Фатыхов М.А. Лекции по механикe. Министерство образования и науки
 Скачать 3.22 Mb.
|
|
7. Момент пары сил Две равные по модулю противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил (рис.7.9). Расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары. Суммарный момент сил относительно точки О равен (7.16) Рис. 7.9. Учитывая, что , можно написать , (7.17) где (рис. 7.9). Полученное выражение не зависит от положения точки О. Следовательно, момент пары сил относительно любой точки будет одним и тем же. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы, а его модуль равен произведению модуля любой из сил на плечо. Силы гравитационного и кулоновского взаимодействия между двумя частицами образуют пару с плечом, равным нулю. Поэтому их суммарный момент относительно любой точки равен нулю. Отсюда следует, что моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц всегда равна нулю (7.18) Соответственно, равен нулю и суммарный момент относительно любой оси z: (7.19) 8. Второй закон Ньютона для вращающегося твердого тела Установим связь между угловым ускорением твердого тела и моментами сил, действующих на него, при вращении этого тела вокруг неподвижной оси. Для этого разобьем тело на элементы, каждый из которых можно принять за материальную точку. Пусть число этих элементов N. Все элементы движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, по окружностям, центры которых лежат на этой оси и имеют одинаковые ускорения. Рассмотрим элемент с номером i , масса которого , а радиус окружности, по которой он движется . На этот элемент со стороны других элементов этого же тела действуют внутренние силы Кроме того, он подвергается действию внешних сил, равнодействующая которых . Для этого элемента справедлив второй закон Ньютона: (7.20) Возьмем проекцию этого уравнения на направление касательной к окружности, по которой движется элемент (7.21) Умножим обе части уравнения (7.21) на и, принимая во внимание, что тангенциальное ускорение элемента представляется в виде , получим (7.22) Каждый член в правой части этого уравнения есть момент соответствующей силы относительно оси вращения z. Так, последний член – момент равнодействующей внешних сил, действующих на элемент тела, а остальные члены – – моменты внутренних сил. Величина , входящая в левую часть уравнения (7.22), называется моментом инерции этого элемента относительно оси вращения z. С учетом введенных обозначений уравнение (7.22) можно переписать в виде: . Аналогичные уравнения можно написать для каждого элемента тела, а затем их сложить. Тогда получим: , (7.23) где в левой части имеем сумму моментов инерции всех элементов тела относительно оси вращения: . Он характеризует распределение массы тела относительно оси вращения. В правой части первое выражение характеризует сумму моментов всех внутренних сил, действующих на все элементы тела, а последнее выражение есть сумма всех действующих на тело внешних сил . Так как при сложении моментов внутренних сил в уравнении (7.23) все они попарно уничтожаются, уравнение (7.23) принимает вид (7.24) Уравнение (7.24) есть выражение основного закона вращательного движения: Момент вращающей силы, приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на его угловое ускорение. 9. Момент инерции твердого тела Из формулы (7.24) видно, что угловое ускорение, сообщаемое телу вращающим моментом, зависит от момента инерции тела; чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Следовательно, момент инерции характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении, как и масса при поступательном движении. В отличие от массы тела момент инерции зависит от радиуса окружности, описываемой точкой приложения силы, а, следовательно, от выбора оси вращения. Из формулы следует, что единицей измерения момента инерции является кг.мІ. Из определения момента инерции (7.25) видно, что момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей: (7.26) Момент инерции существует безотносительно к вращению. Каждое тело независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси. Для неоднородных тел и тел неправильной формы момент инерции определяют экспериментально, а для однородных тел геометрически правильной формы – посредством интегрирования. Как было ранее указано, в силу формулы (7.3) элементарная масса равна произведению плотности тела в данной точке на соответствующий элементарный объем: . Следовательно, момент инерции можно представить в виде: . Если плотность тела постоянна, её можно вынести за знак суммы задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию: (7.27) Интегралы в (7.27) берутся по всему объему тела. Величины и r в этих интегралах являются функциями точки. В качестве примера вычислим момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 7.10). Рис. 7.10. Разобьем диск на кольцевые слои толщиной . Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном . Объем такого слоя равен , где – толщина диска. Поскольку диск однороден, плотность его во всех точках одинакова, (7.27) можем вынести за знак интеграла: , где – радиус диска. Так как масса диска , то получим (7.28) Для однородных и симметричных тел обычно основной осью вращения является ось симметрии. В этом случае момент инерции, как мы видели, легко вычисляется. Для некоторых тел правильной формы значение моментов инерции относительно осей, проходящих через центр их симметрии приведены в таблице 2. Таблица 2
