Фатыхов М.А. Лекции по механикe. Министерство образования и науки
 Скачать 3.22 Mb.
|
. Вводя коэффициент пропорциональности к, получимКонтрольные вопросы
Лекция №4. Динамика материальной точки Динамика – раздел механики, в котором изучаются законы движения тел в связи с вызывающими его физическими причинами. Основные положения динамики точки были сформулированы И. Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии» в 80-х годах 17 века в виде трех законов движения. Законы Ньютона возникли в результате обобщения большого количества наблюдений и экспериментов. Правильность их подтверждается соответствием с опытом тех следствий, которые из них вытекают. Первый шаг в понимании движения был сделан Г.Галилеем, когда он открыл впервые свой принцип инерции: тело, предоставленное самому себе, если на него не действует никакая сила, сохраняет свое прямолинейное движение с постоянной скоростью, как двигалось до этого, или остается в покое, если оно до этого покоилось. Конечно, в природе такого не бывает. Например, шарик, катящийся по поверхности стола, останавливается за счет силы трения. Естественным является вопрос: как движется тело, почему оно движется так, а не иначе, какие причины вызывают или изменяют это движение. На эти вопросы ответ дал И.Ньютон, сформулировав три закона. 1. Первый закон Ньютона Этот закон Ньютон сформулировал следующим образом: Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие других тел не выведет его из этого состояния. Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инерцией. Поэтому этот закон в современной формулировке гласит следующее. Существуют такие системы отсчета, в которых всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной. Поэтому и называется первый закон законом инерции. Инерциальных систем отсчета множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно, т.е. поступательно с постоянной скоростью является инерциальной. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим движение материальной точки относительно систем отсчета К и (рис.4.1) . Допустим, что система движется относительно системы К поступательно с постоянной скоростью . Как видно из рисунка, между радиус-векторами имеется соотношение . Рис. 4.1. Продифференцировав его по времени, найдем, что , т.е. . Если на материальную точку не действуют никакие тела и система инерциальна, то скорость материальной точки в этой системе будет постоянной. Из последней формулы следует, что скорость материальной точки в системе также оказывается постоянной. Это означает, что система также инерциальна. Установить, является ли данная система инерциальной или нет, можно опытным путем. Например, опыт показывает, что с большой степенью точности систему отсчета, связанную с Землей (геоцентрическая система отсчета) при изучении явлений, происходящих на Земле, можно считать инерциальной. С гораздо большей точностью можно считать инерциальной систему отсчета, в которой начало координат совмещено с Центром Солнца, а координатные оси направлены на три неподвижные звезды, сохраняющие с известной точностью неизменное положение на небесном своде (гелиоцентрическая система отсчета). Она является инерциальной при описании явлений, происходящих в солнечной системе, а не в галактике. Очевидно, первый закон является приближенным законом. Во-первых, нет и не может быть ни с чем не взаимодействующих тел. Чем меньше это взаимодействие, тем точнее выполняется первый закон. Например, если ударить ногой по мячу, то он после падения по траве продвинется значительно меньше, чем по асфальту, по которому он катится десятки метров, не снижая своей скорости. Это расстояние зависит, во-первых, от силы удара ноги, и, во-вторых, от шероховатости поверхности. Лишь считая, что поверхность идеально гладкая и воздействие на тело других тел в вертикальном направлении отсутствует, можно сделать вывод о справедливости первого закона Ньютона. Во-вторых, зависит от выбора тела отсчета. Например, на перроне лежит камень. Он находится в покое относительно перрона, т.е. инерциальной системы отсчета. Однако для наблюдателя, которое смотрит на камень из окна трогающегося поезда, камень движется ускоренно, хотя ясно, что никаких новых воздействий на камень при трогании с места не появилось. Ускоренное движение камня относительно поезда нельзя объяснить воздействием какого-либо тела. В этом случае первый закон не выполняется относительно системы отсчета, связанной с поездом. 