Начертательная_геометрия_ЗЕЛЕНАЯ. Начертательная
 Скачать 7.88 Mb.
|
|
угольника 1 —2 —2 —1 образующие 1 -2 ( ! " ' - 2"'), построенные по координате y t = у2; • отрезок 1-1 (1 "Г "), совпадающий с проекцией нижнего основания цилиндра; • отрезок 2 -2 (2 "'-2 "') — профильная проекция линии пересечения плоскостей срезов аи Р) плоскость среза р определяют искаженные по величине видимые участки эллипса 2 "'-3 '"-4 "', ограниченные видимыми линиями 2"'-2 '" — пересечения плоскостей среза оси Р (построена) и 4 "'-4 '" — пересечения плоскости среза Р с верхним основанием цилиндра: • точки 2 (2"') уже построены; • точки 3 (3'") лежат на характерных образующих С Си (точки 4 (4"') построены по координате у4; • необозначенные промежуточные точки построены по координате у. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции цилиндра для определения ее очерка и внутреннего контура) профильный очерк определяют: • слева и справа — участки Си очерковых образующих Сии участки 3"'-4"' эллипса; • снизу — проекция нижнего основания цилиндра; • сверху — отрезок 4"'-4''' — профильная проекция линии пересечения верхнего основания с плоскостью среза Р) внутренний контур определяют: • видимые участки эллипса 2"'-3"'; • отрезок 2 "'-2"' — видимая линия пересечения плоскостей среза оси Р; • видимые участки Г " -2 " ' образующих, по которым плоскость среза а пересекает поверхность цилиндра. Оформить чертеж цилиндра, выполнив сплошными толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура всех проекций цилиндра оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения 104 5. Графическая работа № 5 (задачи 9 и Рис. 5.4. Сечение цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью под углом На рис. 5.4 показан частный случай сечения цилиндра фронтально-прое- цирующей плоскостью 8 (у, расположенной к его оси под углом (р = 45°. В этом случае эллипс, полученный в сечении, проецируется на профильную проекцию цилиндра в виде окружности. Коническая поверхность вращения. Прямой круговой конус Коническая поверхность вращения — это линейчатая поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей, которая пересекает ось вращения под одними тем же углом ив одной и той же точке, называемой вершиной. Конусом называют геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью основания, пересекающего все его образующие. Частные случаи конуса: • прямой — ось вращения перпендикулярна его основанию; • наклонный — ось вращения не перпендикулярна основанию; • усеченный — конус с двумя параллельными основаниями, те. конус со срезанной вершиной. Построение проекций прямого кругового конуса На рис. 5.5 показан пример построения проекций прямого кругового конуса с горизонтально-проецирующей осью вращения i, заданного высотой Ни основанием радиусом R. Для построения проекций конуса требуется выполнить следующие графоаналитические действия Краткое изложение теоретического материала 105 Рис. 5.5. Построение проекций прямого кругового конуса. Построить горизонтальную проекцию очерка прямого кругового конуса по заданному условию, которая представляет собой окружность заданного радиуса R с вершиной S (S'), совпадающей с осью вращения i (/'). 2. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса: • круг радиуса R является невидимой проекцией основания конуса; • круг радиуса R с вершиной конуса S (S') является видимой проекцией боковой поверхности конуса; • характерные образующие конуса SA (S'A'), SB (В, SC (S'C') и SD (S'Z)') определяют очерки фронтальной и профильной проекций конуса. Построить фронтальную проекцию (очерк) конуса, которая представляет собой треугольник SAB (S "A "£") заданной высоты Н ограниченный: • слева и справа — проекциями боковых очерковых образующих S"A" и снизу — горизонтальным отрезком АВ (А"В"), который является проекцией основания конуса 106 5. Графическая работа № 5 (задачи 9 и фронтальные проекции характерных образующих SC (S"C") и SD (S"D") совпадают с осью вращения конуса i (г. Построить профильную проекцию (очерк) конуса) задать на окружности горизонтальной проекции конуса положение базовой линии (б.о.), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности) выбрать положение базовой оси г (б.