10. Теорема Штейнера Рассмотрим произвольное тело и две параллельные друг другу оси, одна из которых (ось С) проходит через центр масс тела, а другая (ось О) отстоит от первой на расстояние а (рис. 7.11). Выберем оси координат и так, как показано на рис. 7.11. Рис. 7.11 Момент инерции относительно оси О определяется выражением Разобьем это выражение на три суммы: Первая сумма представляет собой момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. Сумма дает массу тела . Наконец, , где – координата центра масс, которая при сделанном выборе начала координат равна нулю. Таким образом, мы приходим к соотношению: (7.29) Это соотношение выражает теорему Штейнера, которая гласит, что момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями. В соответствии с теоремой Штейнера момент инерции диска относительно оси ОґОґ, отстоящей на расстоянии от оси, проходящей через центр масс,равен найденному нами моменту инерции (7.28) относительно оси, проходящей через центр диска, плюс : . 11. Закон сохранения момента импульса при вращательном движении Сравним попарно между собой законы и формулы механики поступательного движения и механики вращательного движения: второй закон Ньютона – с основным законом динамики вращения, закон изменения импульса – с законом изменения момента импульса при вращении, выражение линейной скорости – с угловой скоростью и т.д. Бросается в глаза большое сходство в формулировках сравниваемых законов и в структуре сравниваемых формул. Каждой физической величине, характеризующей поступательное движение, соответствует определенная физическая величина, характеризующая вращательное движение. Эти примеры для наглядности представлены в таблице.
Обнаруженное сходство с законами поступательного движения характерно для всех законов вращательного движения. Пользуясь этим, напишем закон вращательного движения, аналогичный закону сохранения импульса материальной точки: , (7.30) или для системы тел: (7.31) Выражение (7.31) носит название закона сохранения момента импульса: в изолированной системе сумма моментов импульса всех тел – величина постоянная. Из формулы (7.30) следует, что изменение момента инерции тела должно сопровождаться изменением угловой скорости вращения тела: увеличение (уменьшение) момента инерции вызывает соответствующее уменьшение (увеличение) угловой скорости. Это следствие рассматриваемого закона доказывает в частности «скамья Жуковского». Человек с расставленными в стороны руками вращается, стоя на скамье Жуковского. Затем он быстро опускает руки. При этом его момент инерции уменьшается, а угловая скорость увеличивается. На законе сохранения импульса основаны акробатический прием «сальто-мортале», балетный прием «пируэт» и т.п. Все свободные гироскопы действуют на основе этого закона: вращающаяся с большой скоростью масса сохраняет постоянным ось своего вращения. Этим объясняется устойчивость оси Земли, вертикальная устойчивость движущегося велосипеда и т.п. 12. Кинетическая энергия вращающегося тела По аналогии с поступательным движением запишем выражение: , где – момент инерции, – угловая скорость вращения тела. Действительно, кинетическая энергия одной частицы вращающегося тела массой , движущейся со скоростью по окружности радиусом , равна , где – момент инерции частицы, – угловая скорость вращения тела. Тогда, суммируя энергии всех частиц, составляющих тело, получим выражение кинетической энергии вращающегося тела: За счет кинетической энергии вращения тело может совершать работу. Эта работа должна равняться изменению кинетической энергии вращения , где и – начальная и конечная угловые скорости вращения. Кинетическая энергия вращающихся тел используется в технике, например, при внезапном увеличении нагрузки машина не останавливается, а совершает работу за счет запаса кинетической энергии вращения маховика. Найдем работу, совершаемую внешней силой при вращении твердого тела. Рассмотрим частный случай, когда сила направлена по касательной к окружности, по которой движется точка приложения силы (рис. 7.12). В этом случае сила и перемещение точки ее приложения коллинеарны. Элементарная работа (7.32)
Поскольку направления оси и вектора совпадают, формулу (7.32) можно представить в виде , (7.33) где – проекция вектора на направление вектора . 13. Кинетическая энергия тела при плоском движении Представим плоское движение тела как наложение поступательного движения со скоростью некоторой точки О и вращения вокруг оси, проходящей через эту точку, с угловой скоростью . В этом случае скорость i-ой элементарной массы тела определяется формулой , (7.34) где – радиус-вектор i-ой массы, проведенной из точки О (рис. 7.13). Рис. 7.13 Кинетическая энергия i-ой элементарной массы равна (7.35) Возведение в квадрат (7.34) с учетом (7.35) дает . Просуммировав по всем элементарным массам, найдем кинетическую энергию тела: Разобьем полученное выражение на три слагаемых, вынося при этом постоянные множители за знак суммы: (7.36) Сумма элементарных масс даст массу тела Следовательно, первое слагаемое равно. Третье слагаемое в (7.36) равно , где – момент инерции тела относительно оси вращения О. Второе слагаемое можно представить в виде , где – радиус-вектор, центра масс, проведенный из точки О.