Начертательная_геометрия_ЗЕЛЕНАЯ. Начертательная

• Название: Начертательная
• Анкор: Начертательная_геометрия_ЗЕЛЕНАЯ.pdf
• Дата: 04.04.2018
• Размер: 7.88 Mb.
• Имя файла: Начертательная_геометрия_ЗЕЛЕНАЯ.pdf
• Тип: Документы; #17611
• страница: 9 из 14

8. ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 8 задача Тема сечение поверхности плоскостью общего положения
Для решения задачи 14 следует повторить следующие темы начертательной геометрии. Плоскость:
• плоскости общего и частного положений (плоскости проецирующие и плоскости уровня);
• прямые особого положения в плоскости (фронталь и горизонталь плоскости. Поверхности, геометрические тела:
• проекции геометрических тел (призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара, тора и тороида);
• построение проекций точек на поверхности геометрических тел;
• сечение геометрических тел плоскостями частного положения. Преобразование чертежа способ замены плоскостей проекций (задачи Краткое изложение теоретического материала
Поверхности геометрических тел могут пересекаться плоскостями, занимающими относительно плоскостей проекций частные (проецирующие или уровня) или общие положения.
Первый случай, когда сечения геометрических тел выполнены плоскостями частного положения был подробно рассмотрен в темах Поверхности. Многогранники. Поверхности вращения (см. графические работы № 4-6). Построение проекций линии пересечения выполнялось в этих частных случаях по принадлежности точек и линий поверхностям геометрических тел по определенным графическим алгоритмам.
На рис. 8.1 показан еще один пример частного случая построения горизонтальной проекции линии пересечения поверхности тороида (самопересекаю- щегося тора) фронтально-проецирующей плоскостью а осу. Графические действия в этом случае необходимо выполнять в следующем порядке. Обозначить характерные 1, 4, 6 и промежуточные 2, 3, 5 точки на заданной фронтальной проекции линии пересечения, совпадающей с вырожденной проекцией плоскости сечения а. Построить горизонтальные проекции обозначенных точек по их принадлежности параллелям тороида. Соединить построенные горизонтальные проекции точек плавной кривой, имеющей форму овала (видимая кривая

Краткое изложение теоретического материала
163
Рис. 8.1. Построение проекций тороида со срезом фронтально-проецирующей плоскостью
Во втором случае, когда сечения геометрических тел выполнены плоскостями общего положения для более удобного решения задачи следует изменить заданное графическое условие таким образом, чтобы один из геометрических образов занял относительно плоскостей проекций частное положение, те. привести условие к первому частному случаю.
По условию задачи из двух заданных образов (геометрического тела и плоскости) преобразовать в частное положение можно только плоскость общего положения.
Напоминаем, что для преобразования плоскости общего положения в проецирующую плоскость следует выполнить задачу 3 преобразования способом замены плоскостей проекций (см. с. 59-61). Это возможно только в том случае, если прямая уровня заданной плоскости — горизонталь или фронталь — преобразуется в проецирующую прямую (задача 2 нас для преобразования в горизонтально-проецирующую плоскость используется фронталь, для преобразования во фронтально-проецирующую плоскость — горизонталь.
Для определения натуральной величины сечения поверхности заданной плоскостью следует преобразовать построенную после первого преобразования проецирующую плоскость в плоскость уровня, те. решить задачу 4 замены плоскостей проекций (см. с. 61).

164 8. Графическая работа № 8 (задача На рис. 8.2 показано последовательное двойное преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня способом замены плоскостей проекций. Графический алгоритм последовательного преобразования заданной плоскости общего положения a (AABC) в плоскость уровня выполняется двумя заменами плоскостей проекций в следующем порядке. Задать на чертеже ось исходной системы плоскостей проекций x-V/H, проходящую через точку С (С").
Рис. 8.2. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня. Провести в плоскости линию уровняв данной задаче — горизонталь
h (h", Первая замена плоскостей проекций — плоскость общего положения a (AABC) преобразовать в проецирующую плоскость (задача 3).
3. Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций X\-H/Vx с осью проекций х х перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали h (h') плоскости. Построить впервой дополнительной системе фронтальную проекцию
AiB{'Ci плоскости ABC по координатам z (zA), взятым из заданной исходной системы x-V /H ; плоскость спроецировалась в линию, те. преобразовалась во фронтально-проецирующую плоскость (перпендикулярна Вторая замена плоскостей проекций — проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня (задача 4).
5. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций x 2-Vx/Hx с осью проекций х 2, параллельной вырожденной в линию проекции плоскости ABC (A{'BiCi ), которая была построена в результате первого преобразования . Построить во второй дополнительной системе горизонтальную проекцию А[В{С{ плоскости ABC по координатам у (ус взятым из предыдущей