2. Масса Опыт показывает, что при одинаковом воздействии различные тела по-разному изменяют скорость и получают различные ускорения. Это свойство тел влиять на величину собственного ускорения называется инертностью тел. Следовательно, величина ускорения, приобретаемого телом, зависит от некоторого собственного свойства тела. Это свойство тела характеризуют физической величиной, называемой массой. Таким образом, масса – мера инертности тела. Под инертностью понимают неподатливость тела действию сил, т.е. свойство тела противиться изменению скорости под воздействием силы. В дальнейшем увидим также, что масса характеризует и гравитационные свойства тел и их энергосодержание. Масса – скалярная величина. Следовательно, массы тел складываются алгебраически. Масса составного тела равна сумме масс составляющих тел. Это свойство называется аддитивностью массы. Массы и двух тел обратно пропорциональны ускорениям и , которые эти тела приобретают под действием одной и той же силы, т.е. . Поэтому масса тел определяется путем сравнения с массой некоторого произвольно выбранного эталонного тела. По международному соглашению таким эталоном является платино-иридиевый цилиндр, хранящийся в Париже и называемый килограммом массы (кг). Эта масса принята за единицу массы – 1 кг. Тысячная доля кг называется граммом массы (г). С высокой степенью точности масса 1 см3 дистиллированной воды при 4 0С равна 1 г. При малых скоростях, т.е. таких, с которыми имеют дело в классической механике, масса – постоянная величина. Однако для тел, движущихся со скоростью, близкой к скорости света, масса зависит от скорости: , где масса тела при (масса покоя), – скорость тела, – скорость света, равная 3·м/с. Эта формула была получена А.Эйнштейном в 1905 г. Она показывает, что масса возрастает с увеличением скорости. В современных ускорителях электроны разгоняются до таких скоростей, при которых их масса возрастает в тысячи раз. Последняя формула также показывает, что тело не может иметь скорость, превышающую скорость света (в пустоте). По мере увеличения скорости тела растет и его масса, а ускорение уменьшается. 3. Сила Согласно первому закону Ньютона, если на тело действуют другие тела, то состояние движения тела изменяется, т.е. изменяется его скорость и появляется ускорение. Количественной мерой воздействия на данное тело со стороны другого тела является сила. Из определения следует, что понятие сила относится к двум телам. Если имеется сила, всегда можно указать тело, на которое она действует, и тело, со стороны которого она действует. Общие свойства сил устанавливаются при рассмотрении особенностей влияния воздействия на ускорение. Они заключаются в следующем.
(4.1)
Сила, являясь характеристикой взаимодействия тел, также может зависеть от указанных особенностей. Сила проявляется и в деформации тел. Например, груз, висящий на проволоке, растягивает её. По величине деформации можно определить величину силы. На этом основано измерение силы пружинным динамометром. 4. Второй закон Ньютона Второй закон Ньютона гласит: ускорение , приобретаемое телом под действием силы , направлено так же, как и сила, а по величине пропорционально силе и обратно пропорционально массе тела: |
| Название взаимодействия | Относительная интенсивность | Частица, «переносящая» взаимодействие | Характеристика частицы |
| Сильное | 1 | -мезоны (глюоны) (8 типов) | m250 mэлектр разнообразные |
| Электромагнитное | 10-2 | фотон | E= h |
| Слабое | 10-13 | W-частицы Z-частицы | Е102 с2 m протон гипотетичны |
| Гравитационное | 10-40 | гравитон | гипотетичен |
В классической физике считается, что электромагнитное и гравитационное взаимодействия осуществляются посредством поля. Как было указано на первой лекции, поле – это особый вид материи, характерный тем, что каждой точке пространства можно приписать определенное значение поля. Физическое поле – непрерывно. Однако современная физика, базирующаяся на квантовых представлениях, считает дискретной любую физическую величину, которая может изменяться только определенными порциями – квантами. Она приписывает полям дискретный характер, когда изменение поля рассматривается как излучение или поглощение некой частицы, распространяющейся с конечной скоростью (не больше скорости света с). Другими словами, в квантовой физике взаимодействия сводятся к обмену теми или иными частицами, переносящими квант действия. Если квант действия электромагнитного поля хорошо известен под названием фотон, то квант гравитационного взаимодействия остается по сих пор неоткрытым, хотя он уже получил название гравитона.