С учетом сказанного можно написать, что В первое слагаемое входят только величины, характеризующие поступательное движение, в третье – только величины, характеризующие вращательное движение. Второе же слагаемое содержит величины, характеризующие как поступательное, так и вращательное движение. Если в качестве точки О взять центр масс тела С, то будет равен нулю и последняя формула упростится: , где – скорость центра масс, – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс. Таким образом, если разбить плоское движение тела на поступательное со скоростью центра масс и вращение вокруг оси, проходящей через центр масс, то кинетическая энергия распадается на два независимых слагаемых, одно из которых определяется только величинами, характеризующими поступательное движение, а другое – только величинами, характеризующими вращение. 14. Свободные оси вращения Существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации вращения в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями вращения (или осями свободного вращения). Можно показать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями. Они называются главными осями инерции тела. Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллелепипеда проходят через центры противоположных граней (рис. 7.14). Рис. 7.14 Для однородного цилиндра одной из главных осей инерции является его геометрическая ось, а в качестве остальных осей могут быть две любые взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в плоскости, перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Главными осями инерции шара являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс. Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения. Вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение около осей со средним моментом – неустойчивым. Так, если тело, имеющее форму параллелепипеда, подбросить, одновременно приведя его во вращение, то он, падая, будет устойчиво вращаться вокруг осей 1 и 2. 15. Гироскоп Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко применяется в технике, наиболее интересны в этом плане гироскопы. Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. У симметричного тела направления момента импульса и угловой скорости совпадают, поэтому . Вследствие массивности гироскопа его момент инерции очень велик, велика также угловая скорость. Рассмотрим гироскоп, ось которого закреплена одним концом в шарнире О, вокруг которого она может поворачиваться без трения произвольным образом (рис. 7.15).
Попытаемся повернуть ось гироскопа ОА вокруг оси DD, подействовав на свободный конец оси силой F в течение времени dt. Однако гироскоп «проявит непослушание» – его ось повернется не вокруг оси DD, а вокруг оси ВВ, приняв положение ОА'. Это, казалось бы, противоестественное поведение гироскопа называют гироскопическим эффектом. Гироскопический эффект находится в полном согласии с законами механики твердого тела. Действительно, согласно уравнению изменения момента импульса со временем в результате действия силы Fв течение времени dtмомент импульса Lполучит приращение . Обозначим через М – момент силы Fотносительно точки О. Тогда изменение момента импульса равно . Новое значение момента импульса, равно . Оноокажется повернутым вокруг оси ВВ относительно первоначального значения L. Поскольку вектор Lнаправлен вдоль оси гироскопа, вместе с Lповернется и ось, перейдя из положения О А в положение О А'. Гироскопический эффект является причиной того, что хорошо раскрученный детский волчок не опрокидывается под действием силы тяжести. Это действие приводит лишь к тому, что ось волчка поворачивается, описывая конус. Такое движение оси называется прецессией. Рассмотрим простейший вид прецессии, называемый регулярной прецессией. Пусть один из концов оси гироскопа закреплен в шаровом шарнире О, позволяющем ей свободно поворачиваться в любом направлении (рис. 7.15). На гироскоп действует сила тяжести, которая лежит в вертикальной плоскости ОАО'. Обозначим через т – массу гироскопа вместе с осью. Момент силы Мперпендикулярен к этой плоскости. Пусть b– расстояние от шарнира О до центра масс гироскопа С, – угол, образованный осью гироскопа с вертикалью. Тогда плечо силы . За время dtмомент импульса получает приращение , в результате чего вертикальная плоскость, в которой лежат ось гироскопа и сила тяжести mg, поворачивается на угол . Вместе с ней поворачивается и вектор . Расстояние О'А численно равно . Таким образом, на гироскоп действует опрокидывающий момент . Будем откладывать вектор момента импульса гироскопа Lиз точки О. В момент времени t вектор Lизображается отрезком ОА. За время dtвектор Lполучит перпендикулярное к нему приращение ,в результате чего он, оставаясь постоянным по модулю и не изменяя угла с вертикалью, переходит в положение ОВ. В новом положении имеет место такое же взаимное расположение векторов Lи М, какое было в моментt. Поэтому за последующий элемент времени dtвертикальная плоскость, в которой лежит ось гироскопа, снова повернется на угол и т.д. В итоге ось гироскопа будет поворачиваться вокруг вертикальной оси, описывая конус с углом раствора 2. При этом вектор Lбудет изменяться только по направлению, оставаясь неизменным по модулю. Это объясняется тем, что элементарные приращения все время будут перпендикулярными вектору L. Аналогично ведет себя вектор скорости при равномерном движении частицы по окружности. Вектор vполучает за время dtперпендикулярное к нему приращение , где – постоянное по модулю нормальное ускорение. В результате изменяется только направление вектора , модуль же его остается постоянным.