Краткое изложение теоретического материала
165
системы X]

H/VX до предыдущей оси проекций х х плоскость спроецирова- лась в треугольник А[В[С[, имеющий натуральную величину как плоскость уровня (параллельна Н{).
На рис. 8.3 показан пример построения натуральной величины сечения прямой правильной четырехугольной призмы плоскостью общего положения a (AABC), и построение проекций линии пересечения поверхности призмы этой плоскостью на заданных проекциях призмы.
О" Е "= G" Рис. 8.3. Построение натуральной величины сечения четырехугольной призмы плоскостью общего положения
Задача решается двумя заменами плоскостей проекций, те. двумя последовательными преобразованиями последующему графическому алгоритму. Построить проекции геометрического тела и секущей плоскости а (ААВС) и задать на чертеже систему плоскостей проекций x-V/H так, чтобы ось проекций х совпала с фронтальной проекцией нижнего основания заданной призмы. Провести в плоскости горизонталь h (h", h'); по заданному графическому условию горизонталью h(h", h') плоскости является ее сторона АВ.
Первая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость общего положения а (ААВС) в проецирующую. Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций X\-H/Vx с осью х ъ перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали h (h') стороне А'В').
4. Построить тонкими линиями впервой дополнительной системе фронтальные проекции плоскости ABC и призмы DEFG (точки отмечены наверх. Графическая работа № 8 (задача нем основании призмы) по координатам г (гА), взятым из заданной системы
x-V/H. В результате преобразования плоскость спроецировалась впрямую линию и заняла положение фронтально-проецирующей, а призма спроеци­
ровалась в прямоугольник высотой Н. Обозначить на преобразованной проекции характерные точки 1 (!{'),
2 хина ребрах призмы, по которым плоскость сечения пересекает ее поверхность (плоская ломаная линия 1"— 2'{— 3 " - 4{' пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости сечения).
В результате выполнения первой замены плоскостей проекций графическое условие задачи преобразовано в частный случай сечения геометрического тела фронтально-проецирующей плоскостью.
Вторая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость сечения в плоскость уровня. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций x 2-V 1/H1 с осью проекций х 2, параллельной вырожденной проекции плоскости сечения, полученной в результате первого преобразования. Построить во второй дополнительной системе горизонтальную проекцию 1[ - 2{ - 3{ - 4{ ломаной линии сечения по координатам у (г, взятым из предыдущей дополнительной системы x 1-H /Vl до оси проекций х г Полученная в результате второго преобразования проекция плоскости сечения параллельна дополнительной плоскости проекций Н х те. является плоскостью уровня и определяет натуральную величину сечения. Достроить на заданных проекциях призмы горизонтальную и фронтальную проекции ломаной линии пересечения секущей плоскости ас поверхностью призмы и определить видимость этой линии на проекциях:
• построить по линиям обратной связи горизонтальную проекцию ломаной линии сечения 1 ,-2'-3'4' на заданной горизонтальной проекции призмы по принадлежности обозначенных точек ребрам призмы (обратным проецированием) и определить ее видимость (линия совпадает с проекцией боковой поверхности призмы);
• построить по линиям обратной связи фронтальную проекцию 1"-2"-3"-4" ломаной линии сечения на заданной фронтальной проекции призмы по принадлежности обозначенных точек ребрам призмы, используя координаты
z (z4) из первой дополнительной системы Х\-Н/\гх\ определить видимость ломаной линии пересечения на поверхности призмы невидимый участок
2 " - Г '- 4 " лежит на невидимых гранях призмы, видимый участок 2 "-3
4" — на видимых.
Пример решения задачи
Задача 14. Построить натуральную величину сечения наклонной четырехугольной пирамиды плоскостью общего положения а заданной двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС, и построить проекции ломаной линии пересечения плоскости ас поверхностью пирамиды на заданных проекциях рис. 8.4).

