Фатыхов М.А. Лекции по механикe. Министерство образования и науки
 Скачать 3.22 Mb.
|
Зависимость (2.3)есть векторное кинематическое уравнение движения материальной точки. Каждую из приведенных формул (2.1) и (2.3) называют также кинематическим законом движения материальной точки. Для полного описания движения точки достаточно знать кинематические законы движения. 2. Скорость и ускорение при прямолинейном движении Линию, которую описывает материальная точка при своем движении в пространстве, называют траекторией. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным. Исключив из (2.4) или (2.7) время, можно определить уравнение траектории. Расстояние, пройденное по траектории, называется путем. Обозначается как . Путь всегда выражается положительным числом. Поэтому пути, пройденные за отдельные промежутки времени, в течение которых материальная точка не изменяет направления своего движения, складываются арифметически. Отрезок прямой, проведенный из начального положения материальной точки в конечное, называется перемещением. Перемещение обозначается как или . Кроме числового значения перемещение характеризуется также и направлением. Следовательно, перемещение – векторная величина. Поэтому перемещения складываются геометрически. Пусть материальная точка движется вдоль прямой линии. Примем эту прямую за координатную ось Х, поместив начало координат О в какой-то произвольной ее точке. Положение материальной точки в рассматриваемом случае определяется одной координатой: (2.4) При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и длина пути равна модулю перемещения, т.е. . Пусть в какой-то фиксированный момент времени материальная точка находится в положении . В этот момент времени ее координата равна . В более поздний момент времени материальная точка переместится в положение с координатой. За время материальная точка проходит путь . Он считается положительным, если перемещение совершается вправо, и отрицательным, если перемещение совершается влево. Отношение пройденного пути к промежутку времени называется средней скоростью материальной точки за время . Таким образом, по определению средняя скорость равна (2.5) Такое определение средней скорости имеет смысл для любых как угодно малых значений , но отличных от нуля. Вообще, средняя скорость зависит не только от , но и от . Теперь, оставляя момент времени неизменным, промежуток времени будем брать все меньше и меньше, устремляя его к нулю. Тогда к нулю будет стремиться и пройденный путь . Как показывает опыт, отношение при этом будет стремиться к вполне определенному пределу, который может зависеть только от , но уже не будет зависеть от . Этот предел называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки в момент времени : (2.6) В математике предел, определяемый формулой (2.6), называется производной функции по аргументу . Таким образом, по определению производной следует, что истинная или мгновенная скорость материальной точки есть производная координаты по времени, или производная пройденного пути s по времени: (2.7) Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени материальная точка проходит одинаковые пути, движение материальной точки называется равномерным. Разделив путь s на время , за который он пройден, получим величину , (2.8) которую в обыденной жизни называют скоростью материальной точки. Она в данном случае совпадает с мгновенной скоростью. Если движение неравномерное, величина, получаемая делением s на время , дает среднее значение скорости за промежуток времени : (2.9) Скорость материальной точки, вообще говоря, является функцией времени: . Зная мгновенную скорость, можно вычислить путь, пройденный материальной точкой от момента времени до момента по формуле (2.10) С учетом данного выражения можно получить формулу для средней скорости: (2.11) Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки. Ускорение мы обозначим через а. Таким образом, по определению ускорения , (2.12) или (2.13) Производная (2.12) называется также второй производной координаты x или пути s по времени и обозначается символами (2.14) В общем случае ускорение является функцией времени . При равноускоренном движении . В существовании производных координаты по времени убеждаемся опытным путем, а не путем логических рассуждений. Контрольные вопросы
Лекция №3. Кинематика материальной точки при криволинейном движении 1. Скорость материальной точки при криволинейном движении Понятия скорости и ускорения естественным образом обобщаются на случай движения материальной точки по криволинейной траектории. Пусть при своем движении материальная точка, занимавшая положение А в момент времени , через некоторое время оказалась в положении В. Z B A r1 r2 О y X Рис.3.1. Выберем декартовую систему координат. Пусть моменту времени соответствует радиус-вектор , а моменту времени - , тогда за промежуток времени тело получит перемещение (3.1) Отношение перемещения к промежутку времени , за который это перемещение произошло, называется средней скоростью за промежуток времени от tдо : (3.2) Величина вектора средней скорости показывает, как быстро (в среднем) происходит перемещение точки, а его направление определяет, в какую сторону происходит перемещение. Однако знание перемещения и средней скорости не дает достоверной информации о характере движения и виде траектории. Более детальное описание движения мы получим, если разделим путь на ряд последовательных перемещений. При уменьшении этих перемещений будет уменьшаться и величина промежутка времени, следовательно, отношение (3.2) будет стремиться к определенному пределу. Скоростью (точнее мгновенной скоростью) материальной точки в данной точке траектории в данный момент времени называется предел отношения (3.2) при : (3.3) Из этого определения следует, что:
Рис.3.2.
