Основы линейной алгебры. Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений
 Скачать 494 Kb.
|
|
метод Жордана-Гаусса который является модификацией метода Гаусса. Первый шаг преобразования матрицы по методу Жордана-Гаусса совпадает с первым шагом преобразований по методу Гаусса. Оставляем без изменений первую строку матрицы, а во второй и третьей “организуем” нули в первом столбце:  .Теперь, следуя методу Жордана-Гаусса, оставляем без изменения лишь вторую строку (так как a22 0) и получаем с помощью второй строки в первой и третьей строках во втором столбце нули. Для этого вместо первой строки пишем сумму первой строки, умноженной на 5, и второй строки, умноженной на –2. Вместо третьей строки пишем сумму третьей строки , умноженной на 5, и второй строки, умноженной на –1 После деления полученной третьей строки на 2 получаем матрицу  .Чтобы в первой и второй строках в третьем столбце получить нули, проведем следующие преобразования последней матрицы. Оставив третью строку без изменений, заменим вторую строку разностью второй строки и утроенной третьей, а первую – суммой первой и третьей строк. После деления первой и второй строк преобразованной матрицы на 5 получится матрица  . (3)При преобразовании системы по методу Жордана-Гаусса матрица коэффициентов приводится (если это возможно) к такому виду, что на главной диагонали стоят единицы, а над главной диагональю и под главной диагональю – нули. Если взять первые четыре столбца матрицы (3), то получится матрица, в которую преобразовалась расширенная матрица первой из систем уравнений (2). Из нее следует: x11=2; x21=–5; x31=10. Матрица, образованная первыми тремя столбцами вместе с пятым столбцом матрицы (3), дает решение второй системы уравнений (2): x12=2; x22=1; x32=–3. И, наконец, матрица, образованная первыми тремя столбцами вместе шестым столбцом матрицы (3), дает решение третьей системы уравнений (2): x13=3; x23=–4; x33=12. Из сказанного можно сделать очень интересный и важный вывод: последние три столбца матрицы (3) образуют искомую матрицу X.  .Введем ряд новых определений. Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы – нули. Очевидно равенство A+ (–1)A = 0. Здесь в правой части через 0 обозначена нулевая матрица той же размерности, что и матрица A. Квадратная матрица размера n называется единичной, если все её элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные – нули. Единичную матрицу можно определить формулами: aij = 1 при i = j; aij = 0 при i j. Очевидно, что первые три столбца матрицы (3) образуют единичную матрицу. Единичная матрица, как правило, обозначается буквой E:  .Легко проверить справедливость равенств: |