Пример решения задачи
167
План графических действий. Построим на чертеже (рис. 8.5) по заданным координатам фронтальную и горизонтальную проекции наклонной пирамиды и плоскости сечения а (АВпВС) и зададим на чертеже систему плоскостей проекций x-V/H с осью проекций х совпадающей на фронтальной проекции пирамиды с ее основанием. Проведем в плоскости горизонталь h (h", h'), используя прямую АВ
(А"В", А'В') заданной плоскости сечения.
Первая замена плоскостей проекций — преобразуем плоскость общего положения а (АВ п ВС) во фронтально-проецирующую плоскость. Введем первую дополнительную систему плоскостей проекций х х- Нс осью проекций х х перпендикулярной горизонтальной проекции h' горизонтали (А'В').
4. Построим впервой дополнительной системе фронтальные проекции плоскости аи наклонной пирамиды по координатам z (отмечены двумя черточками для точек А (Аи В (В и тремя черточками для точки N (N")), взятым в заданной системе x-V/H. В результате преобразования секущая плоскость спроецировалась впрямую и заняла положение фронтально-проеци­
рующей, а пирамида спроецировалась в треугольник. Обозначим характерные точки 1 (1"), 2 (2"), 3 (3"), 4 (4") и 5 (5") ломаной линии, по которой плоскость сечения пересекает ребра и основание пирамиды (проекции точек' и совпадают

Рис Пример выполнения графической работы Варианты для самостоятельного решения
169
Вторая замена плоскостей проекций — преобразуем плоскость сечения пирамиды в плоскость уровня. Введем вторую дополнительную систему плоскостей проекций a^-Vi/Hx с осью проекций х параллельной плоскости сечения, полученной в результате первого преобразования. Построим во второй дополнительной системе горизонтальную проекцию сечения 1 [-2 [ — 3[ — 4 [ - 5 [ по координатам у (отмечена знаком «» для точки 3{), взятым из предыдущей дополнительной системы X\-HjVx до оси проекций х х Построенная в результате второго преобразования проекция плоскости сечения параллельна дополнительной плоскости проекций Н ъ те. является плоскостью уровня и определяет натуральную величину сечения. Достроим на заданных проекциях пирамиды горизонтальную и фронтальную проекции ломаной линии пересечения секущей плоскости с поверхностью пирамиды и определим видимость этой линии на проекциях:
• построим по линиям обратной связи горизонтальную проекцию Г —2'—
3'-4'-5' ломаной линии сечения на заданной горизонтальной проекции пирамиды по принадлежности обозначенных точек ребрами основанию пирамиды определим видимость ломаной участок Г -2 '-3 '-4 ' — видимый (лежит на видимых гранях, участок 4 '-5 'Г — невидимый;
• построим по линиям связи фронтальную проекцию ломаной линии
1 " -2 " -3 " -4 " —5" сечения на заданной фронтальной проекции пирамиды по принадлежности обозначенных точек ребрами основанию пирамиды определим видимость ломаной участок 2 " -3 " -4 " — видимый (лежит на видимых гранях, участки 4 " -5 " и Г '-2 " — невидимые, участок 1 "-5 " лежит на основании пирамиды.
Варианты для самостоятельного решения
Задача 14. Построить натуральную величину сечения заданного геометрического тела плоскостью общего положения способом замены плоскостей проекций и достроить горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения геометрического тела с плоскостью с учетом видимости этой линии на проекциях геометрического тела. Преобразование плоскости выполнять относительно горизонтали плоскости.
Графические условия вариантов задачи 14 даны в табл. 8.1.