Сильное взаимодействие может объяснить наличие ядерных сил, ответственных за устойчивость атомного ядра. Ядерные взаимодействия обеспечивают связь частиц внутри ядер и приводят к взаимным превращениям тяжелых элементарных частиц (протонов, нейтронов, мезонов) при их столкновениях и самопроизвольном распаде. Радиус действия ядерного и слабого взаимодействий составляет менее см.
Слабые взаимодействия возникают между микрочастицами, обладающими так называемым слабым зарядом. Они ответственны за распад элементарных частиц. До 1983 года этот тип взаимодействия рассматривался только теоретиками, но в этом году экспериментально была открыта W+-частица с энергией 81 ГэВ (Гига – 109, электрон – Вольт – единица измерения энергии, равная 1,6•10 -19 Дж), так что слабое взаимодействие получило опытное подтверждение.
Из таблицы 4.1 видно, что гравитационные силы являются слабейшими из всех фундаментальных взаимодействий, однако они обладают свойствами аддитивности и достигают значительных величин в космическом масштабе (притяжение Луны, строение Солнечной системы и т.п.).
Электромагнитные взаимодействия осуществляются в телах, имеющих электрические заряды. В атомах, молекулах, твердых и жидких телах, в живых организмах именно электромагнитные взаимодействия являются главными. Проявляются они в виде силы трения, силы упругости, силы мышц.
8. Гравитационные силы (силы тяготения)
Изучая движение небесных тел и падение тел в земных условиях, И.Ньютон установил закон всемирного тяготения, который гласит: тело массой действует на находящееся от него на расстоянии r тело массой с силой , величина которой пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, т.е.
(4.10)
В формуле (4.10) называется гравитационной постоянной.
Сила направлена по линии, соединяющей тела, и является силой притяжения.
Формулу (4.10) можно написать в виде
(4.11)
В этой формуле – вектор, проведенный от первого тела ко второму. Его модуль , тогда абсолютная величина силы в формулах (4.10) и (4.11) одинакова. Направление этой силы совпадает с направлением вектора , т.е. эта сила направлена по линии, соединяющей тела от второго тела к первому.
Приведенные формулы справедливы как для материальной точки, так и для произвольного тела. В последнем случае расстояние отсчитывается от центров этих тел.
Величина гравитационной постоянной впервые была измерена Кавендишем в 1798 г. с помощью крутильных весов. Физический смысл её заключается в том, что она равна выраженной в ньютонах силе тяготения между точечными телами массой в 1 кг каждая, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга. Значение этой величины очень мало. Поэтому малы и силы тяготения. Чтобы силы тяготения были заметны, необходимо, чтобы хотя бы одно из взаимодействующих тел имело огромную массу. Так, сила тяготения между Землей и Луной имеет порядок Н, а между двумя почти соприкасающимися молекулами кислорода – Н.
Данный закон доказывает, что взаимодействие между телами осуществляется через особый вид материи – посредством гравитационного поля.
Отличительным свойством гравитационных сил является то, что они сообщают всем телам, независимо от их массы, одинаковое ускорение. Действительно, если применить формулу для случая взаимодействия земного шара с телами, расположенными вблизи земной поверхности, то выражение силы тяготения тел к Земле можно представить в виде , где – масса Земли, R – её радиус, – масса тела.
C другой стороны, , где – ускорение свободного падения тел вблизи земной поверхности. Сравнивая последние формулы, получим .
Так как значения постоянных, входящих в последнюю формулу, известны, ясно, что все тела вблизи поверхности Земли падают с одинаковым ускорением, равным . Строго говоря, это ускорение зависит от широты и высоты места.
Следует отметить ещё одну особенность – особенность массы. Согласно закону всемирного тяготения масса имеет смысл меры силы тяготения (гравитационная масса). Ранее мы говорили, что масса – это мера инертности (инертная масса). Хотя по физическому смыслу эти массы различаются, опыт показывает, что численные значения их отличаются незначительно.
