Фатыхов М.А. Лекции по механикe. Министерство образования и науки
 Скачать 3.22 Mb.
|
|
Контрольные вопросы
Лекция №7. Механика твердого тела 1. Понятие об абсолютно твердом теле Под абсолютно твердым телом в механике понимают тело, расстояния между любыми двумя материальными точками которого неизменны. Иначе говоря, форма и размеры его не изменяются, каковы бы ни были действующие на это тело силы. Здесь, как и вообще в классической механике, под материальными точками понимают не атомы или молекулы, а достаточно малые макроскопические части, на которые мысленно можно разделить рассматриваемую механическую систему. Естественно, такое представление об абсолютно твердом теле является абстракцией, применимой к тем случаям движения реальных тел, когда изменение формы и размеров этих тел под действием сил пренебрежимо мало. Допустима или нет такая, как и всякая другая идеализация – это определяется не только свойствами реальных тел, но и содержанием тех вопросов, на которые надо получить ответ. В дальнейшем для краткости вместо «абсолютно твердого тела» мы будем говорить только «твердое тело». 2. Твердое тело как система материальных точек Разбив тело на элементарные массы можно представить его как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Любая из этих элементарных масс может находиться под воздействием как внутренних сил, обусловленных её взаимодействием с другими элементарными массами рассматриваемого тела, так и внешних сил. Например, если тело находится в поле сил земного тяготения, на каждую массу тела будет действовать внешняя сила равная . Однако сумма всех внутренних сил, действующих в системе, равна нулю. Ранее было показано, что система материальных точек может характеризоваться центром масс системы, координаты которого определяются радиусом-вектором (7.1) Здесь – масса точки с номером i, – радиус-вектор, определяющий положение этой массы, а – полная масса системы точек. Выражение (7.1) не является вполне однозначным, поскольку каждый из векторов можно проводить в любую из точек -й элементарной массы. Чтобы устранить эту неопределенность, нужно взять предел выражения (7.1) при условии, что все из стремятся к нулю: Таким образом, , (7.2) где интегрирование производится по всему телу. Выражение (7.2) зависит от распределения массы по объему тела. Это распределение характеризуется плотностью вещества . Для неоднородного тела плотность в точке Р определяется выражением , (7.3) где – масса, заключенная в объеме , который включает в себя и точку Р. В формуле (7.3) уменьшение до нуля не означает превращение его в точку. Под подразумевается физически бесконечно малый объем, т.е. такой объем, который, с одной стороны, достаточно мал для того, чтобы макроскопические свойства (т.е. присущие большой совокупности атомов) вещества можно было считать в его пределах одинаковыми, а с другой стороны, достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность (прерывистость) вещества. Учитывая (7.3), формула (7.2) принимает вид , (7.4) где интегрирование осуществляется по всему объему тела. Если тело однородно, плотность во всех точках тела одинакова и ее можно вынести за знак интеграла в (7.4). Тогда (7.5) Таким образом, в случае однородного тела радиус-вектор центра масс представляет собой значение радиус-вектора , усредненное по всем точкам тела. Итак, твердое тело эквивалентно системе материальных точек. Поэтому для него справедливо уравнение , (7.6) где – результирующая всех внешних сил, действующих на твердое тело. Таким образом, центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к нему сил. Уравнение (7.6) дает возможность установить движение центра масс твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы. 3. Поступательное движение твердого тела Простейший случай движения твердого тела – поступательное движение, т.е. такое движение, при котором все точки твердого тела движутся по подобным траекториям или любая прямая, связанная с телом, остается при его движении параллельной самой себе (рис. 7.1). Рис.7.1 Обозначим цифрами 1 и 2 две произвольные точки тела, характеризуемые радиусами-векторами и . Пусть – вектор, проведенный из точки 1 в точку 2 (рис.7.2). Расстояние между рассматриваемыми точками неизменно, поэтому . Оно связано с радиусами-векторами точек соотношением . Продифференцировав по времени, получим, что , т.е. . Аналогично имеем . Рис.7.2 Таким образом, все точки тела получают за один тот же промежуток времени равные по модулю и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Отсюда следует, что при поступательном движении траектории всех точек идентичны и могут быть совмещены параллельным переносом. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, его центра масс) для того, чтобы охарактеризовать полностью движение всего тела. Следует также отметить, что в случае поступательного движения уравнение (7.6) будет определять ускорение не только центра масс, но и любой другой точки тела. 4. Вращательное движение твердого тела При вращательном движении все точки тела движутся по подобным траекториям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения (рис.7.3). Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных к этой оси. O φ Q P O Рис.7.3. Положение вращающегося тела может быть определено двугранным углом , между двумя полуплоскостями, проходящими через ось вращения. Одна плоскость неподвижна относительно системы координат, другая связана с телом и вращается вместе с ним. Знак определяют по правилу правого винта. Закон вращения твердого тела определяется уравнением: (7.7) Следуя кинематике движения точки по окружности, рассмотренной в предыдущих разделах, вращательное движение твердого тела можно характеризовать угловой скоростью, т.е. скоростью изменения угла поворота: (7.8) Чтобы охарактеризовать не только быстроту вращения, но также и ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения, вводят векторную величину , модуль которой определяется формулой (7.8). Направлен вектор вдоль оси вращения, причем так, что направление вращения и направление образуют правовинтовую систему: если смотреть вслед вектору , вращение представляется происходящим по часовой стрелке. (Рис.7.4). Определенная таким образом векторная величина называется угловой скоростью тела. ω dφ R R Рис.7.4. Поскольку направление угловой скорости определяется условно, является псевдовектором. Быстрота изменения угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением, т.е.: (7 .9) Как и угловая скорость, угловое ускорение является псевдовектором. Как видно из формулы (7.9), направление определяется направлением изменения угловой скорости . Если угловая скорость растет со временем, т.е. вращение ускоренное, направления и совпадают, если же вращение замедленное, направления и противоположные (рис. 7.5). ω2 ω1 Рис. 7.5. а) ω1 ω2 β Рис. 7.5. б) Найдем связь векторов между и с величинами и . Возьмем какую-либо произвольную точку этого тела, отстоящую от оси вращения на расстоянии R. Ранее было показано, что линейная и угловая скорости точки связаны соотношением (7.10) Будем определять положение точек тела с помощью радиус-вектора , проведенного из точки, лежащей на оси вращения. На рис.7.6 видно, что . Постановка этого значения в (7.6) дает . Это равенство и показанные на рис. 7.6 взаимные направления векторов , и дают основания представить в виде векторного произведения на : (7.11)
Связи модулей нормального и тангенциального ускорений с угловым ускорением и угловой скоростью имеют вид (7.12) Заметим, что последняя формула в (7.12) справедлива для случая, когда ось вращения, а, следовательно, и вектор , не изменяет направления в пространстве. 5. Плоское движение твердого тела Плоским называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Произвольное плоское движение можно представить как совокупность поступательного движения и вращения. Разбиение движения на поступательное и вращательное можно осуществить множеством способов (рис. 7.7).