170 8. Графическая работа № 8 (задача Данные для решения задачи Таблица А В СМ У 73 65 23 40 4U
Z
85 85 25 0 А В СМ У 54 60 79 72 4U
Z
15 15 70 0 90
0 7 0 Ь
А В СМ А В СМ У 68 80 38 У 90 98 50 40 40
Z
75 75 32 50
Z
75 75 30 0 А В СМ У 23 23 74 50 ьи
Z
30 30 77 0 А В СМ У 75 78 44 50 50
Z
50 50 15 0 А В СМ У 24 20 45 15 50
Z
65 65 82 0 А В СМ У 18 10 41 40 83
Z
40 40 10 0 90

Варианты для самостоятельного решения

172 8. Графическая работа № 8 (задача 14)

Варианты для самостоятельного решения

9. ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 9 задачи 15 и Тема пересечение поверхностей
Для решения задачи следует проработать и усвоить материал начертательной геометрии по теме Пересечение поверхностей и способы построения линий пересечения поверхностей. Частные случаи пересечения поверхностей. Общие случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения применяются специальные способы построения с помощью по­
средников:
• способ вспомогательных секущих плоскостей уровня;
• способ вспомогательных концентрических сфер;
• способ вспомогательных эксцентрических сфер.
Краткое изложение теоретического материала. Пересечение поверхностей и способы построения линий пересечения
Форму реальных деталей образуют всевозможные комбинации геометрических тел, поверхности которых пересекаются. Линия пересечения принадлежит пересекающимся поверхностями образуется множеством их общих точек. Следовательно, построение линии пересечения поверхностей сводится к построению этих общих точек.
Поверхности многогранников пересекаются по пространственным ломаным линиям, прочие поверхности — по пространственным кривым линиям.
При пересечении поверхностей вращения порядок линии пересечения определяется умножением порядков пересекающихся поверхностей. Например, если пересекаются круговой конус (поверхность го порядка) и сфера поверхность го порядка, то линия их пересечения является кривой го порядка.
Определение способа построения линии пересечения зависит от взаимного расположения пересекающихся поверхностей, а также от их расположения относительно плоскостей проекций.
Рассмотрим построение линий пересечения поверхностей двух геометрических тел.
Из всех возможных вариантов пересечения поверхностей изученных геометрических тел в зависимости от их взаимного расположения можно выделить четыре случая, которые позволяют определить и представить форму линии пересечения поверхностей) частичное врезание (рис. 9.1) — в этом случае линией пересечения является одна замкнутая пространственная линия

Краткое изложение теоретического материала
175
Замкнутая
Рис. 9.1. Частичное врезание) полное проницание (рис. 9.2) — в этом случае линией пересечения являются две замкнутые пространственные линии) одностороннее соприкосновение (рис. 9.3) — в этом случае поверхности соприкасаются водной общей точке К и линия их пересечения, проходя через эту точку, распадается на две замкнутые пространственные линии (поверхности имеют одну общую касательную плоскость) двойное соприкосновение (рис. 9.4) — в этом случае поверхности имеют две точки соприкосновения и _Й
Г2 и линия их пересечения распадается на две плоские кривые в соответствии с теоремой 2: Если две поверхности вращения го порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые го порядка, плоскости которых проходят через прямую т соединяющую точки касания (поверхности имеют две общие касательные плоскости) В зависимости от расположения пересекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекций и участия в пересечении геометрических тел, имеющих проецирующую поверхность (призма, цилиндр) или не имеющих ее (пирамида, конус, шар, тор, тороид, наклонная призма или наклонный цилиндр, глобоид и др, следует выбрать оптимальный способ построения проекций линии пересечения поверхностей на чертеже

176 9. Графическая работа № 9 (задачи 15 и Рис. 9.2. Полное проницание поверхностей
По этим признакам способы построения линий пересечения поверхностей можно объединить в две группы) частные случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения не требуется применения специальных способов, а используется частное положение пересекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекций) общие случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения требуется применить специальные способы посредников. Частные случаи пересечения поверхностей
К первой группе частных случаев пересечения поверхностей относятся следующие четыре случая) пересечение геометрических тел, боковые поверхности которых являются проецирующими, те. перпендикулярны какой-либо плоскости проекций

Краткое изложение теоретического материала
177
Две замкнутые
Рис. 9.3. Одностороннее соприкосновение поверхностей) пересечение геометрических телу одного из которых боковая поверхность является проецирующей) пересечение соосных поверхностей вращения, те. поверхностей, имеющих общую ось вращения) пересечение поверхностей вращения го порядка, описанных вокруг сферы (по теореме Г. Монжа).
Рассмотрим на примерах построение проекций линий пересечения поверхностей геометрических тел в этих частных случаях. Следует отметить, что они наиболее часто встречаются при формообразовании различных реальных деталей.
1-й частный случай.
На рис. 9.5 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей горизонтально-проецирующего цилиндра и фронтально-проеци­
рующей прямой правильной треугольной призмы. В данном случае пересекаются два геометрических тела, боковые поверхности которых занимают относительно плоскостей проекций проецирующее положение