9. Сила тяжести и вес. Невесомость
Вблизи поверхности Земли все тела падают с одинаковым ускорением. Отсюда вытекает, что в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело действует сила
(4.12)
Эта сила называется силой тяжести. Она приближенно равна силе гравитационного притяжения тела к Земле. Это различие не превышает 0,36 % и оно связано тем, что система отсчета, связанная с Землей, не вполне инерциальна.
Если подвесить тело или положить его на опору, оно будет покоиться относительно Земли (Рис. 4.2). В этом случае сила тяжести уравновешивается силой , которую называют реакцией подвеса или опоры. Реакциями называются силы, с которыми на данное тело действуют тела, ограничивающие его движение. По третьему закону Ньютона тело действует на подвес или опору с силой , которую называют весом тела.
а) б)
Рис. 4.2.
Таким образом, вес тела – это сила, с которой тело действует на подвес или опору вследствие гравитационного притяжения к Земле.
Поскольку силы и уравновешивают друг друга, выполняется условие .
Вес есть сила, с которой тело действует на подвес (или опору), а есть сила, с которой повес (или опора) действует на тело. Согласно третьему закону Ньютона должно выполняться соотношение .
Сравнение обоих соотношений дает, что
(4.13)
Таким образом, вес и сила тяжести равны друг другу. Однако приложены они к разным телам – вес к подвесу (или опоре), сила тяжести – к самому телу.
Равенство (4.13) имеет место только в том случае, когда подвес или опора (а, следовательно, и тело) покоится относительно Земли (или движется без ускорения). Если же точка крепления подвеса или опора движется с ускорением, вес перестает быть равным силе тяжести.
| Рис.4.3. Определение веса тела. | Для пояснения сказанного полезно рассмотреть показания весов, на которых стоит гиря. В неподвижном состоянии на гирю действуют две силы – сила тяжести и сила реакции опоры (весов), причем. Если весы движутся вниз с ускорением а (см. рис.4.3), то уравнение второго закона Ньютона, записанное в неподвижной системе координат1, имеет вид: |
(4.14)
откуда (4.15)
Учитывая (4.14), вес гири
(4.16)
Очевидно, что при а = g , т.е. все свободно падающие тела ничего не весят, т.е. наступает состояние невесомости. Космический корабль, летящий на околоземной орбите с неработающими двигателями, движется, как и оборвавшийся лифт, с ускорением . Поэтому тела внутри корабля находятся в состоянии невесомости – они не оказывают давления на соприкасающиеся с ними тела. В частности, внутренние органы космонавта перестают оказывать давление на органы, расположенные ниже, а вес тела в целом перестает давить на кости скелета. Этим обуславливается специфическое физиологическое ощущение невесомости.
Сила тяжести на поверхности Земли не является постоянной по двум причинам: во-первых, Земля, как известно, не является идеальным шаром (она сплюснута на полюсах так, что на полюсах g больше, чем на экваторе); во-вторых, вследствие суточного вращения Земли, на все тела на ее поверхности (за исключением географических полюсов) действует центростремительное ускорение aц = соs, направленное в ту же сторону, что и g. Поэтому вес тел будет меньше там, где радиус вращения больше, т.е. на экваторе тела имеют наименьший вес.
| r R | Рис.4.4. Изменение радиуса вращения. |
10. Силы трения
Сила, препятствующая скольжению соприкасающихся тел относительно друг друга, называется силой трения. Силы трения являются проявлением электромагнитных взаимодействий между частицами, входящими в состав молекул.
Так как силы трения зависят от большого числа причин, виды сил трения также разнообразны.
В случае неподвижных относительно друг друга тел существует трение покоя. Максимальная сила трения покоя равна по величине той наименьшей внешней силе, которая вызывает скольжение тел. Она действует между соприкасающимися телами вдоль поверхности их соприкосновения, когда эти тела находятся в покое относительно друг друга. Опыт показывает, что она пропорциональна силе N нормального давления (закон Амонтона-Кулона):
<, (4.17)
где – коэффициент трения покоя. Он зависит от свойств поверхностей, между которыми происходит трение, в частности, от веществ, из которых изготовлены трущиеся тела, шероховатости поверхностей, наличия различного рода загрязнений на них, от внешних условий (температуры, влажности и т.д.).
