Начертательная_геометрия_ЗЕЛЕНАЯ. Начертательная
 Скачать 7.88 Mb.
|
|
С Г '! ь Ч Н В Ы С ШЕЕ ОБРАЗОВАН И £' Е.И. Белякова, П.В. Зелёный НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ у ц Е Б НО Е ПОСОБИЕ ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ серия основана в 1 9 9 6 г. % Е.И. БЕЛЯКОВА П.В. ЗЕЛЁНЫЙ НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Под редакцией П.В. Зелёного е издание, исправленное Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений по техническим специальностям Минск Новое знание» 2011 Москва «ИНФРА-М» УДК 514.18(075.8) ББК 32гш.3я73 Б44 Рецензенты: кафедра Инженерная графика Белорусского государственного технологического университета завкафедрой кандидат технических наук НИ. Жарков)', кандидат технических наук, доцент кафедры Инженерная графика Белорусского государственного университета информатики и радиотехники В.А. Столер Белякова, Е.И. Б44 Начертательная геометрия : учеб. пособие / Е.И. Белякова, П.В. Зелёный ; под ред. П.В. Зелёного. — е изд, испр. — Минск Новое знание ; М .: ИНФРА-М, 2011. — сил Высшее образование 978-985-475-460-4 (Новое знание 978-5-16-005063-8 (ИНФРА-М) Содержит теоретический материал и индивидуальные графические работы по основным темам курса Начертательная геометрия. Каждая графическая работа включает методический материал, примеры решения предложенных задача также исходные данные для самостоятельного решения по 30 вариантам. Разработанные авторами графические алгоритмы помогут развитию логического мышления и пространственного воображения, а также приобретению навыков самостоятельного решения различных задач. В приложении приводится краткое описание общих правил оформления чертежей в соответствии со стандартами ЕСКД. Для студентов технических специальностей высших учебных заве дений. УДК 514.18(075.8) ББК я 978-985-475-460-4 (Новое знание) ISBN 978-5-16-005063-8 (ИНФРА-М) ©Белякова Е.И., Зелёный П.В., 2010 ©Белякова Е.И., Зелёный П.В., 2011, с изменениями ООО Новое знание, 2011 Предисловие Начертательная геометрия как наука сформировалась к концу XVIII века, когда французский общественный деятель, ученый и гениальный геометр Гаспар Монж (1746-1818) впервые опубликовал курс лекций по начертательной геометрии для студентов парижской Политехнической школы (Geometrie descriptive). С тех пор начертательная геометрия входит в учебные программы технических вузов как дисциплина, без которой немыслимо обучение специалистов инженерного профиля. В России начертательная геометрия стала предметом преподавания с 1810 г, когда курс начертательной геометрии впервые ввели в учебную программу петербургского Института корпуса инженеров путей сообщения. Начертательная геометрия является основополагающим разделом учебной дисциплины Инженерная графика, входящей в цикл общенаучных и общепрофессиональных предметных курсов подготовки специалистов в высшей технической школе по большинству направлений образования профиля Техника и технологии, по направлению образования Экономика и организация производства, по группам специальностей Преподавание технологии и «Профессиональноеобразование». Изучение начертательной геометрии начинается на первом курсе в первом семестре. Последующие разделы инженерной графики — Проекционное черчение, «Машиностроительноечерчение» и Инженерная компьютерная графика и моделирование — изучаются далее в названном порядке, но могут совмещаться с начертательной геометрией в зависимости от количества учебных часов, отведенных навесь курс инженерной графики. Предметом начертательной геометрии является научная разработка и обоснование, теоретическое и практическое изучение способов графического построения изображений пространственных форм на плоскости и графических способов решения различных позиционных и метрических задач. Способы построения изображений предметов на чертеже по методу проекций (методу Г. Монжа), изучаемые в начертательной геометрии, позволяют по чертежу создавать пространственные образы предметов, определять их взаимное расположение и размеры, исследовать и моделировать различные технические формы и конструкции. Начертательная геометрия развивает пространственное мышление, необходимое для профессиональной деятельности инженера при решении различных технических задачи выполнении чертежей. Особое значение начертательная геометрия приобретает при переходе на компьютерное