о.), которая будет совпадать с вертикальной осью вращения i (i"') для профильной проекции конуса) профильная проекция конуса представляет собой треугольник SCD (S’"C"'D"'), ограниченный: • слева и справа — очерковыми образующими S"'C"' и S'"D"', построенными по координате Ус- V d - Я; • сверху — вершиной S'", лежащей на базовой оси z ; • снизу — горизонтальным отрезком C"'D"' — проекцией основания; • профильные проекции характерных образующих SA (S'"A"') и SB (S'"B'") совпадают с осью вращения конуса i (г"'). Характерные признаки очерков прямого кругового конуса на чертеже — окружность основания и два треугольника. Характерные признаки очерков прямого кругового усеченного конуса — окружность основания и две равнобокие трапеции. Построение проекций точек, лежащих на поверхности конуса. Принадлежность точки поверхности конуса определяется ее принадлежностью образующей поверхности и круговой параллели (окружности, по которой точка вращается вокруг оси конуса. Следовательно, проекции точки можно строить либо по принадлежности образующей, либо по принадлежности круговой параллели. На рис. 5.5 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек E ,F ,G и К заданных фронтальными проекциям Е, F", G" и К ", по их принадлежности круговым параллелям. Построение горизонтальных проекций заданных точек: • горизонтальная проекция Е характерной точки Е лежащей на характерной образующей конуса SA, определяется на горизонтальной проекции S'A' этой образующей; • горизонтальные проекции точек F, G и К построены на вспомогательных круговых параллелях, проведенных через заданные фронтальные проекции точек. Рассмотрим графический алгоритм для построения горизонтальных проекций точек, лежащих на боковой поверхности конуса, по их принадлежности круговым параллелям (на примере заданной точки F (F")): 1) провести фронтальную проекцию вспомогательной круговой параллели т (т через заданную фронтальную проекцию точки F (F"y, проекция параллели — это прямая, перпендикулярная оси конуса и параллельная его основанию) провести окружность горизонтальной проекции параллели т (т полученным радиусом R f ; 3) построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки F (F') на горизонтальной проекции параллели т (т Краткое изложение теоретического материала 107 Горизонтальные проекции G' и К точек Gm К строятся аналогично. Профильные проекции точек ЕЕ) и F (F'") построены по их принадлежности характерным образующим: • точка ЕЕ) лежит на видимой характерной образующей SA (S"'A"'), совпадающей с осью конуса; • точка F (F” r) лежит на характерной образующей SD (Профильные проекции точек G (G'") и К (К) построены по координатам уточка G (G"') — по координате yG (видимая); • точка К (К — по координате ук (невидимая). На рис. 5.6 показан пример построения горизонтальной и профильной проекций точки Р (Р Р " ' ) по ее принадлежности образующей а (а, а'). Построение горизонтальной проекции точки Р (Р) по принадлежности образующей выполняется последующему графическому алгоритму. Провести через вершину конуса S (S") и заданную невидимую фронтальную проекцию точки Р (Р вспомогательную образующую а а 108 5. Графическая работа № 5 (задачи 9 и 10) 2. Построить горизонтальную проекцию образующей а (а проходящую через вершину конуса S (S') и вспомогательную точку 1 (1'), лежащую на основании конуса. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки Р (Р по ее принадлежности образующей а (а'). Построение профильной проекции невидимой точки Р (Р по принадлежности образующей а (а производится по координате уа (или уР). На этом же рисунке показано построение фронтальной и профильной проекции точки Т(Т', Т, Т по ее заданной горизонтальной проекции. Построение выполняется по приведенным алгоритмам, нов обратном порядке. Провести на горизонтальной проекции конуса окружность вспомогательной параллели п(п') с радиусом RT или вспомогательную образующую Ь (Ъ на которых лежит горизонтальная проекция точки Т (Т. Построить фронтальные проекции вспомогательной параллели п (пили вспомогательной образующей Ь (Ъ"): • параллель п (п провести параллельно основанию конуса через вспомогательную точку 2 (2") на образующей SA (образующую b (Ь провести через вспомогательную точку 3 (3") на основании конуса и вершину конуса S (S"). 