Таким образом, в поле сил тяжести ось гироскопа с неподвижной точкой поворачивается вокруг вертикали, описывая конус. В случае, когда , конус вырождается в плоскость. Такое движение гироскопа называется регулярной прецессией. Угловую скорость прецессии можно найти, разделив угол на соответствующее время dt. Из рис. 7.16 следует, что . Из соотношения вытекает, что. Поэтому . Отсюда, с учетом того, что , a получаем формулу (7.37) Здесь I – момент инерции вращающихся частей гироскопа, – угловая скорость вращения гироскопа вокруг своей оси, – расстояние oт центра масс гироскопа. Из формулы (7.37) видно, что угловая скорость прецессии не зависит от угла , образованного осью гироскопа с направлением вверх по вертикали (этот угол может иметь значения от 0 до ). Нужно иметь в виду, что формула (7.37) справедлива только при условии, что (7.38) Действительно, прецессирующий гироскоп участвует одновременно в двух вращениях, совершающихся со скоростью и . Поэтому его момент импульса определяется выражением, более сложным, чем . Только при соблюдении условия (7.38) можно полагать, что . Из формулы (7.37) следует, что условие (7.38) эквивалентно условию , т.е. . Выражение mgbпо порядку величины равно потенциальной энергии гироскопа Ер. Выражение по порядкуесть кинетическая энергия гироскопа Ек.. Поэтому условие справедливости формулы (7.37) можно представить в виде . Вычислим полную механическую энергию гироскопа. За нуль примем значение потенциальной энергии при . Будем считать, что можно пренебречь по сравнению с . Тогда полная механическая энергия гироскопа определяется выражением . В отсутствие трения полная энергия сохраняется, следовательно, также не уменьшается. Отсюда следует, что = const. К этому результату мы уже пришли ранее. 16. Степени свободы и связи абсолютно твердого тела Число независимых координат, однозначно определяющих положение тела в пространстве, называется степенью свободы. Ясно, что положение точки в пространстве можно характеризовать тремя прямоугольными координатами . Вместо таких координат можно взять и полярные координаты. Но их будет не более трех. Поэтому говорят, что материальная точка обладает тремя степенями свободы. Однако не всегда перемещение точки в заданных условиях будет каким угодно. Рассмотрим, например, маленький шарик, привязанный к концу нерастяжимой нити, другой конец которой закреплен. Если нить натянута, то шарик может перемещаться только по поверхности сферы с центром в точке закрепления. Можно привести и другие примеры, в которых материальная точка все время вынуждена находиться на какой-либо заданной поверхности. В таких случаях говорят, что на ее движение наложены связи. Координаты такой точки должны соответствовать соотношению вида , который является уравнением рассматриваемой поверхности. Ввиду этого остаются независимыми только две координаты. Третья координата может быть вычислена из уравнения связи. В этих случаях точка обладает двумя степенями свободы. Пусть имеется механическая система, состоящая из произвольного числа материальных точек. Если эти точки движутся без всяких ограничений, то для мгновенного определения их положения надо задать координат. Следовательно, система имеет степени свободы. Однако в некоторых случаях свобода перемещения точек ограничена. На координат налагаются дополнительные условия, называемые связями. Обозначим его . Следовательно, данная механическая система имеет степени свободы. Определим число степеней свободы абсолютно твердого тела. Ясно, что для однозначного определения положения твердого тела достаточно задать положение каких-либо трех его координат А, В, С, не лежащих на одной прямой (рис.7.17).