178 9. Графическая работа № 9 (задачи 15 и Рис. 9.4. Двойное соприкосновение поверхностей
Характерный признак го частного случая — на заданных проекциях тел определяются две проекции искомой линии пересечения:
• фронтальная проекция л . п линии пересечения совпадает с вырожденной в ломаную линию боковой поверхностью призмы;
• горизонтальная проекция л.п'. линии пересечения Г совпадает с участком окружности, которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра.
Следовательно, требуется достроить только профильную проекцию л.п'." линии пересечения, построив профильные проекции обозначенных точек по их принадлежности одному из тел (в данной задаче — цилиндру) и соединив их плавной кривой с учетом ее видимости на поверхностях.
2-й частный случай.
На рис. 9.6 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей прямого кругового конуса и фронтально-проецирующего цилин-

Краткое изложение теоретического материала
179
Рис. 9.5. Первый частный случай пересечения поверхностей обе поверхности проецирующие)
дра, те. геометрических телу одного из которых боковая поверхность про­
ецирующая.
Характерный признак го частного случая — на заданных проекциях тел определяется одна проекция линии пересечения фронтальная проекция л.п'.' линии пересечения совпадает с окружностью, которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра.
Следовательно, требуется достроить горизонтальную л.п'. и профильную
л.п'." проекции линии пересечения, построив горизонтальные и профильные проекции обозначенных точек по их принадлежности конусу и соединив построенные на проекциях точки плавными кривыми линиями с учетом их видимости на поверхностях.
На профильную проекцию предмета пространственная кривая пересечения го порядка проецируется в виде участка гиперболы.
3-й частный случай.
Соосными называются геометрические тела вращения, имеющие общую ось вращения i. Поверхности соосных тел пересекаются по окружностям, перпендикулярным их общей оси. Если общая ось i соосных геометрических тел является проецирующей прямой (те. перпендикулярна одной плоскости проекций, а двум другим параллельна, то окружность пересечения проецируется впрямую линию, перпендикулярную их общей осина те плоскости проекций, которым эта общая ось параллельна

180 9. Графическая работа № 9 (задачи 15 и Рис. 9.6. Второй частный случай пересечения поверхностей одна поверхность проецирующая)
Рис. 9.7. Третий частный случай пересечения поверхностей соосные поверхности

Краткое изложение теоретического материала
181
На рис. 9.7 показан пример построения линии пересечения соосных геометрических тел — конуса и горизонтально-проецирующего цилиндра, имеющих общую горизонтально-проецирующую ось i, которая перпендикулярна плоскости Ни параллельна плоскостями Линией пересечения является окружность, фронтальная л.п" и профильная л.п'." проекции которой представляют собой прямые линии, перпендикулярные общей оси i и проходящие через точки пересечения фронтальных и профильных очерков поверхностей. Горизонтальная проекция этой окружности пересечения л.п'. совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией боковой поверхности цилиндра.
На рис. 9.8 показан пример построения линий пересечения двух пар соосных поверхностей:
• поверхности шара и горизонтально-проецирующего цилиндра, соосных относительно горизонтально-проецирующей оси iu окружности пересечения которых проецируются на фронтальную и профильную проекции в прямые линии;
• поверхности шара и сквозного профильно-проецирующего цилиндрического отверстия Дотв в шаре, соосных относительно профильно-проецирую- щей оси г, окружности пересечения которых проецируются на фронтальную и горизонтальную проекции в прямые линии.
Рис. 9.8. Пересечение двух пар соосных поверхностей й частный случай.
К поверхностям вращения го порядка относятся круговые цилиндр и конус, шар, эллипсоиды, параболоид, одно- и двуполостные гиперболои-