, (3.4) или ; (3.5)
, ,, (3.6) т.е. скорости движения проекций точки вдоль координатных осей равны проекциям вектора скорости на соответствующие оси;
; (3.7)
(3.8) где – координата точки в начальный момент времени. Если движение равномерное, т.е. , то в силу выражения (3.8) (3.9) 2. Ускорение материальной точки при криволинейном движении В общем случае (и чаще всего) при движении материальной точки скорость меняется как по величине, так и по направлению. Пусть в момент времени материальная точка двигалась со скоростью , а при – скоростью . Перенесем начало вектора скорости из точки В в точку А, сохраняя величину и направление вектора . Тогда приращение скорости (рис.3.3). Δυτ υ1 A Δv ΔS B Δυn υ2 0 υ2 Рис. 3.3. Среднее ускорение на отрезке траектории между А и В: (3.10) Величина вектора среднего ускорения показывает, как быстро (в среднем) происходит изменение скорости точки, а направление его совпадает с направлением вектора изменения скорости, т.е. направлено под углом к траектории в сторону её вогнутости. Однако знание перемещения и средней скорости не дает достоверной информации о характере движения в данной точке пространства. Поэтому нужно уменьшить промежуток времени. При его уменьшении будет уменьшаться и величина вектора приращения скорости, следовательно, отношение (3.10) будет стремиться к определенному пределу. Ускорением (точнее мгновенным ускорением) материальной точки в данной точке траектории в данный момент времени называется предел отношения (3.10) при : (3.11) Из этого определения следует, что:
, (3.12) , (3.13) или ; (3.14)
, ,; (3.15)
Закон движения материальной точки находится из решения уравнений (3.15). Для примера рассмотрим равноускоренное прямолинейное движение, т.е. , где изменяется только скорость: , где – единичный вектор скорости. Из этого выражения следует, что в случае увеличения со временем скорости (т.е. ), ускорение направлено так же, как скорость, а модуль ускорения равен . Если же скорость со временем уменьшается (т.е. ), направление ускорения противоположно направлению скорости, а модуль ускорения равен . Пусть движение происходит равноускоренно вдоль оси Ох, т.е. движение равноускоренное и прямолинейное. Тогда из первого уравнения (3.15) имеем: Рассмотрим подробнее, как меняется скорость при криволинейном движении. Пусть материальная точка за некоторый промежуток времени перемещается из положения А в положение В с изменением скорости от до . Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с точкой А. Соединим концы векторов и . Тогда приращение векторов скорости равно . Отложим на векторе вектор, равный вектору . Следовательно, вектор можно рассматривать как сумму двух составляющих: как показано на рисунке, обозначим их и , т.е. . Тогда среднее ускорение равно . Используя (3.11), из последнего выражения получим: , (3.17) где и – соответственно нормальное и тангенциальное ускорения. Причем в пределе направления и практически совпадают, следовательно, вектор направлен так же, как и вектор по касательной в каждой точке траектории, а его значение определяют изменения величины (модуля) скорости: (3.18) Нормальная составляющая ускорения при этом окажется перпендикулярной вектору скорости , направленному перпендикулярно касательной к траектории, и показывать изменение направления скорости (рис. 3.4). V ατ α αn Рис.3.4 Величина (модуль) полного ускорения при его разложении на нормальную и тангенциальную составляющие равна: (3.19) 3.Ускорение при движении материальной точки по окружности Пусть точка движется равномерно по окружности радиуса с постоянной по величине во времени скоростью. Движение точки является криволинейным. Поэтому при равномерном движении точки по окружности должно существовать нормальное ускорение, обуславливающее изменение направления скорости. Если материальная точка за некоторый промежуток времени перемещается из положения А в положение В с изменением скорости от до , то приращение скорости за это время равно (рис. 3.5). A v1 ∆S =∆r R v1 О B D R ∆v C v2 Рис. 3.5. Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с точкой В. Рассмотрим треугольники АОВ и СВД. Они подобны, так как АОВ =СВД и эти треугольники являются равнобедренными (ОА=ОВ=R , ВС=ВД=. Поэтому составим пропорцию: . Отсюда . Найдем ускорение точки. Разделим обе части последнего равенства на и перейдем к пределу при . Таким образом, (3.20) Итак, при движении точки по окружности её нормальное ускорение зависит от скорости точки и от радиуса окружности. Оно направлено по радиусу к центру окружности и поэтому его называют центростремительным ускорением. Для любого положения движущейся точки можно написать , где – единичный вектор нормали к круговой траектории движущейся точки, направленный к центру окружности. Если точка движется по окружности неравномерно, то вектор скорости меняется и по величине, и по направлению. В этом случае существуют и тангенциальное и нормальное ускорения. Следовательно, полное ускорение направлено под углом к радиусу. Так как нормальное ускорение связано с изменением только направления вектора скорости, то и в случае неравномерного движения по окружности оно выражается формулой (3.20). Рассмотрим движение точки по произвольной криволинейной траектории. Из геометрии известно, что небольшой её участок (рис.3.6) всегда можно заменить дугой окружности некоторого радиуса . Такая окружность называется кругом кривизны траектории в данной точке. Радиус его называется радиусом кривизны, величина, обратная ему, – кривизной. ρ ρ ρ Рис. 3.6. При этом для нормального ускорения формула (3.20) сохраняется, но под радиусом окружности следует подразумевать радиус кривизны траектории. Таким образом, величина вектора полного ускорения при криволинейном движении определяется выражением: (3.27) 4. Кинематика вращательного движения материальной точки Введенные выше кинематические законы движения достаточны для описания любого вида движения материальной точки. Однако в случае вращательного движения удобнее пользоваться понятиями угловой скорости и углового ускорения. Рассмотрим простейший случай движения материальной точки по окружности радиуса R . Выберем на окружности некоторую точку О! в качестве начала отсчета и проведем в неё из центра окружности радиус ОО! (рис.3.7). O! А R А! φ O Рис. 3.7. Положение точки А, движущейся на окружности, в некоторый момент времени можно определить при помощи угла который составляет радиус ОА, проведенный к точке с начальным радиусом ОО1. Тогда закон движения точки может быть выражен функцией: Пусть через некоторый промежуток времени точка оказалась в положении А1, и угол при этом изменился на величину . Быстрота изменения угла с течением времени определяется как предел, к которому стремится отношение , если промежуток времени стремится к нулю, т.е. (3.28) Единицей измерения угловой скорости является радиан в секунду (рад/с или ). Рад/с – угловая скорость равномерно вращающегося тела, при которой за время 1 с совершается поворот тела относительно оси на угол 1 рад. Угловым ускорением называют величину, характеризующую быстроту изменения угловой скорости: (3.29) С учетом (3.28) также имеем: (3.30) При малом угле поворота связь между линейным и угловым перемещением можно выразить соотношением: Исходя из этого выражения, легко устанавливается связь между линейной скоростью v (скорость точки вдоль траектории) и угловой скоростью . Для этого достаточно разделить последнее выражение на : Отсюда, в силу формул (3.3) и (3.28), имеем (3.31) Аналогично получим связь тангенциального ускорения (а не нормального!) с угловым: (3.32) А для определения величины нормального ускорения воспользуемся формулой : . Тогда . Заметим, что при движении материальной точки по окружности, т.е. при вращательном движении, радиус-вектор направлен от центра по радиусу окружности , формулу для центростремительного (или нормального) ускорения можно записать в векторной форме . Знак минус указывает на то, что направления векторов и взаимно противоположны, т.е. ускорение направлено к центру круговой траектории, по которой вращается материальная точка. Время одного полного оборота называется периодом Т. Тогда угловая скорость , т.е. , частота . |