Если твердое тело скользит по поверхности другого тела, то на него вдоль поверхности соприкосновения тел в сторону, противоположную направлению движения, действует сила, которая называется силой трения скольжения.
Свойства этой силы заключаются в следующем.
Из определения следует, что она направлена по касательной к поверхности соприкосновения тел противоположно скорости скольжения данного тела.
В отличие от силы трения покоя, она зависит от относительной скорости соприкасающихся при движении тел. В момент начала движения, когда скорость тела ещё мала, сила трения скольжения равна максимальной силе трения покоя . С увеличением скорости тела она обычно несколько убывает. Например, сдвинуть с места тяжелое тело всегда трудно. Но двигать его после того, как оно уже начало двигаться, заметно легче. При дальнейшем увеличении скорости сила трения скольжения может возрастать.
Если относительная скорость движения тел невелика, величина силы трения покоя определяется по формуле
(4.18)
В формулы (4.17) и (4.18) входит коэффициент трения. В силу причин, от которых зависят силы трения покоя и скольжения, коэффициент трения является грубой характеристикой сил трения. В физических таблицах обычно приводятся средние значения коэффициента трения. Для точных расчетов необходимо провести экспериментальные исследования в реальных условиях и определить коэффициент трения с использованием формулы (4.18).
Силы трения играют как положительную, так и отрицательную роль.
Благодаря трению приходит в движение и останавливается транспорт. Действие органов передвижения и хватательных органов живых существ основано на трении скольжения. Трение удерживает корни растений в почве, песок – в железнодорожной насыпи и др. Ленточный сепаратор, применяемый для разделения семян на составные части, основан на применении силы трения. Например, смесь зерен овса и проса медленно высыпается из бункера на движущуюся бесконечную ленту, расположенную под углом к горизонту. Угол наклона подбирается так, чтобы зерна овса удерживались на ней силой трения и увлекались вверх, а зерна проса, у которых коэффициент трения с материалом ленты меньше, чем у зерен овса, скользили по ленте вниз. В результате зерна овса и проса будут сыпаться с различных сторон сепаратора.
Силы трения играют отрицательную роль при движении твердых тел в жидкости или газе, или при вращении одного твердого тела внутри другого твердого тела.
Способы уменьшения сил трения.
1. Максимальная величина силы трения покоя заметно уменьшается или может совсем исчезнуть при наличии между поверхностями трущихся тел тонкого слоя вязкой жидкости (смазки). Сила, действующая на твердое тело, движущееся в жидкой среде, со стороны прилегающих к телу слоев жидкости вдоль поверхности тела, называется силой жидкого трения. Опыт показывает, что эта сила зависит от скорости тела относительно среды. При малых скоростях она пропорциональна скорости и выражается формулой
, (4.19)
а по мере возрастания скорости сила жидкого трения растет пропорционально квадрату скорости:
(4.20)
Коэффициенты и называются коэффициентами трения (или сопротивления). Они зависят от:
свойств жидкости, в частности, вязкости и плотности; их величина возрастает с увеличением вязкости;
формы и размеров тела; если тела имеют одинаковую геометрическую форму, они возрастают с увеличением наибольшей площади сечения тела в направлении, перпендикулярной скорости, и уменьшаются для тел с одинаковым сечением при приближении их формы к обтекаемой ”каплеобразной’’ форме.
2. Замена скольжения качением: применение колес, катков, шариковых и роликовых подшипников. Возникающая при этом сила трения называется силой трения качения. Она выражается формулой:
, (4.21)
где R– радиус катящегося тела, – коэффициент трения качения, зависящий от свойств материала соприкасающихся поверхностей и имеющая размерность длины; N– сила нормального давления (как и в предыдущих случаях).
Семена некоторых растений (горох, каштан, орех) имеют шарообразную форму, поэтому они проявляют силы трения качения при откатывании на более далекие расстояния от материнского растения.
Контрольные вопросы
Какая система отсчета называется инерциальной? Почему система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна?
В чем заключается физический смысл массы? Назовите её свойства.
