Основы линейной алгебры. Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений
 Скачать 494 Kb.
|
|
EA = AE = A. Здесь A – квадратная матрица, и размеры A и E одинаковы. Пусть A – квадратная матрица. Обратной матрицей к матрице A называется такая матрица A–1, для которой справедливы равенства: AA–1 = A–1A = E. Очевидно, что A–1 – квадратная матрица того же размера, что и матрица A. Сразу заметим, что не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу. Поставим задачу: найти обратную матрицу к матрице  .Условие  ,где  ,сводится к трём системам уравнений, которые будем решать одновременно, используя метод Жордана-Гаусса. Матрица, представляющая расширенные матрицы всех трёх систем, примет вид  .Подвергая её преобразованиям по методу Жордана-Гаусса, последовательно будем получать:     (4)Как и в предыдущем примере, можно сказать, что три последних столбца образуют искомую матрицу, то есть  .Теперь сформулируем правило, по которому находится матрица, обратная к квадратной матрице А размера n. Нужно выписать матрицу размерности n 2n, первые n столбцов которой образованы матрицей А, а последние n столбцов образуют единичную матрицу Е. Построенная таким образом матрица преобразуется по методу Жордана-Гаусса так, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица, если это возможно. Тогда на месте матрицы Е получается матрица А–1. |