Начертательная_геометрия_ЗЕЛЕНАЯ. Начертательная
 Скачать 7.88 Mb.
|
• оси поверхностей пересекаются в точке О (О) — центре всех вспомогательных сфер) решение задачи, те. введение вспомогательных сфер-посредников, следует начинать на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость 190 9. Графическая работа № 9 (задачи 15 и Рис. 9.13. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных концентрических сфер симметрии является фронтальной плоскостью уровня и точки А (А, ВВС Си пересечения фронтальных очерков принадлежат линии пересечения) необходимо определить границы введения сфер — это точки С Си пересечения фронтальных очерков пересекающихся геометрических тел Краткое изложение теоретического материала 191 Д л я построения проекций точек линии пересечения требуется выполнить следующий графический алгоритм. Ввести на фронтальной проекции вспомогательную сферу-посредник минимального радиуса i?imin с центром в точке О (О вписанную в тороид минимальная сфера-посредник должна вписываться в одну из поверхностей, ас другой поверхностью пересекаться. Построить проекции вспомогательных окружностей пересечения двух пар соосных поверхностей, образованных сферой-посредником с каждой заданной поверхностью: • первая пара соосных поверхностей — сфера-посредник и тороид — имеют горизонтальную общую ось i " и пересекаются по окружности касания п которая проецируется впрямую линию (совпадает с осью конуса); • вторая пара соосных поверхностей — сфера-посредник и конус — имеют вертикальную общую ось вращения и пересекаются по двум вспомогательным окружностям т которые проецируются в прямые линии. Определить точки 1 х (Х ) пересечения построенных проекций вспомогательных окружностей тип которые принадлежат искомым линиям пересечения (по две пары совпадающих точек). Здесь имеет место случай полного проницания (й случай, и линия пересечения распадается на две замкнутые кривые. Повторить действия основного графического алгоритма, введя вспомогательные сферы большего радиуса jR2 и J?3 стем же центром в точке О (О и построить следующие пары точек 2 (2") и 3 (3"). 5. Достроить горизонтальные проекции точек Гл линии пересечения по принадлежности параллелям конуса. Соединить проекции построенных точек на фронтальной и горизонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их видимости на проекциях (только линия пересечения D ’ - 3 ' - 2 '- 1 { - Сбудет невидимой на горизонтальной проекции предмета. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях предмета с учетом их относительной видимости. Способ вспомогательных эксцентрических сфер Наименование данного способа говорит о том, что вспомогательные сферы имеют разные центры, которые и нужно определять в процессе построения проекций линии пересечения поверхностей. Способ вспомогательных эксцентрических сфер можно применять при наличии трех графических условий) пересекаются поверхности вращения го порядка (открытый или закрытый тор) или поверхности эллиптических цилиндра и конуса, имеющих круговые сечения) общая плоскость симметрии поверхностей является плоскостью уровня) оси поверхностей пересекаются или скрещиваются. Поскольку при этом способе центр каждой вспомогательной сферы нужно определять графическими построениями, первое действие графического 192 9. Графическая работа № 9 (задачи 15 и алгоритма для построения проекций точек линии пересечения дополняется построением центра каждой вспомогательной сферы. Рассмотрим порядок графических действий для построения линий пересечения способом вспомогательных эксцентрических сфер на двух примерах. На рис. 9.14 показан пример построения проекции линии пересечения профильно-проецирующего цилиндра с поверхностью четвертой части открытого тора. Рациональным способом решения задачи является способ вспомогательных эксцентрических сфер, поскольку здесь соблюдены три необходимых условия для применения этого способа: • одна из пересекающихся поверхностей — открытый тор, имеющий круговые сечения во фронтально-проецирующих плоскостях, проходящих через его ось вращения г"; • общая плоскость симметрии поверхностей — фронтальная плоскость уровня (подразумевается, поэтому точка А (А) пересечения фронтальных очерков принадлежит искомой линии пересечения; • оси поверхностей — гц и iT — скрещиваются. Построение проекций точек линии пересечения поверхностей выполняется на заданной фронтальной проекции предмета последующему графическому алгоритму. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предварительно следующие графические действия) задать произвольное круговое сечение поверхности тора фронталь- но-проецирующей плоскостью а ^ , проходящей через его ось i"; окруж- Рис. 9.14. Построение линии пересечения поверхностей способом эксцентрических сфер Краткое изложение теоретического материала 193 ность tx- t 2 (ее проекция — прямая линия t[' t£) — это заданная линия пересечения тора с искомой вспомогательной сферой, центр которой должен лежать на перпендикуляре к проекции этой окружности (прямая t{'-t2, те. это проекция окружности, по которой будущая вспомогательная сфера пересечется с поверхностью тора) провести к прямой tx- t 2 через ее середину перпендикуляр к и на его пересечении с осью цилиндра ц определить центр первой вспомогательной сферы — точку О) провести окружность — проекцию вспомогательной сферы-посред ника — с центром в точке Of, радиус которой НСф1 определяется расстоянием от точки О до одной из крайних точек i f или t'{ прямой t"—t2. 2. Построить проекцию окружности пересечения построенной сферы-по средника радиусом Дсф1 с поверхностью соосного ей цилиндра — прямую $i S2, проходящую через точки s f и s f пересечения очерков цилиндра и сфе ры-посредника. 3. На пересечении построенных проекций заданной окружности t'{-t2 и построенной окружности s {'- s2 определить совпадающие точки 1 (1"), принадлежащие искомой линии пересечения заданных поверхностей. Повторить действия графического алгоритма и построить достаточное количество точек линии пересечения. В данном примере дополнительными сечениями вспомогательных плоскостей ау, и вспомогательными сферами ЛСф2, Псфз с центрами 0 2 и 0 3 построены точки 2 и 3, принадлежащие линии пересечения. Причем в плоскости окружности сечений совпадают и совпадающие точки 3 делят эти окружности на две половины — верхняя часть принадлежит цилиндру, а нижняя — тору. Соединить на фронтальной проекции точки А " - 1 " -2 " - 3 " линии пересечения плавной видимой кривой. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции. На рис. 9.15 показан пример построения линии пересечения наклонного кругового цилиндра Ц х с осью i" и наклонного эллиптического цилиндра Ц 2 с осью 12, у которого есть круговые сечения в горизонтальных плоскостях уровня. Для решения задачи следует выбрать способ вспомогательных эксцентрических сфер, так как здесь соблюдены три условия его применения: • пересекаются наклонный круговой цилиндр Ц хи эллиптический цилиндр Ц 2 (не является поверхностью вращения); • общая плоскость симметрии поверхностей является фронтальной плоскостью уровня (подразумевается); • оси поверхностей ij и i2 пересекаются. Решение задачи, те. введение сечений цилиндра Ц 2 (параллельных заданному основанию) горизонтальными плоскостями уровня а, следует начинать на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня и точки А (Аи В (В пересечения фронтальных очерков принадлежат линии пересечения. Далее необходимо определить границы введения сечений цилиндра Ц 2 — это точки А (Аи В (В) пересечения фронтальных очерков пересекающихся геометрических тел 194 9. Графическая работа № 9 (задачи 15 и 16) цилиндр Рис. 9.15. Построение линии пересечения поверхностей способом эксцентрических сфер Для построения проекций точек линии пересечения поверхностей требуется выполнить действия следующего графического алгоритма. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предварительные графические действия) задать произвольное круговое сечение эллиптического цилиндра Ц горизонтальной плоскостью a Vl — прямую tit2. Эта заданная линия tx- t 2 — окружность пересечения эллиптического цилиндра с искомой вспомогательной сферой, центр которой лежит на перпендикуляре, проведенном из середины этой прямой) провести к прямой tx- t 2 через ее середину перпендикуляр к и на пересечении с осью ix кругового цилиндра Ц х определить точку Ох — центр первой вспомогательной сферы-посредника; 1.3) провести окружность сферы-посредника радиусом Дсф1, который определяется расстоянием от точки О^до одной из точек t ” или прямой t1t2. 