Что такое сила? Как её можно охарактеризовать?
Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона Ньютона? Почему?
Сформулировав три закона Ньютона, покажите, какова взаимосвязь между этими законами?
В чем заключается принцип независимости действия сил?
Назовите и охарактеризуйте виды взаимодействий.
Назовите особенности гравитационных сил?
Какова физическая сущность трения? В чем отличие сухого трения от жидкого?
Что называется механической системой? Какие системы называются замкнутыми? Является ли Вселенная замкнутой системой? Почему?
В чем заключается закон сохранения импульса? В каких системах он выполняется? Почему он является фундаментальным законом природы?
В чем измеряется коэффициент трения качения?
Какова роль силы трения в природе и технике? Ответ обоснуйте конкретными примерами.
В чем роль силы трения при качении тел?
Почему пассажиры любого вида транспорта при внезапной остановке наклоняются вперед, а при резком увеличении скорости движения – назад?
При каком условии пароход, плывущий против течения, будет иметь постоянную скорость?
Почему при выстреле пуля оставляет в стекле небольшое отверстие, а брошенная рукой – разбивает стекло на кусочки?
Канат переброшен через блок, причем часть каната лежит на столе, часть – на полу. После того как канат отпустили, он начал двигаться со временем равномерно. Определите скорость этого движения, если высота стола h.
Если концы деревянной палки положить на два стакана и с силой ударить палку тяжелым предметом посередине, палка переломится, а стаканы останутся целы. Как можно объяснить это явление?
Тело движется по горизонтальной поверхности. Форма траектории – окружность. Как будет изменяться вектор силы трения при движении?
Всегда ли трение скольжения больше трения качения?
Диаметр одного шарика в два раза больше, чем другого. После начального периода ускоренного движения шарики равномерно падают в воздухе. Плотность их одинакова. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости и площади поперечного сечения шарика (площадь большого круга). Определите, во сколько раз различаются скорости падения шариков. Выталкивающей силой, действующей в воздухе на шарики, пренебречь.
На гладкую доску положили два кирпича, один плашмя, другой – на ребро. Вес кирпичей одинаков. Какой кирпич начнет сползать первым, если постепенно поднимать один конец доски?
Можно ли уничтожить трение между двумя поверхностями, тщательно их отшлифовав?
На спускающегося парашютиста действует сила земного притяжения, но движется он равномерно. Объясните это.
Масса одного тела меньше другого. Если бы Земля притягивала все тела с одинаковой силой, какое тело упало бы быстрее? Первоначально они находились на одинаковой высоте.
Шарику, который первоначально находился на горизонтальном столе высотой h, сообщили скорость v0, и он скатился по желобу на землю. Какую форму должен иметь желоб, чтобы при скатывании шарик все время касался желоба, не оказывая на него давления?
Какие часы целесообразно применять во время космических полетов: гиревые с маятником или пружинные? Как определить массу тела в мире невесомости?
Покажите, что второй закон Ньютона для тел, между которыми действуют гравитационные силы, не меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся со скоростью относительно первой.
Зачем в вертолетах, кроме основного винта – ротора, создающего силу, направленную вверх, устанавливают на хвостовой балке небольшой винт, создающий тягу в направлении, приблизительно перпендикулярном к направлению полета?
Что является более прочным для удержания одного и того же веса – гамак или качели, находящиеся в покое?
Альпинисты переправляются через глубокий овраг, держась руками на натянутую над ними веревку. Что целесообразнее для безопасности – туго натянуть канат или ослабить его? В каком случае канат может скорее оборваться?
Как с помощью небольшой силы, имея трос, вытащить загрузший автомобиль?
В зависимости от угла наклона тело, находящееся на наклонной плоскости, может оставаться в покое, двигаться по ней равномерно или равноускоренно. Каково соотношение между действующими на тело силами во всех трех случаях?
Шнуром, перекинутым через блок, равномерно поднимают груз, натягивая конец шнура горизонтально. Чему равна сила давления на блок? Будет ли она больше (меньше) веса груза или равна ему?
Одно и то же тело взвесили на пружинных весах на экваторе и полюсе. Каковы показания приборов?