Возьмем четвертую точку D. Расстояния AD, BD и CD для рассматриваемого твердого тела известны. Кроме того, при любых движениях твердого тела точка D все время должна находиться по одну и ту же сторону плоскости треугольника ABC. Чтобы определить положение в пространстве точки D, построим по заданным длинам AC, AD, CD треугольник ADC. Чтобы найти положение точки D, будем вращать треугольник ADC вокруг основания AC, пока вершина D не окажется на заданном расстоянии от третьей точки B. Этому условию соответствуют две точки D и Dґ. Но вторая точка не отвечает условию задачи, так как она находится не с той стороны от плоскости треугольника ABC. Таким образом, зная положения трех точек А, В, С, можно геометрическим построением найти положение любой другой точки твердого тела. Положения трех точек А, В, С можно задать их прямоугольными координатами , , . Эти девять координат не свободны, а связаны тремя соотношениями Независимыми остаются только шесть координат, поскольку длины AB, BC и СA не изменяются. Поэтому твердое тело имеет шесть степеней свободы. При ограничении свободы движения число степеней свободы твердого тела уменьшается. Например, твердое тело, одна из точек которого неподвижно закреплена, может только вращаться вокруг этой неподвижной точки, и имеет три степени свободы. Твердое тело, которое может только вращаться вокруг закрепленной оси, имеет одну степень свободы. Если же твердое тело может скользить вдоль закрепленной оси и одновременно вращаться вокруг нее, то число степеней свободы становится равным двум. 17. Условия равновесия твердого тела. Виды равновесия Как было указано в предыдущем разделе, твердое тело является механической системой с шестью степенями свободы. Для описания его движения требуется шесть независимых числовых уравнений. Вместо них можно взять два независимых векторных уравнения. Таковыми являются уравнение движения центра масс (7.38) и уравнение моментов (7.39) Если твердое тело покоится, то уравнения (7.38) и (7.39) переходят в уравнения (7.40) (7.41) В этих формулах – результирующая внешних сил, – сумма моментов этих сил относительно оси вращения. Таким образом, равновесие имеет место в том случае, когда результирующая внешних сил и сумма моментов относительно оси вращения равны нулю. Это – необходимые условия равновесия твердого тела. Но они не являются достаточными. При их выполнении центр масс может еще двигаться прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью, а само тело может вращаться с сохранением вращательного импульса. Так как при равновесии равна нулю, то момент этих сил в состоянии равновесия не зависит от положения неподвижного начала О, относительно которого он берется. Поэтому при решении любой задачи на равновесие твердого тела начало О можно выбирать произвольно. Различают устойчивое и неустойчивое равновесия. Как показывает связь силы с потенциальной энергией, при равенстве нулю результирующих внешних сил в состоянии равновесия все производные потенциальной энергии по координатам должны обращаться в нуль. Отсюда следует, что для равновесия необходимо, чтобы потенциальная энергия была стационарна. Стационарность означает, что при всяком выводе системы из состояния равновесия, когда координаты материальных точек получают бесконечно малые приращения, функция потенциальной энергии остается почти постоянной. Точнее, приращения потенциальной функции при таких приращениях координат являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем приращения самих координат. В частности, система будет находиться в равновесии, если потенциальная энергия экстремальна, т.е. минимальна или максимальна. Если потенциальная энергия минимальна, то равновесие будет устойчивым. Диссипативные силы делают равновесие еще более устойчивым. Если потенциальная энергия максимальна, равновесие тела неустойчиво. Эти выводы остаются справедливыми и для систем, свобода перемещения которых ограничена наложенными связями. Надо только потребовать, чтобы связи были идеальными, т.е. такими, которые не производят работы при любых возможных перемещениях системы. Примером может служить идеально гладкий шарик, надетый на идеально твердую и гладкую спицу, которая задает направление возможного перемещения шарика. Сила, действующая на шарик со стороны спицы, перпендикулярна направлению возможного перемещения и работы не производит. 