182 9. Графическая работа № 9 (задачи 15 и 16)
ды. Эллиптические цилиндры и конусы, а также наклонный круговой конус не являются поверхностями вращения. Все торы (открытый, закрытый и самопересекающийся), глобоиды и тороиды относятся к поверхностям вращения го порядка.
В м частном случае имеет место двойное соприкосновение пересекающихся поверхностей вращения го порядка, описанных вокруг сферы, и построение линии пересечения основано на теореме о двойном соприкосновении, из которой вытекает теорема, известная как теорема Г. Монжа: Если две поверхности вращения го порядка описаны вокруг третьей поверхности го порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кривые го порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания».
Практическое применение этой теоремы возможно в том случае, когда две поверхности вращения го порядка описаны вокруг сферы или вписаны в нее.
Использовать теорему Г. Монжа для построения на чертеже линии пересечения поверхностей можно при наличии в задаче четырех обязательных графических условий) пересекаются поверхности вращения го порядка) оси поверхностей вращения пересекаются (точка пересечения — центр вписанной сферы) поверхности описаны вокруг общей сферы или вписаны в нее) общая плоскость симметрии, проходящая через оси поверхностей, является плоскостью уровня.
При соблюдении этих четырех условий на одной из заданных проекций можно построить проекции двух плоских кривых, на которые распадается искомая линия пересечения:
• плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий на ту проекцию предмета, которая расположена на плоскости проекций, параллельной общей плоскости симметрии поверхностей;
• точки пересечения очерков поверхностей на этой проекции принадлежат искомой линии пересечения и через эти точки проходят прямые, в которые проецируются плоские кривые пресечения;
• прямые как проекции плоских кривых пересекаются в точке, с которой совпадают проекции двух точек Кг К 2 соприкосновения поверхностей и, соответственно, проекция прямой т (т, т соединяющей эти точки соприкосновения (точки касания).
Точки касания (соприкосновения) поверхностей К х (К ” ) и К 2 (К ) определяются на пересечении проекций окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхностей.
На рис. 9.9 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей вращения го порядка — прямого кругового конуса и наклонного кругового цилиндра, описанных вокруг общей сферы. Для решения задачи использована теорема Г. Монжа, поскольку здесь соблюдены все четыре обязательных условия ее применения) пересекаются прямой круговой конус и круговой наклонный цилиндр, те. поверхности вращения го порядка

Краткое изложение теоретического материала
183
Рис. 9.9. Четвертый частный случай пересечения поверхностей по теореме Г. Монжа)
2) оси конуса и цилиндра пересекаются в точке О (О) обе поверхности описаны вокруг общей для них сферы с центром точке О (O', О) общая плоскость симметрии поверхностей а ан является фронтальной плоскостью уровня ан |
|
Построение проекций линии пересечения поверхностей по теореме Г. Мон­
жа выполняется последующему графическому алгоритму. Определить проекцию предмета, на которую плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий. В данной задаче это фронтальная проекция, так как общая плоскость симметрии a (ctH) параллельна фронтальной плоскости проекций V.

184 9. Графическая работа № 9 (задачи 15 и 16)
2. Построить фронтальные совпадающие проекции точек К Х К 2 соприкосновения заданных поверхностей, лежащих на пересечении проекций окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхностей. Прямые линии — проекций этих окружностей касания — строятся как линии пересечения соосных поверхностей, так как вписанная сфера образует две пары соосных поверхностей конус — сфера с общей осью i* и цилиндр — сфера с общей осью i2. На чертеже проекции этих окружностей касания проходят через точки, полученные на пересечении перпендикуляров, проведенных из точки О (О — центра вписанной сферы — к образующим конуса (окружность касания 1) и цилиндра (окружность касания 2).
3. Отметить на фронтальной проекции точки А (А, ВВС Си) пересечения очерков поверхностей и построить фронтальные проекции плоских кривых пересечения го порядка, соединив прямыми линиями АВ
(А"В") и CD (C"D") противоположные точки пересечения очерков (обе прямые обязательно должны пройти через построенные проекции точек соприкосновения поверхностей К Х н К 2 ( K " s К 2 К " = К "точки двойного
Рис. 9.10. Вариант четвертого частного случая пересечения поверхностей
(по теореме Г. Монжа)

