рассматривала оба случая как существенно разные. В первом случае явления объяснялись действием гравитационного поля, во втором – действием сил инерции. В первом случае лифт является инерциальной системой отсчета, в которой есть однородное поле тяготения. Во втором случае поля тяготения нет, зато есть силы инерции, так как лифт является неинерциальной системой отсчета.

Если лифт в однородном поле тяжести движется вверх или вниз с ускорением а, то на тело в лифте действует сила тяжести mgи сила инерции -та. Результирующая сила т (g- а) состоит из этих двух слагаемых, совершенно различных по своей физической природе. Между тем все явления внутри лифта будут происходить так, как если бы в нем действовало однородное гравитационное поле с напряженностью g' = g- а. Вчастности, когда лифт падает свободно, g'= 0, т.е. наступает «состояние невесомости». Допустим, что пассажир в лифте имеет возможность производить опыты только над телами внутри лифта и лишен возможности наблюдать внешний мир. Замечая, что все тела падают в лифте с одним и тем же ускорением, он не может на основании одного только этого факта решить, чем вызвано это ускорение: однородным гравитационным полем, ускоренным поступательным движением самого лифта, или, наконец, и тем, и другим. Никакие опыты по свободному падению тел в лифте не могут отделить однородное гравитационное поле от однородного поля сил инерции. По предположению Эйнштейна это невозможно сделать и с помощью любых физических опытов. Это предположение Эйнштейн возвел в постулат и выдвинул принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.

Согласно этому принципу все физические явления в гравитационном поле происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а начальные условия одинаковы для всех тел замкнутой системы.

Принцип эквивалентности вовсе не утверждает, что всякое гравитационное поле может быть имитировано силами инерции, т.е. создано надлежащим ускоренным движением системы отсчета. Он не утверждает также, что любые силы инерции во всем пространстве можно заменить гравитационными. Оба эти утверждения верны, вообще говоря, только для однородных полей, т.е. таких полей, напряженность которых одна и та же во всех точках пространства.