2. Построить проекцию окружности пересечения сферы-посредника с соосной ей поверхностью кругового цилиндра Ц г — прямую s j- s 2, проходящую через точки пересечения очерков сферы и цилиндра. Определить на пересечении заданной окружности t ’{ - 1 2 и построенной окружности у — s2 совпадающие точки 1 (1"), принадлежащие искомой линии пересечения Примеры решения задач 5 4. Повторить действия графического алгоритма и построить проекции точек 2 (2"). 5. Соединить на фронтальной проекции точки А " - 1 " -2 " - В " линии пересечения плавной видимой кривой. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции. Примеры решения задач Задача 15. Построить проекции линии пересечения прямого кругового конуса и тороида способом вспомогательных секущих плоскостей на заданных проекциях (рис. 9.16). Задачу выполнить на левой половине поля чертежа (рис .9.17, задача Выполнив графический анализ условия задачи, выбираем для решения задачи способ вспомогательных секущих плоскостей, так как здесь соблюдены два условия его применения: • общая плоскость симметрии ($ ((Зя ) является фронтальной плоскостью уровня; • горизонтальные плоскости уровня ос, которые пересекают поверхность конуса и тороида по окружностям, выбираем в качестве вспомогательных плоскостей-посредников. Решение задачи, те. введение плоскостей-по средников, начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня. Определяем границы введения вспомогательных плоскостей-посредников — это точка А (А пересечения фронтальных очерков и точки В (В) пересечения окружностей в горизонтальной плоскости уровня ос )> проходящей через основание тороида. Графический алгоритм. Введем на фронтальной проекции предмета первую горизонтальную плоскость-посредник a Vl (произвольно и ниже точки А. Построим на горизонтальной проекции вспомогательные окружности радиусами к и Вт пересечения первой вспомогательной плоскости-посред ника с каждой заданной поверхностью. Определим на пересечении построенных вспомогательных окружностей две горизонтальные проекции точек 1 (Г ) (отмечены с одной стороны, принадлежащих искомой линии пересечения. Фронтальные проекции точек 1 (1") строятся по линии связи на фронтальной проекции плоскости- посредника a Vl. 4. Повторим действия графического алгоритма и построим проекции точек 2 и 3 линии пересечения. секущих плоскостей Рис. 9.16. Графическое условие задачи 15 Задача задача % 196 9. Графическая работа № 9 (задачи 15 и ч я с \ | ! 1 1 e l 0\ 3= I I I # I г 1 ■ § ! I й Р и с. 9 .1 7 . П р им ер выполнения графической работы Примеры решения задач 5. Соединим на заданных проекциях построенные проекции точек линии пересечения плавными кривыми линиями с учетом их видимости на поверхностях геометрических тел. Оформим на проекциях очерки поверхностей оставим тонкими сплошными линиями несуществующие очерки поверхностей и линии построения. Задача 16. Построить проекции линии пересечения шара и кругового усеченного конуса способом вспомогательных концентрических или эксцентрических сфер на заданных проекциях (рис. 9.18). Задачу выполнить на правой половине поля чертежа (рис. 9.17, задача Выполнив графический анализ условия задачи, определяем, что способ вспомогательных секущих плоскостей применять не следует, так как на заданных проекциях нельзя провести плоскости уровня, пересекающие по окружностям обе заданные поверхности. Выбираем для решения задачи способ вспомогательных концентрических сфер, так как здесь соблюдены три условия его применения: • пересекаются поверхности вращения; • общая плоскость симметрии р (ря ) является фронтальной плоскостью уровня; • оси поверхностей пересекаются и центр вспомогательных сфер — точка О (Оле жит на пересечении горизонтальной оси конуса iK и вертикальной оси шара 1Ш1. Решение задачи, те. введение сфер-посред ников, начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является плоскостью уровня. Определяем границы введения сфер-посредников — это точки А Аи В (В пересечения фронтальных очерков. План графических действий. Введем первую вспомогательную минимальную сферу радиусом Rx min с центром в точке О, вписанную в коническую поверхность. Построим проекции окружностей (прямые, по которым сфера-посред ник пересекается с конусом и шаром: • первая пара соосных поверхностей — конус и вписанная вспомогательная сфера — пересекаются по окружности касания окр. 1 к (проекция — пря мая); • вторая пара соосных поверхностей — заданная сфера и вспомогательная сфера — пересекаются по окружности окр. 1 ш. концентрических сфер Рис. 9.18. Графическое