Краткое изложение теоретического материала 5 4. Построить горизонтальные проекции двух плоских кривых пересечения (эллипсов) по горизонтальным проекциям обозначенных точек А, В, Си К 2, построенных по принадлежности поверхности конуса. Обозначить и построить точки ЕЕ и F (F'), которые лежат на очерковых образующих горизонтальной проекции цилиндра и определяют границу видимости кривых на горизонтальной проекции предмета, а также отметить и построить необходимое количество промежуточных точек (здесь не обозначены. Оформить фронтальный и горизонтальный очерки пресекающихся по­
верхностей.
Построение точек соприкосновения К Х = К 2 поверхностей особенно важно в задачах, где по условию нельзя определить одну из четырех точек пересечения очерков поверхностей. Совпадающие проекции точек соприкосновения в этом случае определяют направление одной из двух прямых линий — проекций плоских кривых пересечения (рис. 9.10). В данном случае проекция плоской кривой пересечения СЕ проведена через точки С n K i = K 2. Точка Е определяется на основании конуса.
На рис. 9.11 показаны примеры построения линий пересечения поверхностей второго порядка, описанных вокруг сферы, с применением теоремы Г. Монжа. Они часто встречаются при конструировании различных переходов цилиндрических и конических труб.
I
Рис. 9.11. Пересечение поверхностей второго порядка, описанных вокруг сферы

186 9. Графическая работа № 9 (задачи 15 и 16)
9.3. Общие случаи пересечения поверхностей
Ко второй рассматриваемой группе относятся общие случаи пересечения геометрических тел, боковые поверхности которых могут занимать относительно плоскостей проекций непроецирующее положение (наклонных призм и цилиндров, а также геометрических тел, поверхности которых непроеци­
рующие (конусов, сфер, торов, глобоидов, эллипсоидов, параболоидов и гиперболоидов, а также наклонных эллиптических цилиндров, имеющих круговые сечения, и наклонных круговых конусов).
Для построения линий пересечения поверхностей в этом случае применяются специальные способы вспомогательных посредников — плоскостей уровня или поверхностей (сфер, цилиндров, конусов, из которых мы рас- сматрим следующие:
• способ вспомогательных секущих плоскостей уровня;
• способ вспомогательных концентрических сфер;
• способ вспомогательных эксцентрических сфер.
Выбор для построения линий пересечения поверхностей геометрических тел одного из указанных способов возможен при наличии некоторых обязательных графических условий расположения геометрических тел относительно плоскостей проекций и зависит оттого, какие именно геометрические тела пересекаются в конкретной задаче.
Для выбора рационального способа решения задачи требуется выполнить графический анализ ее условия, определить проекцию предмета, на которой следует начинать решение, и границы введения посредников.
Линия пересечения поверхностей является общей для обеих поверхностей и образуется множеством общих точек, которые строятся с помощью вспомогательных посредников. Для построения проекций точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, следует применять общий для всех рассматриваемых способов графический алгоритм. Ввести вспомогательную плоскость-посредник или поверхность-по­
средник.
2. Построить вспомогательные линии пересечения плоскости-посредника или поверхности-посредника с каждой из заданных поверхностей. Определить точки пересечения построенных вспомогательных линий пересечения — эти точки принадлежат искомой линии пересечения.
Рассмотрим на примерах применение различных способов вспомогательных посредников для построения проекций линий пересечения поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей уровня
Применение способа вспомогательных секущих плоскостей рационально при наличии двух графических условий) общая плоскость симметрии пересекающихся геометрических тел является плоскостью уровня. При соблюдении этого условия точки пересечения очерков поверхностей принадлежат искомой линии пересечения и опре­

Краткое изложение теоретического материала
187
деляют верхнюю и нижнюю границу введения плоскостей-посредников на соответствующей проекции предмета) сечениями геометрических тел водной из плоскостей уровня являются простые в построении линии пересечения — прямые линии (образующие) или окружности. Эту плоскость уровня и следует выбрать в качестве посред­
ников.
На рис. 9.12 показан пример построения проекций линии пересечения прямого конуса и половины шара.
Для решения задачи требуется предварительно выполнить графический анализ заданных проекций предмета:
Рис. 9.12. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей уровня