18. Центр тяжести На каждую точку частицы твердого тела действует сила тяготения Земли. Все силы тяготения параллельны друг другу, если размеры тела невелики относительно радиуса Земли, и имеют равнодействующую. Оказывается, как бы ни повернули твердое тело, эта равнодействующая будет проходить через одну точку, неизменно связанную с телом. Эта точка называется центром тяжести тела. Если укрепить тело в точке центра тяжести, то оно будет находиться в равновесии при любом положении тела. Следовательно, сумма моментов сил тяжести всех частиц тела относительно любой горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести, равна нулю. Подвешенное так тело после поворота вокруг любой оси, проходящей через центр тяжести, будет оставаться в равновесии, так как равнодействующая сил тяжести проходит через точку закрепления. Центр масс твердого тела совпадает с его центром тяжести. Поэтому вместо терминов “центр масс” и “центр инерции” употребляют также термин “центр тяжести”. Следовательно, координаты центра тяжести можно найти по формуле, справедливой для радиуса-вектора центра масс, о которой мы говорили в разделе “Центр масс системы материальных точек”. Положение центра тяжести можно вычислить также по формулам (7.40) и (7.41). Центр тяжести можно определить и экспериментально. Контрольные вопросы
Лекция №8. Механика деформируемых тел 1. Упругие силы Упругие силы действуют со стороны деформированного тела на тело, непосредственно соприкасающееся с этим деформированным телом. Данные силы действуют также со стороны деформированной части тела на другие смежные части этого же тела. Под деформацией подразумевается изменение взаимного расположения точек тела. Деформации сопровождаются изменением геометрической формы тела и его размеров. На данное тело упругими силами могут действовать твердые, жидкие и газообразные тела. Упругие силы в твердых телах возникают как при изменении их формы, так и при изменении объема. В жидкостях упругие силы возникают лишь при изменении объема жидкости. Газ всегда действует упругими силами на стенки сосуда, в котором он находится, величина этих сил зависит от объема сосуда. Упругие силы представляют собой проявление сил взаимодействия молекул, составляющих твердые, жидкие и газообразные тела. В конечном счете, происхождением они обязаны электрическому взаимодействию между частицами, входящими в состав молекул. Силы молекулярного взаимодействия очень быстро убывают с увеличением расстояния между молекулами и радиус действия их не более 10-7 – 10-8 см. Поэтому упругими силами взаимодействуют между собой только тела, находящиеся в непосредственном контакте. Упругая сила действует только со стороны деформированного тела. Действительно, если тело не подвергается действию внешних сил, то каждая молекула тела находится в равновесном положении. При деформации тела изменяется положение каждой молекулы относительно соседних. Молекулы, находящиеся от данной молекулы на расстояниях, меньших равновесного, действуют на неё силами отталкивания, а молекулы, находящиеся на расстояниях, больших равновесного, – силами притяжения. В результате действия совокупности молекул, сдвинутых со своих равновесных положений, возникает сила, действующая на тело, непосредственно соприкасающееся с данным. Это и есть упругая сила. Упругие силы возникают лишь при таких деформациях, когда при прекращении действия на тело внешних сил деформация исчезает, т.е. тело восстанавливает свою первоначальную форму и размеры. Такие деформации называются упругими. Опыт показывает, что сила упругости , возникающая при малых деформациях любого вида, пропорциональна величине деформации : (8.1) Это положение называется законом Гука. Коэффициент пропорциональности kзависит от свойств тела, подвергающегося деформации (его размеров, формы, вещества, из которого оно изготовлено), от вида деформации, от выбора величины, характеризующего деформацию, а также от температуры. В качестве примера тела, действующего на другие тела упругой силой, рассмотрим пружину. Закон Гука для пружины имеет вид: , где – деформация пружины, равная изменению её длины, причем – длина недеформированной пружины, – длина деформированной (растянутой или сжатой). Коэффициент называется коэффициентом жесткости пружины. Он показывает, какую силу нужно приложить к данной пружине для её растяжения на единицу. Величина этого коэффициента зависит от числа витков, их диаметра, материала проволоки, из которой изготовлена пружина, и диаметра этой проволоки. Направления сил упругости и деформаций противоположны. Рассмотрим пружину, один конец которой закреплен, а на другой конец прикреплено тело. Выберем систему координат, одна из осей которой (например, ось Х) направлена вдоль пружины, а начало её связано с концом недеформированной пружины. Тогда при смещении тела вдоль оси Х на некоторое расстояние деформация пружины, прикрепленной к этому телу, будет равна координате этого тела. В этом случае упругая