моделирование и автоматизированное выполнение чертежей, поскольку программное обеспечение основано на теоретических положениях, понятиях и способах решения различных задач, изучаемых исключительно в начертательной геометрии. Учебные задачи курса начертательной геометрии заключаются в сле дующем: • усвоить правила построения изображений пространственных форм на чертеже; • усвоить графические способы решения различных практических позиционных и метрических задач 4 Предисловие • развить навыки создания пространственных образов предметов на основе логического анализа их изображений, те. развить пространственное мышление; • научиться применять методы и понятия начертательной геометрии в решении различных задач геометрического конструирования в практике автоматизированного выполнения чертежей и компьютерного трехмерного моделирования. Порядок изложения тем начертательной геометрии в данном учебном пособии (см. прил. 1) соответствует принятому в базовом учебнике Начертательная геометрия ВО. Гордона [5] и практически во всех других изданных учебниках. К учебному пособию издана рабочая тетрадь, в которой собраны задачи по всем темам начертательной геометрии, в том числе и по темам, не включенным в данное пособие (Белякова Е.И. Начертательная геометрия рабочая тетрадь / Е.И. Белякова, П.В. Зелёный; под. ред. П.В. Зелёного. М .: Новое знание Минск Новое знание, Авторы приносят благодарность за оказанную помощь при оформлении средствами компьютерной графики разработанных графических условий индивидуальных заданий и некоторых текстовых рисунков сотрудникам кафедры Инженерная графика машиностроительного профиля Белорусского национального технического университета Т.В. Дорогокупец (условия к задачам 1-6), В.Н. Степаненкову (образцы выполнения заданий, O.K. Щер баковой (подготовка рисунков, ОП. Зелёной (корректировка и перевод всех графических изображений изв, а также студентам автотракторного факультета БНТУ P.M. Алиевичу, А.А. Бобко, Д.В. Гинетову, МВ. Гришелю, МН. Ефременко, АО. Комарову, А.Е. Маркевичу, B.C. Слепец, С.А. Филипповичу Методические указания по выполнению графических работ При изучении начертательной геометрии необходимо придерживаться следующих общих указаний. Изучать и усваивать теоретический материал последовательно запоминать применяемую терминологию и понятия, формулировки теорем. Обязательно проработать и усвоить графическое решение всех типовых задач, данных в качестве примеров. Это поможет понять теоретический материал и решить индивидуальные задания. При изучении курса полезно прибегать к моделированию изучаемых геометрических сочетаний и форм — например, сделать модель системы трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций Ни и изучить на такой модели возможные положения прямых и плоскостей относительно плоскостей проекций выполнить модели по темам Поверхности, Преобразование чертежа и т.д. Опора на пространственные модели поможет быстрее установить логическую связь между пространственной формой и чертежом и развить пространственное воображение и логическое мышление. Задачи, представленные в данном пособии и объединенные в графические работы (текстовые условия задач см. в прил. 2), следует выполнять по две или одной на отдельных листах белой бумаги в соответствии с приведенными образцами. Каждую задачу графических работ 1, 2 и 3 необходимо сопроводить кратким планом решения в виде текстового алгоритма, выполненным чертежным шрифтом на листах писчей бумаги. Чертежи решенных задач выполняются в масштабе М (ГОСТ 2.302-68. Масштабы) в карандаше с использованием линий, установленных ГОСТ 2.303-68. Линии. Каждая графическая работа выполняется на стандартных листах формата АЗ (ГОСТ 2.301-68. Форматы) с размерами сторон внешней рамки 420 х 297 мм. Оформление листа формата АЗ показано на рис. В правом нижнем углу формата выполняется основная надпись, разработанная для заданий по начертательной геометрии (рис. 2). Для выполнения текста основной надписи следует использовать стандартный чертежный шрифт № 7 и 5 типа Б (ГОСТ 2.304-81. Шрифты чертежные). К альбому чертежей следует выполнить на листе формата Ас размерами сторон 210 х 297 мм титульный лист (рис. 3). Для выполнения надписей на титульном листе также используют прямой или наклонный чертежный шрифт № 5, 7 и 10, тип Б (широкий). При выполнении графических работ следует соблюдать