188 9. Графическая работа № 9 (задачи 15 и 16)
1) для решения задачи следует выбрать способ вспомогательных секущих плоскостей, так как здесь соблюдены два графических условия его при­
менения:
• общая плоскость симметрии Р (Рн) геометрических тел — конуса и полушара — является фронтальной плоскостью уровня (первое условие при­
менения);
• в качестве вспомогательных плоскостей-посредников выбраны горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают поверхности конуса и полушара по окружностям (второе условие применения) решение задачи, те. введение плоскостей-посредников, начинать на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии геометрических тел является фронтальной плоскостью уровня) определить границы введения плоскостей-посредников — это точка А (А пересечения фронтальных очерков и точки В (В) пересечения окружностей оснований конуса и полушара, лежащие в горизонтальной плоскости уровня а (а Уо).
Для построения проекций точек искомой линии пересечения требуется выполнить следующий графический алгоритм. Ввести на фронтальной проекции предмета первую вспомогательную секущую горизонтальную плоскость-посредник a (а ^ ) произвольно и ниже точки А (А. Построить на горизонтальной проекции предмета вспомогательные окружности радиусами Вк1 и по которым секущая плоскость-посредник а ( а К) пересекает поверхности конуса и шара. Определить на пересечении построенных вспомогательных окружностей горизонтальные проекции точек 1 (Г ), принадлежащих линии пересечения. Фронтальные совпадающие проекции 1" этих точек определяются по линии связи на фронтальной проекции плоскости-посредника a ( a Fl).
4. Повторить действия основного графического алгоритма, введя вторую плоскость-посредник а (аи построить проекции точек 2 (2', 2").
5. Соединить проекции построенных точек на фронтальной и горизонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их видимости на проекциях. На фронтальную проекцию предмета пространственная кривая пересечения го порядка проецируется в видимую плоскую кривую
2-го порядка (участок параболы, поскольку горизонтальная проекция предмета имеет фронтальную симметрию, на горизонтальную проекцию предмета — в участок видимой кривой го порядка сложной формы. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях предмета с учетом их относительной видимости:
• на фронтальной проекции — очерк конуса существует влево от точки А (А, а очерк шара — вправо от нее (несуществующие очерки конуса и шара оставить тонкими линиями);
• на горизонтальной проекции — окружность основания конуса существует влево от точек В (В а окружность основания шара — вправо от них (несуществующие части окружностей оснований конуса и шара оставить тонкими линиями

Краткое изложение теоретического материала
189
Здесь имеет место случай частичного врезания и линия пересечения поверхностей — это одна замкнутая кривая линия го порядка.
Способ вспомогательных секущих плоскостей позволяет строить одновременно две проекции искомой линии пересечения. Способ вспомогательных концентрических сфер
Основанием для применения сферы в качестве вспомогательной поверх­
ности-посредника являются две ее характерные особенности:
• через ее центр можно провести бесконечное количество осей;
• она может быть соосна любой поверхности вращения (кроме открытого и закрытого тора соосные поверхности пересекаются по окружностям, проекции которых легко построить (см. рис. 9.7 и 9.8).
Сфера-посредник образует две пары соосных поверхностей с каждой из заданных поверхностей. Каждая образованная пара соосных поверхностей пересекается по соответствующим окружностям, которые проецируются в прямые, перпендикулярные общей оси каждой пары, и проходят через точки пересечения очерков каждой пары соосных поверхностей.
Применение способа вспомогательных концентрических сфер для построения линии пересечения поверхностей возможно при наличии трех графических условий) пересекаются поверхности вращения (кроме открытого и закрытого тора) общая плоскость симметрии пересекающихся поверхностей является плоскостью уровня при этом условии точки пересечения очерков на проекции предмета, изображенного на параллельной общей плоскости симметрии плоскости проекций, принадлежат искомой линии пересечения) оси поверхностей пересекаются точка пересечения осей является центром всех вспомогательных концентрических сфер.
На рис. 9.13 показан пример построения проекций линии пересечения усеченного конуса и тороида (самопересекающегося тора. Рассмотренный ранее способ вспомогательных секущих плоскостей здесь применять нерационально, так как ни одна плоскость уровня не пересекает поверхности одновременно по окружностям (одно из условий применения).
Для решения задачи требуется предварительно выполнить графический анализ заданных проекций предмета) для решения задачи следует выбрать способ вспомогательных концентрических сфер, так как здесь соблюдены три графических условия его приме­
нения:
• пересекаются поверхности вращения — прямой круговой конус и тороид (самопересекающийся тор);
• общая плоскость симметрии геометрических тел р