Основы линейной алгебры. Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений
 Скачать 494 Kb.
|
определителя квадратной матрицы n-го порядка или просто определителя n-го порядка. (В дальнейшем, принимая во внимание введённое обозначение, под элементами, строками и столбцами определителя матрицы будем подразумевать элементы, строки и столбцы этой матрицы.) Сформулируем понятие n! (читается эн факториал): если n – натуральное (целое положительное) число, то n! – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. n! = 123(n – 1) n. Например, 5! = 12345 = 120. Замечание: в некоторых книгах вместо термина "определитель" используется термин "детерминант" и определитель матрицы A обозначается detA. Определителем n-го порядка называется сумма n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца определителя2 . (Произведения отличаются одно от другого набором элементов.) Перед каждым произведением ставится знак "" или "". Покажем, как определить, какой нужно ставить знак перед произведением. Так как в каждом произведении присутствует один элемент из 1-й строки, один элемент из 2-ой и т.д., то произведение в общем виде можно записать так: a1ia2ja3kans. Здесь i, j, k, , s – номера столбцов, в которых стоят элементы, выбранные из 1-й, 2-й, 3-й, ... n-й строк, соответственно. Ясно из сказанного выше, что каждое из чисел i, j, k, , s равно какому-либо из чисел 1, 2, ..., n, и что все числа i, j, k, , s – различные. Расположенные в данном порядке i, j, k, , s, эти числа образуют "перестановку" из чисел 1, 2, ..., n (перестановкой называется заданный порядок в конечном множестве). Взаимное расположение двух чисел в перестановке, когда большее стоит впереди меньшего называется инверсией. Например, в перестановке  три инверсии; в перестановке  – шесть инверсий.Перестановка называется четной, если в ней четное число инверсий и нечетной, если число инверсий нечетное. Теперь можно сформулировать правило: произведение a1ia2ja3kans берется со знаком "", если вторые индексы образуют четную перестановку, и со знаком "", если нечетную. Из определения определителя можно вывести следующие его свойства. 1. Если поменять местами две строки определителя (два столбца), то получим новый определитель, равный исходному, умноженному на . 2. Определитель, имеющий две равных строки (два равных столбца), равен нулю. 3. Если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному, умноженному на это число. 4. Определитель транспонированной3 матрицы равен определителю исходной матрицы. 5. Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному. До сих пор было показано, как вычислять определитель второго и третьего порядков. Чтобы вычислить определитель более высоких порядков, пользуются формулой Лапласа разложения определителя по строке или столбцу: detA = ai1(–1)i+1M i1 + ai2(–1)i+2M i2 ++ ain(–1)i+nM in = = a1j (–1) 1+jM1j + a2j(–1)2+jM2j ++ anj(–1) n+jM nj Здесь i и j — любые числа от 1 до n. Последняя формула представляет собой разложение определителя по i-й строке или j-му столбцу. Mij называется минором и равняется определителю порядка n – 1, который получается из определителя detA, если вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец. Произведение (–1)i+jMij обозначается Aij и называется алгебраическим дополнением элемента aij. Пусть – определитель четвертого порядка:  . Представим его разложение по второй строке: ,и по второму столбцу:   .Аналогичным образом можно вычислить , разлагая его по первой, третьей, четвертой строке или по первому, второму или четвертому столбцу. Вычисление определителя четвертого порядка сводится в худшем случае (если среди элементов нет нулей) к вычислению четырех определителей третьего порядка. Аналогичным образом вычисление определителя 5-го порядка сводится к вычислению 5-ти определителей 4-го порядка и т.д. Для того, чтобы получить представление о том, что такое определитель n-го порядка, не прибегая к определению на предыдущей странице, можно поступить так: выучить, как вычисляются определители 2-го и 3-го порядков и как по методу Лапласа сводить вычисление определителя n-го порядка к вычислению определителя n – 1-го порядка. Тогда становится понятным, как вычислять определитель 4-го порядка, затем 5-го порядка и т. д. Из сказанного следует, что вычисление определителя 5-го порядка можно в общем случае свести к вычислению 20-ти(!) определителей 3-го порядка, что очень затрудняет задачу. Вычисление определителя упрощается, если воспользоваться свойством 5. Пусть – определитель четвертого порядка:  .Этот определитель разложим по третьей строке, так как там есть нуль и, что особенно важно, –1. Задача заключается в таком преобразовании определителя , чтобы получить нули на месте a31 и a33. К первому столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –2, а к третьему столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –3. Второй столбец, с помощью которого проводились преобразования, остается без изменений. Таким образом вычисление определителя 4-го порядка сведено к вычислению только одного определителя 3-го порядка:  .Пусть теперь — определитель 5-го порядка:  .Предположим, что мы решили разложить его по первому столбцу. Можно поступить следующим образом. Оставим первую строку без изменений. Вторую строку умножим на 3 и прибавим к ней первую, умноженную на –2. При этом обязательно за знак определителя выносится множитель  (см. свойство 3). Вместо третьей строки пишем сумму третьей и умноженной на первой. Четвертую строку умножаем на 3 и прибавляем первую, умноженную на –4, опять вынося множитель за знак определителя. Пятую строку умножаем на 3, прибавляем к ней первую, умноженную на –5 и опять выносим за знак определителя. Теперь получим .Теперь вычисление определителя 5-го порядка сведено к вычислению только одного определителя 4-го порядка. Таким образом, пользуясь свойствами определителя и методом Лапласа, можно вычисление определителя n-го порядка свести к вычислению лишь одного определителя порядка n – 1. |