В качестве примера рассмотрим качение цилиндра радиуса без скольжения по плоскости. Скорости точек цилиндра можно представить как обусловленные: а – одним лишь вращением вокруг оси А с угловой скоростью (рис.7.7 а); б – поступательным движением со скоростью и вращением вокруг оси С с угловой скоростью (рис.7.7 б); в – поступательным движением со скоростью и вращением вокруг оси В с угловой скоростью (рис.7.7 в). Из приведенных на рисунке соотношений легко получить, что . Следовательно, рассмотренные в этом примере способы отличаются значениями скорости поступательного движения, но соответствуют одной и той же угловой скорости . Поэтому можно говорить об угловой скорости вращения твердого тела, не указывая, через какую точку проходит ось вращения. Возьмем скорость поступательного движения равной . Примем одну из точек, лежащих на оси вращения, за начало координат О. Обозначим через – радиус-вектор, проведенный из точки О в данную точку тела. Согласно формуле (7.11), составляющую скорости точек, обусловленную вращением, можно представить в виде . Следовательно, для скорости точек тела относительно неподвижной системы отсчета получается формула (7.13) т им- 31.1) ение 1-я Особенно удобным оказывается разбиение произвольного плоского движения на поступательное, происходящее со скоростью центра масс , и вращение вокруг оси, проходящей через этот центр (рис. 7.7 б). Элементарное перемещение твердого тела при плоском движении всегда можно представить как поворот вокруг так называемой мгновенной оси вращения (рис. 7.7 а). Эта ось может находиться внутри либо вне тела. Положение мгновенной оси относительно неподвижной системы отсчета и относительно тела, вообще говоря, изменяется со временем. В случае, изображенном на рис. 7.7 а-в, мгновенная ось совпадает с линией касания цилиндра с плоскостью (ось А). Эта ось перемещается как по плоскости (т.е. относительно системы отсчета), так и по поверхности цилиндра. Таким образом, плоское движение можно рассматривать как ряд последовательных элементарных вращений вокруг мгновенных осей. 6. Момент силы относительно оси Как показывает опыт, результат действия силы при вращательном движении зависит от величины силы, от расстояния между осью (или точкой), вокруг которой вращается тело, и точкой приложения силы, а также от направления силы. Действительно, каждый по своему опыту знает, что, закрывая дверь, следует нажимать на неё подальше от оси её вращения. Кроме того, известно, что нельзя закрыть дверь, действуя на неё силой, направленной вверх вдоль оси двери, или силой, перпендикулярной оси в плоскости двери. Дверь закрывают, нажимая на неё перпендикулярно её плоскости. Когда сила приложена к одной из точек твердого тела, вектор момента силы характеризует способность силы вращать тело вокруг точки О, относительно которой он берется. Поэтому момент силы называют также вращающим моментом. Рассмотрим момент силы относительно оси. Проекция вектора на произвольную ось, проходящую через точку О, называется моментом силы относительно этой оси: (7.14) Пусть твердое тело произвольной формы вращается под действием силы вокруг некоторой неподвижной оси ОО(рис. 7.8).Тогда все ее точки описывают окружности с центрами на этой оси. В качестве оси может быть взята реальная ось, вокруг которой вращается тело. Но это может быть одна из осей координат и вообще любая воображаемая прямая. Разложим действующую силу на три взаимно перпендикулярные составляющие: (параллельную оси), (перпендикулярную оси и лежащую на линии, проходящей через ось) и (перпендикулярную и ). Очевидно, что вращение вызывает только составляющая , являющаяся касательной к окружности, описываемой точкой приложения силы. Эта сила называется вращающей силой. Остальные две силы вращения не вызывают. Воспользовавшись определением момента силы относительно точки, представим момент силы относительно точки О в виде , где – момент силы и т.д. Рис. 7.8 Проекция на ось z вектора равна сумме проекций моментов составляющих сил. Моменты перпендикулярны к оси z , поэтому их проекции равны нулю. Следовательно, (7.15) Таким образом, моментом силы относительно оси (или моментом вращающей силы) будем называть произведение вращающей силы на радиус окружности, описываемой точкой приложения силы. В общем случае момент силы формально определяется по той же формуле (6.29). Поэтому момент силы относительно оси представляет собой вектор, направленный перпендикулярно плоскости окружности, т.е. вдоль оси по правилу буравчика. |