Фатыхов М.А. Лекции по механикe. Министерство образования и науки
 Скачать 3.22 Mb.
|
|
Можно показать, что на широте плоскость качаний маятника поворачивается за сутки на угол . На экваторе сила Кориолиса направлена вдоль подвеса маятника и не может вызвать поворота плоскости качаний. Контрольные вопросы
Лекция №11. Механические колебания и волны 1. Гармонические колебания и их характеристики Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Если этот процесс совершается через равные промежутки времени, то колебание называется периодическим. Наглядным примером такого колебания может служить движение часового механизма. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике. Вибрация натянутой струны, движение поршня дизеля, суточные и годичные изменения температуры воздуха, морские приливы и отливы, волнение водной поверхности, биение сердца, дыхание, тепловое движение ионов кристаллической решетки твердого тела, качание маятника часов, переменный электрический ток и т.д. – все это в конечном счете колебательные процессы. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д.У.Рэлеем (1842–1919), А.Г.Столетовым, русским инженером-экспериментатором П.Н.Лебедевым (1866–1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли советский физик Л. И. Мандельштам (1879–1944) и его ученики. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различные периодические процессы можно представить как наложение гармонических колебаний. С основными закономерностями и характеристиками гармонического колебания проще всего познакомиться на примере равномерного движения материальной точки по окружности. Пусть материальная точка М движется по часовой стрелке по окружности радиусом ОМ=А с постоянной угловой скоростью (рис.11.1) . Тогда ее проекция N на горизонтальный диаметр будет совершать периодические колебания около положения равновесия О, а величина смещения этой проекции – изменяться в пределах от +А до – А, также совершая периодические колебания. Величина смещения в любой момент времени определяется очевидным соотношением (11.1)
Из определения угловой скорости следует, что Тогда формулу (11.1) можно написать в виде (11.2) Если точка М проецируется на вертикальный диаметр, колеблющаяся величина х изменяется со временем по закону косинуса: (11.3) В общем случае гармонические колебания величины х описываются уравнением типа (11.4) где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебаний, – круговая (циклическая) частота, – начальная фаза колебаний в момент времени , – фаза колебаний в момент времени t. Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Для этих колебаний циклическую частоту обозначим как . Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания. За это время фаза колебания получает приращение 2л, т.е. =, откуда (11.5) Величина, обратная периоду колебаний, (11.6) т.е.число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (11.5) и (11.6), получим . Единица частоты – герц (Гц): 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1с совершается один цикл процесса. Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s(соответственно скорость и ускорение): , (11.7) , (11.8) т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (11.7) и (11.8) соответственно равны и . Фаза скорости (11.7) отличается от фазы величины (11.1) на , а фаза ускорения (11.8) отличается от фазы величины (11.1) на л. Следовательно, – в моменты времени, когда х = 0, vприобретает наибольшие значения; – когда же х достигает максимального отрицательного значения, то a приобретает наибольшее положительное значение (рис. 11.2).
Из выражения (11.8) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний (11.9) Решением этого уравнения являются выражения (11.1), (11.3) или (11.4). 2. Динамика колебательного движения Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени tзадается, например, формулой . В этом случае, как видно из формулы (11.8), при колебательном движении ускорение переменно. Следовательно, движение обусловлено действием переменной силы. Пусть под действием переменной силы материальная точка массой mсовершает гармоническое колебание с ускорением а. Тогда, , так как . Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия). Эта сила стремится возвратить точку в положение равновесия, поэтому ее называют возвращающей силой. Возвращающей силой может быть, например, сила упругости, так как она тоже пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку. Возвращающие силы могут иметь не только упругую, но и другую природу. В таких случаях они называются квазиупругими силами. Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна (11.10) или (11.11) Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна (11.12) или (11.13) Сложив (11.11) и (11.13), получим формулу для полной энергии: (11.14) Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна. Из формул (11.11) и (11.13) следует, что и изменяются с частотой , т.е. с частотой, которая в два раза превышает частоту гармонического колебания. На рис. 11.3 представлены графики зависимости х, Ек =Т и Ер =II от времени. Так как средние значения <sin2a> = <cos2a> =1/2, то из формул (11.11), (11.13) и (11.14) следует, что средние значения .
3. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (11.15) Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур. 1. Пружинный маятник – это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы ,где k– коэффициент упругости, в случае пружины называемый жесткостью. Уравнение движения маятника или Из его решения следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону с циклической частотой (11.16) и периодом (11.17) Формула(11.17) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника согласно (11.12) и (11.16) равна . 2. Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс С тела (рис. 11.4).
Пусть физический маятник совершает колебания вокруг неподвижной точки О. Обозначим массу маятника через m, длину маятника ОС, т.е. расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника через . Действуют две силы: сила тяжести , приложенная к центру масс твердого тела С, и сила реакции опоры , приложенная к точке О. Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол а, то он под действием силы тяжести возвращается к положению равновесия, переходит его по инерции, отклоняется в противоположную сторону, затем опять переходит в положение равновесия и т.д. Центр тяжести маятника будет описывать дугу окружности. Возвращающая сила равна (знак минус обусловлен тем, что направления и всегда противоположны). При малых отклонениях () В соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент М возвращающей силы можно записать в виде (11.18) где – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О. Таким образом, уравнение движения физического маятника можно записать в виде или (11.19) Обозначим (11.20) Получим уравнение (11.21) Оно идентично с (11.15). Следовательно, решение его известно: (11.22) Из выражения (11.22) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом (11.23) В этой формуле – приведенная длина физического маятника. Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника. Применяя теорему Штейнера, получим , т.е. 00' всегда больше ОС. Точка подвеса О и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если ось подвеса перенести в центр качаний, то точка О прежней оси подвеса станет новым центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится. 3. Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Пусть длина маятника равна . Тогда момент инерции математического маятника есть (11.24) Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке – центре масс, то, подставив выражение (11.24) в формулу (11.23), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника (11.25) Сравнивая формулы (11.23) и (11.25), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине математического маятника, то их периоды колебаний одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. 4. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Рассмотрим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты и (11.26) Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет . Подставим в него формулы (11.26), разложим их и введем обозначения (11.27) (11.28) Здесь А и – амплитуда и начальная фаза суммарного колебания. При этих обозначениях уравнение результирующего колебания имеет вид (11.29) Из (11.29) видно, что результирующее колебание так же является гармоническим. Для определения А и решается система, состоящая из уравнений (11.27) и (11.28). Решая их, получим (11.30) (11.31) Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний. Проанализируем выражение (11.30) в зависимости от разности фаз : 1) , тогда т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний; 2) , тогда т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний. Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями. Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, ачастоты равны и , причем . Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю: и Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе , найдем (11.32) Получившееся выражение есть произведение двух колебаний. Так как , то сомножитель, стоящий в скобках, почти не изменится, когда сомножитель совершит несколько полных колебаний. Поэтому результирующее колебание х можно рассматривать как гармоническое с частотой , а амплитудаизменится по следующему периодическому закону: (11.33) Частота изменения в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний: . Период биений . Определение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями – наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д. Любые сложные периодические колебания s = f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте (11.34) Представление периодической функции в виде (11.34) связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье. Члены ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами называются первой (или основной), второй, третьей и т.д. гармониками сложного периодического колебания. 5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты , происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты отсчета начальную фазу первого колебания возьмем равной нулю: (11.35) Разность фаз обоих колебаний равна , A и В – амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений (11.35) параметра t. Запишем складываемые колебания в виде После несложных преобразований получим уравнение эллипса: (11.36) Оси эллипса ориентированы относительно координатных осей произвольно. Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными. Ориентация осей эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес: 1) . В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой (11.37) где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 11.5, а), знак минус – нечетным значениям т (рис. 11.5, б). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой и амплитудой , совершающимся вдоль прямой (11.37), составляющей с осью х угол В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями. 2) . В данном случае уравнение примет вид (11.38)
Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис.11.5, в). Кроме того, если А=В, то эллипс (11.38) вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу. Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 11.6 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху).
Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу – широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний. |