условие задачи 16 198 9. Графическая работа № 9 (задачи 15 и 16) 3. Определим на пересечении построенных вспомогательных проекций окружностей совпадающие точки 1 (1"), принадлежащие искомой линии пересечения. Повторим действия основного графического алгоритма, введя вспомогательные концентрические сферы радиусами Лис тем же центром О (О и построим точки 2 (2") и 3 (3"), принадлежащие линии пересечения. При выборе радиусов второй и третьей вспомогательных концентрических сфер нужно учесть графическое условие данной задачи: • радиус R2 второй вспомогательной сферы выбран так, чтобы были построены точки 2 (2", 2') искомой линии пересечения, лежащие на характерных для горизонтальной проекции образующих конуса т (т, гщ), фронтальные проекции т которых совпадают с осью конуса i", те. радиус второй сферы R2 должен быть равен расстоянию от точки О" до точки M q , которая лежит на пересечении оси конуса гк с очерком заданного шара (главного фронтального меридиана); • радиус R3 третьей вспомогательной сферы выбран так, чтобы были построены точки 3 (3” , 3') искомой линии пересечения, лежащие на экваторе шарап фронтальная проекция которого совпадает с горизонтальной осью шара, те. радиус третьей сферы Rs должен быть равен расстоянию от точки О до точки N q , которая лежит на пересечении экватора шара по (пос его фронтальным очерком. Достроим горизонтальные проекции точек 1(1'), 2 (2') и 3 (3') линии пе ресечения: • точки 1 (Г — по принадлежности параллели шара окр. 1 ш.); • точки 2 (2') — по принадлежности очерковым образующим конуса т (т^); • точки 3 (3') — по принадлежности экватору шарап. Соединим фронтальные и горизонтальные проекции построенных точек линии пересечения плавными кривыми линиями с учетом их видимости на проекциях геометрических тел. Невидимыми будут участки 3 '-2 'Г - В ' пространственной кривой го порядка на горизонтальной проекции. Оформим очерки поверхностей на заданных проекциях с учетом их относительной видимости оставим тонкими линиями несуществующие очерки геометрических тел и линии построения. Варианты для самостоятельного решения Задача 15. Построить проекции линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей на двух заданных по условию проекциях пересекающихся геометрических тел. Графические условия вариантов задачи 15 даны в табл. Задача 16. Построить проекции линии пересечения способом вспомогательных концентрических или эксцентрических сфер на двух заданных проекциях пересекающихся геометрических тел. Графические условия вариантов задачи 16 даны в табл. 9.2. Варианты для самостоятельного решения 199 Таблица Данные для решения задачи 15 0 9 0 . 200 9. Графическая работа № 9 (задачи 15 и 16) Варианты для самостоятельного решения 202 9. Графическая работа № 9 (задачи 15 и 16) Варианты для самостоятельного решения 10. ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № задача Тема развертки поверхностей Для решения задачи 17 следует проработать и усвоить материал начертательной геометрии последующей теме Развертки поверхностей. Развертка боковой поверхности призмы: • способом нормального сечения; • способом раскатки. Развертка боковой поверхности пирамиды по натуральным величинам ее ребер. Развертка боковой поверхности цилиндра: • способом нормального сечения; • способом раскатки. Развертка боковой поверхности конуса (по натуральным величинам образующих. Геодезическая линия на поверхности и ее построение на развертках и проекциях. Краткое изложение теоретического материала. Развертки поверхностей. Общие сведения Разверткой называется плоская фигура, в которую преобразуется поверхность предмета при ее совмещении с плоскостью. При этом подразумевается, что поверхность — это гибкая, но нерастяжимая и несжимаемая пленка и при ее развертке не происходит разрывов и образования складок. Поверхности, которые допускают такое преобразование, называются развертывающимися К ним относятся многогранники, некоторые линейчатые поверхности (цилиндрические, конические) и поверхности с ребром возврата (торсы — развертка торсов не рассматривается). Развертки могут быть точные, приближенные и условные. Точные развертки можно строить для гранных поверхностей призмы и пирамиды (не считая графических погрешностей построения, для круговых цилиндров (развертка — прямоугольник с размерами (л • d) х Ни круговых конусов (круговой сектор с углом |