сила, действующая на тело со стороны пружины, будет иметь проекцию , которая согласно закону Гука равна (8.2) Знак минус показывает, что при смещении тела в положительном направлении оси Х проекция силы на эту же ось имеет отрицательное направление. Упругие силы относятся к центральным силам, так как при любом положении тела деформация тела определяется координатой х. Действие на твердое тело упругих сил со стороны других твердых тел проявляется в виде силы нормального давления. Например, на тело, лежащее на столе, действует упругая сила со стороны стола. Твердые тела, действующие на некоторое тело упругими силами, могут ограничивать его движение. Например, такими ограничивающими движение телами являются рельсы, плоскости, по которым скользит тело, нити, связывающие тело с другими телами, оси, закрепленные в подшипниках и т.д. Тела, ограничивающие движение данного тела, называют связями, а упругие силы, которыми они действуют на это тело – силами связей или силами реакций. Измерить их практически невозможно, однако можно найти при помощи законов Ньютона, учитывая ограничения, накладываемые этими связями на движение тел. Например, тело соскальзывает с наклонной плоскости без трения. На тело действует сила тяжести, направленная вниз, и упругая сила связи (реакции) со стороны наклонной плоскости, направленная перпендикулярно поверхности соприкосновения тела и плоскости в сторону тела. Сила связи в уравнениях Ньютона фигурирует в качестве неизвестных. 2. Виды упругих деформаций Деформации зависят от многих причин:
Все эти причины могут комбинироваться самым различным образом. Поэтому виды деформаций весьма разнообразны. Мы будем считать, что:
Существует несколько видов деформаций тел: одностороннее сжатие или растяжение, всестороннее растяжение или сжатие, кручение, сдвиг, изгиб. Каждый вид деформации вызывает появление соответствующей силы упругости. Однако все виды деформаций можно свести к двум видам: растяжению (или сжатию) и сдвигу. Рассмотрим эти основные деформации несколько подробнее. Пусть стержень длины и поперечного сечения подвешен (рис. 8.1). Под влиянием деформирующей силы он растягивается, приобретает новую длину и в нем возникает сила упругости .
Мерой деформации растяжения может служить величина – изменение длины стержня, которую называют абсолютным удлинением. Другой величиной, характеризующей деформацию стержня, является относительное удлинение (удлинение каждой единицы длины стержня):. Опыт показывает, что относительное удлинение стержня пропорционально деформирующей силе и обратно пропорционально площади поперечного сечения , (8.3) где a – коэффициент упругости при растяжении (сжатии) или коэффициент продольного удлинения (сжатия), зависящий только от материала стержня. Отношение силы к сечению, на котором она действует, называется напряжением в данном сечении. Деформацию растяжения вызывает сила, нормальная к площади сечения, а возникающее напряжение называется нормальным напряжением рn: рn = (8.4) В физической литературе напряжение, определяемое по формуле (8.4), называют также натяжением, если тело растягивают. Его обозначают буквой Т. Тогда закон Гука для деформации растяжения (сжатия) примет вид: (8.5) При рn=1 a =, т.е. коэффициент упругости численно равен относительному удлинению стержня, происходящему под действием единичного напряжения. Для характеристики упругих свойств материала пользуются величиной , которая называется модулем упругости или модулем Юнга. Эта величина измеряется в Паскалях. Согласно формулам (8.4) и (8.5), В качестве характеристики деформации сдвига берется величина Е = рn при =1, т.е. модуль Юнга численно равен тому напряжению, которое вызывает единичное относительное удлинение, или абсолютное удлинение, равное длине стержня. Решив уравнение (8.3) относительно деформирующей силе и учитывая формулы (8.4) и (8.5), получим выражение (8.6) где k– постоянный для данного стержня коэффициент. Соотношение (8.6) выражает закон Гука для стержня. Опыт показывает, что под действием растягивающей силы изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Если сила растягивающая, то поперечные размеры стержня уменьшаются. Пусть до деформации толщина стержня равна а0, а после деформации – а. Если сила растягивающая, то величина называется относительным поперечным сжатием стержня. Отношение относительного поперечного сжатия к соответствующему относительному продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона: . Рассмотрим деформацию сдвига. Возьмем однородное тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, нижнюю грань закрепим, а к его верхней грани приложим силу F, параллельную нижней грани.