3. Построить по вертикальной линии связи фронтальную проекцию точки Т (Т по ее принадлежности параллели п (пили образующей Ъ (Ь. Конические сечения Рассмотрим пять возможных случаев расположения секущей плоскости относительно оси конуса и его образующих. В зависимости от положения плоскости она может пересекать поверхность конуса) по двум образующим — если секущая плоскость проходит через вершину конуса (фронтально-проецирующая плоскость a (a.v) на рис. 5.7); 2) по окружности — если секущая плоскость расположена перпендикулярно оси конуса (горизонтальная плоскость (3 ((V) на рис. 5.7); 3) по параболе — если секущая плоскость расположена параллельно одной образующей конуса (фронтально-проецирующая плоскость y(yv) на рис. 5.8); 4) по гиперболе — если секущая плоскость расположена параллельно двум образующим конуса (фронтальная плоскость 5 (Яна рис. 5.9); 5) по эллипсу — если плоскость пересекает все образующие конуса под углом коси вращения, отличным от прямого, и не параллельна ни одной образующей конуса (фронтально-проецирующая плоскость е (ev) на рис. Рассмотрим построение на проекциях конуса линий пересечения для всех пяти случаев сечений. 1-й и й случаи На рис. 5.7 показано построение проекций прямого кругового конуса с вырезом, образованным сечениями конической поверхности фронтально-проецирующей плоскостью a (av), проходящей через вершину конуса (й случай, и горизонтальной плоскостью Р ((V), расположенной перпендикулярно оси конуса (й случай). Плоскость а пересекает поверхность конуса по образующим SE, горизонтальные и профильные проекции которых строятся с помощью вспомогательной точки Е лежащей на основании конуса Краткое изложение теоретического материала 109 Рис. 5.7. Сечение прямого кругового конуса фронтально-проецирующей и горизонтальной плоскостями Плоскость Р пересекает поверхность конуса по окружности радиуса Щ ограниченной линией 3 -3 пересечения плоскостей выреза. Построение горизонтальной и профильной проекций конуса с вырезом и оформление очерков этих проекций показано на чертежей случай На рис. 5.8 показано построение проекций конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью у (уу), расположенной параллельно одной его образующей Плоскость у пересекает поверхность конуса по параболе, горизонтальная и профильная проекции которой строятся по отмеченным характерным точками и промежуточной точке (не обозначена. Построение проекций этих точек выполнено по их принадлежности точка 1(1', 1'") лежит на проекциях характерной образующей SB (В S"'B 110 5. Графическая работа № 5 (задачи 9 и Рис. 5.8. Сечение поверхности прямого кругового конуса по параболе фронтально-проецирующей плоскостью • точки 2 (2 2 " ' ) лежат на проекциях характерных образующих SD и SC, горизонтальные проекции которых построены с помощью параллели радиусом R2 см построение проекций точки F (F', F'") на рис. точки 3 (3 3 ' ” ) лежат на окружности основания конуса горизонтальные проекции этих точек определяются по линии связи на горизонтальной проекции окружности основания, а их профильные проекции построены по координате у3; • проекции промежуточной точки построены по ее принадлежности соответствующей параллели (профильные проекции — по координате у). Оформление очерков проекций показано на чертежей случай На рис. 5.9 показано построение проекций конуса со срезом фронтальной плоскостью 8 (Я, расположенной параллельно двум образующим конуса SA и Плоскость 8 пересекает поверхность конуса по гиперболе, фронтальная проекция которой строится по отмеченным точками по их принадлежности параллелям (см. построение проекций точки Т ( Т " , Т ' " ) на рис. 5.6), Краткое изложение теоретического материала 111 Рис. 5.9. Сечение поверхности прямого кругового конуса по гиперболе фронтальной плоскостью уровня а профильная проекция гиперболы проецируется в вертикальную линию и совпадает с вырожденной проекцией плоскости среза 5 (Оформление очерков проекций показано на чертеже. На рис. 5.9 на профильной проекции конуса показано положение секущей плоскости 5j (Ил, проходящей под углом (pj коси конуса. При (рг< р эта плоскость также пересекает поверхность конуса по гиперболе. 5-й случай На рис. 5.10 показано построение проекций конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью е (у, пересекающей все образующие конуса под углом р коси, отличным от прямого. Плоскость е пересекает поверхность конуса по эллипсу, горизонтальная и профильная проекции которого построены по проекциям отмеченных характерных точек 1 , 2 , 4 и промежуточных точек 3, взятых на середине отрезка 1-4, который является совпадающими проекциями эллипса и его большой оси Точки 3 определяют проекции малой оси эллипса и построены на горизонтальной проекции конуса по своей параллели, а на профильной проекции по координате у3. Оформление очерков проекций показано на чертеже 