Почему скорость поезда на горизонтальном участке пути не возрастает бесконечно, если сила тяги двигателя действует непрерывно?
Тела падают вследствие притяжения Земли. В чем неточность этого выражения?
Как объяснить, что бегущий человек, споткнувшись, падает в направлении своего движения, а, поскользнувшись, падает в направлении, противоположном направлению своего движения?
Докажите свойство аддитивности массы. Верно ли утверждение о том, что аддитивность и закон сохранения массы вещества – одинаковые понятия?
Лекция №5. Динамика системы материальных точек
1. Центр масс системы материальных точек
На практике не каждое тело может быть представлено как материальная точка. Однако всегда можно ее разделить на достаточно малые части, каждую из которых можно считать материальной точкой.
Ещё чаще приходится иметь дело не с одним-двумя телами, а с системой тел, взаимодействующих между собой. Изучение движения такой системы – весьма сложная задача, так как в общем случае для описания движения системы нужно знать движение всех её частей. Такое изучение облегчается тем, что у самых различных систем имеются общие свойства. В частности, таким общим свойством является то, что в любой системе можно выделить особую по отношению ко всем другим точкам системы точку, которая называется центром масс системы.
Рассмотрим две материальные точки А и В с массами и , расположенные в плоскости хОу.
| Рис. 5.1 | Центром масс двух материальных точек А и В с массами и соответственно называется точка С, лежащая на отрезке, соединяющем А и В, на расстояниях и от А и В, (рис.5.1) обратно пропорциональных массам точек, т.е. (5.1) |
При этом центр масс необязательно совпадает с какой-либо материальной точкой системы.
Если положения точек А и В задаются радиусами-векторами и , то положение центра масс определяется радиусом-вектором . Соединим массы и с центром масс точек отрезками и , направленными от точек А и В к центру масс, как показано на рисунке. Тогда
и (5.2)
Умножим первое уравнение на , а второе на :
и
и сложим их: (5.3)
Но с учетом определения (5.1) и направлений векторов и имеем, что . Тогда из (5.3) получим соотношение:
(5.4)
или (5.5)
Формулы (5.4) и (5.5) могут быть обобщены на любое количество материальных точек. При этом радиус-вектор центра масс системы, состоящей из n материальных точек, определяется формулой
(5.6)
Здесь – масса точки с номером i, – её радиус-вектор, а – полная масса системы точек.
Из формулы (5.6) следуют формулы для вычисления координат центра масс через координаты и массы точек системы:
, , (5.7)
Скорость центра масс системы материальных точек также выражается через массы и скорости отдельных материальных точек системы. Действительно, в силу определения скорости запишем выражение для скорости центра масс в виде:
(5.8)
или
(5.9)
Так же может быть найдено и выражение для ускорения центра масс системы: , т.е. (5.10)
Величины представляют собой импульсы отдельных точек, поэтому уравнение (5.9) можно переписать в виде:
, (5.11)
где – импульс системы материальных точек. Таким образом, импульс системы материальных точек равен произведению массы системы на скорость её центра масс.
Дифференцируя (5.11), находим уравнение движения системы материальных точек в следующем виде:
(5.12)
Отсюда следует, что центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы.
2. Закон сохранения импульса
Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называется механической системой. Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние. Внутренними называют силы, с которыми тела системы действуют друг на друга, а внешними – силы, действующие со стороны тел, не принадлежащих системе. Обозначим внутренние силы через , где первый индекс указывает номер частицы, на которую действует сила, второй индекс – номер частицы, воздействием которой обусловлена эта сила. Символом обозначим результирующую всех внешних сил, действующих на i-ую частицу. Согласно третьему закону Ньютона , т.е. . Отсюда следует, что геометрическая сумма всех внутренних сил, действующих в системе, равна нулю.
Рассмотрим движение механической системы, состоящей из двух материальных точек. Обозначим внутренние силы: через – силу, действующую на первую точку со стороны второй, и – силу, действующую на вторую точку со стороны первой. Сумму внешних сил, действующих на первую и вторую точки, обозначим через и соответственно.