Если действие силыF будет равномерно распределено по всей поверхности соответствующей грани, то в любом сечении, параллельном этим граням, возникнет тангенциальное напряжение, т.е. напряжение, при котором сила направлена по касательной к поверхности, на которую она действует: , где S – площадь грани. Под действием напряжений тело деформируется так, что одна грань сместится относительно другой на некоторое расстояние а. Если тело мысленно разбить на элементарные, параллельные рассматриваемым граням слои, то каждый слой окажется сдвинутым относительно соседних с ним слоев. Поэтому деформация такого типа называется сдвигом. При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпендикулярная к слоям, повернется на некоторый угол . В качестве характеристики деформации сдвига берется величина , (8.7) называемая относительным сдвигом. При упругих деформациях угол бывает очень мал. Поэтому можно положить tg. Следовательно, относительный сдвиг оказываетсяравным углу сдвига . Опыт показывает, что относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению: . Коэффициент G зависит только от свойств материала и называется модулем сдвига. Он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига оказался бы равным 450 (tg=1), если бы при сколь угодно больших деформациях не был превзойден предел упругости. Измеряется G как и Е в Паскалях. Для большинства упругих тел G0,4E. 3. Упругие и пластические деформации. Предел упругости и предел прочности Деформации твердых тел подчиняются закону Гука до известного предела. Обозначим в общем случае напряжение через . Связь между относительной деформацией и напряжением представляется в виде диаграммы напряжений, которую мы качественно рассмотрим для твердого тела (рис.8.3). Из рисунка видно, что линейная зависимость, установленная Гуком, выполняется лишь для упругих тел при малых относительных деформациях, а именно до так называемого предела пропорциональности , соответствующая области ОА. При дальнейшем увеличении напряжения деформация еще упругая (хотя зависимость уже не линейна) и до предела упругости остаточные деформации не возникают.
Предел упругости практически совпадает с точкой В. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекращения действия силы, изобразится не кривой ОВ, а параллельной ей – СF. Фигура OABCFO называется областью упругого гистерезиса. Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация (), называется пределом текучести . Ему соответствует точка С на кривой. В области СD деформация возрастает без увеличения напряжения, т.е. тело как бы “течет”. Эта область называется областью текучести (или областью пластических деформаций). Материалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, если же она практически отсутствует – хрупкими. Деформация не исчезает и после прекращения воздействия на тело, когда она достаточно велика. Тогда деформацию называют пластической (текущей), в области которой лежит точка С. При дальнейшем растяжении происходит разрушение тела. На рисунке в точке Е наступает разрыв. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется пределом прочности (). Отметим, что и в случае упругой деформации первоначальная форма тела восстанавливается не мгновенно, а через некоторое время, измеряемое иногда часами и даже днями. Это явление называется упругим последействием. 4. Всестороннее растяжение и сжатие Допустим, что однородное изотропное твердое тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда, к противоположным граням которого приложены силы , нормальные к этим граням. Соответствующие им натяжения обозначим (рис.8.4). Определим деформации, которые возникнут под действием этих сил. Будем предполагать деформации малыми. Направим координатные оси параллельно ребрам параллелепипеда. Пусть – длины этих ребер. Если бы действовала только сила , то ребро получило бы приращение . Его значение определяется из соотношения . Если бы действовала только сила , то размеры параллелепипеда, перпендикулярные оси Y, сократились бы. В частности, ребро х при этом получило бы отрицательное приращение , которое можно вычислить по формуле . Наконец, относительное приращение ребра под действием одной только силы было равно . Рис. 8.4 Если бы все силы действовали одновременно, то согласно принципу суперпозиции малых деформаций результирующее удлинение ребра будет равно . Аналогично вычисляются удлинения параллелепипеда, и вдоль остальных его ребер можно написать: , , (8.8) . Рассмотрим частный случай, когда все натяжения равны и отрицательны. В этом случае на параллелепипед со всех сторон действует постоянное давление . Как видно из формул (8.8), все три относительные деформации равны между собой и определяются выражением (8.9) Их можно выразить через относительные изменения объема параллелепипеда при деформации. Действительно, взяв логарифмические производные от обеих частей равенства , получим или . Поэтому формулу (8.9) можно представить в виде (8.10) где постоянная К определяется выражением (8.11) Эта постоянная называется модулем всестороннего сжатия. Формула (8.11) применима к телам не только прямоугольной, но и произвольной форм. Для доказательства достаточно заметить, что произвольное тело можно разделить на малые части, каждая из которых имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Эти части находятся под постоянным внешним давлением. Относительное изменение их объемов, а следовательно, и относительное изменение объема всего тела одинаковы и определяются формулой (8.10). 5. Энергия упругой деформации Любое упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией, так как изменяется взаимное расположение отдельных частей тела. Рассмотрим случай растяжения пружины. Растяжение будем производить очень медленно, чтобы силу , с которой мы действуем на пружину, можно было считать все время равной по модулю упругой силе . Тогда где к, х – соответственно жесткость и удлинение пружины. Тогда работа, которую нужно совершить, чтобы вызвать удлинение (или сокращение) х пружины, равна (8.12) Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Следовательно, зависимость потенциальной энергии пружины от удлинения х имеет вид , (8.13) если считать, что потенциальная энергия недеформированной пружины равна нулю. | |||||||||||||||||||||||||||||||||