112 5. Графическая работа № 5 (задачи 9 и Рис. 5.10. Сечение поверхности прямого кругового конуса по эллипсу фронтально-проецирующей плоскостью Количество взятых промежуточных точек должно быть минимальным, но достаточным, чтобы построить на проекциях конуса формы кривых второго порядка (параболы, гиперболы и эллипса, которые выполняют на чертеже по построенным характерными промежуточным точкам с помощью лекала. Построение проекций прямого конуса со срезами плоскостями частного положения На рис. 5.11 показан пример построения проекций прямого кругового конуса со срезами фронтально-проецирующей плоскостью оси профильной плоскостью (Для построения проекций конуса со срезами необходимо выполнить следующий графический алгоритм. Построить на чертеже тонкими линиями по заданному радиусу основания R и высоте Н фронтальную, горизонтальную и профильную проекции конуса без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные Рис. 5.11. Построение проекций прямого кругового конуса со срезами плоскостями частного положения срезы фронтально-проецирующей плоскостью а ау) и профильной плоскостью (3 ((Зу). 2. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с характерными образующими и основанием конуса ивы полнить графический анализ сечений: • фронтально-проецирующая плоскость а ау) параллельна одной образующей конуса SA (S"A") и пересекает его поверхность по участку параболы -2 -3 (1 " -2 " -3 "), которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения 3 -3 (3 "-3 ") плоскостей срезов аи Р; • профильная плоскость Р (Ру) параллельна двум образующим конуса SC (S"C") и SD (S"D") и пересекает его поверхность по участкам гиперболы (3 "-4 "), которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденными 114 5. Графическая работа № 5 (задачи 9 ив точки фронталыю-проецирующими линиями пересечения плоскостей срезов оси Р (3 -3 ) и плоскости Р с основанием конуса (4-4). 3. Достроить горизонтальную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов) плоскость среза а определяет видимая горизонтальная проекция участка параболы 1 - 2 -3 (1'-2'-3'), построенная по горизонтальным проекциям обозначенных точек: • точка 1 (Г ) лежит на образующей SB (В точки 2 (2') и 3 (3') построены по принадлежности соответствующим параллелям) плоскость среза Р определяет вертикальный видимый отрезок 4'-4' вырожденной в линию проекции профильной плоскости, точки 4 (4') которой лежат на очерковой окружности основания конуса. Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной ее половине (нижней. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура: • горизонтальный очерк определяют участок окружности и отрезок внутренний контур определяет видимый участок параболы 3'-2'-1'. 5. Достроить профильную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов) плоскость среза а определяет видимый участок параболы 1 -2 -3 (1"'-2 '"-3 "'), построенный по профильным проекциям обозначенных точек: • точка 1 (Г лежит на характерной образующей SB (S'"В'"); • точки 2 (2'") лежат на характерных образующих SC Си точки 3 (3"') построены по координате у) плоскость среза Р определяют видимые участки гиперболы 3-4 (3'"—4'"), ограниченные видимым отрезком 3"'-3'" (построен) и видимым отрезком 4 -4 (4"'-4'"), точки которого построены по координате у. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура) профильный очерк определяют: • слева — участок С '" образующей справа — участок D "'-2'” образующей сверху — участок параболы снизу — проекция основания конуса) внутренний контур определяют: • видимые участки параболы 2 "видимый отрезок 3 "'-3'" пересечения плоскостей срезов аир видимые участки гиперболы 3"'-4'". 7. Оформить чертеж конуса, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой его проекции оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения Примеры решения задач 115 Примеры решения задач Задача 9. Построить проекции прямого кругового цилиндра со срезами плоскостями частного положения (рис. План графических действий. На левой половине поля чертежа (рис. 5.13, задача 9) тонкими сплошными линиями построим по заданным диаметру и высоте горизонтальную, фронтальную и профильную проекции прямого кругового цилиндра без срезов, а затем выполним на его фронтальной проекции заданные по условию срезы плоскостями частного положения. Обозначим на фронтальной проекции характерные точки и выполним графический анализ сечений: • профильная плоскость ос |