общие правила оформления чертежей в соответствии со стандартами Единой системы конструкторской документации (ЕСКД) (см. прил. Чертежные материалы, принадлежности и инструменты для выполнения графических работ существенно влияют на качество и трудоемкость выполнения чертежей. При работе следует использовать) чертежную белую бумагу — ватман формата АЗ — хорошего качества без типографской рамки чертежа и основной надписи 6 Ш Методические указания по выполнению графических работ к СТ\ § Формат АЗ Оснобная надпись, С трех сторон Внутренняя рамка формата Для подшибки листод / Внешняя рамка формата Ьамт чертежа! Рис. 1. Оформление листа формата АЗ f барианта № листа Гоафическая работа щ 1 Рецензент Шрифт № 5 15 Лист Гр. 300000 зо Подпись студента Дата Рис. 2. Основная надпись Методические указания по выполнению графических работ | -п S; I S5 Is 1 | § Й Белорусский национальный технический университет (факультет) Кафедра «Инженерная графика машиностроительного профиля Контрольная работа №1 по начертательной геометрии \Дисциплина Инженерная графика» \ Выполнил студент ______________________________________________________________ Гоуппа Адрес I'фамилия : имя, отчество студента группы, шифр} (домашний почтовый адрес студента! Рецензент ■ фамилия, имя, отчество преподавателя) Отметка о рецензиродании Дата Заключение рецензента Подпись рецензента Минск Рис. 3. Пример оформления титульного листа Методические указания по выполнению графических работ) чертежные линейки и угольники — деревянные или из качественной прозрачной пластмассы (с выступающими опорными элементами во избежание размазывания вычерченных линий): • линейка должна быть длиной не менее 400 мм (для вычерчивания рамки чертежа и нанесения горизонтальных линий связи); • можно использовать роликовые рейсшины хорошего качества (длина мм) для вычерчивания параллельных линий; • прямоугольные треугольники (деревянные или пластмассовые с выступающими опорными элементами) должны иметь острые углы в 30° и 60° или два угла пои прямолинейные гладкие кромки) карандаши с грифелем твердостью «НВ» (твердо-мягкий), «ВН» (мяг- ко-твердый), В (мягкий) и «F» (более мягкий грифель твердостью Вили вставляют в головку циркуля) ластик — без абразивных включений (как правило, белого цвета, должен вытирать линию, не размазывая ее и не протирая бумагу 1. ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1 задачи 1 и Тема образование проекций проекции точки и прямой взаимное положение прямых плоскость пересечение прямой и плоскости пересечение плоскостей теорема о проекции прямого угла Для решения задачи следует усвоить материал начертательной геометрии последующим темам. Образование проекций (метод проекций): • проекции центральные и параллельные; • свойства параллельных проекций; • прямоугольные (ортогональные) проекции. Точка: • метод Г. Монжа; • точка в системе плоскостей проекций H ,V ,W ортогональные (прямоугольные) проекции точки в системе прямоугольных координат х, у , г. Прямая: • прямые линии общего положения относительно плоскостей проекций Н, V, W и их изображение на чертежах; • особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей проекций и их изображение на чертеже — проецирующие прямые и прямые уровня; • точка на прямой (теорема о принадлежности точки прямой); • деление отрезка в заданном отношении; • определение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов ее наклона к плоскостям проекций Ни (способ прямоугольного треугольника); • понятие о следах прямой. Взаимное положение прямых: • взаимное положение двух прямых и их изображение на чертеже (прямые параллельны, пересекаются или скрещиваются); • теорема о проекции прямого угла (взаимно перпендикулярные прямые — частный случай пересекающихся прямых. Плоскость: • различные способы задания плоскости на чертеже; • точка и прямая в плоскости (теоремы о принадлежности точки и прямой плоскости; • прямые особого положения — горизонталь и фронталь плоскости; • понятие о следах плоскости 10 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и положение плоскости относительно плоскостей проекций (плоскости общего положения, плоскости частного положения — проецирующие плоскости и плоскости уровня); • проведение проецирующей плоскости через прямую общего положения (заключение прямой в плоскость. Взаимное положение плоскостей, прямой и плоскости: • взаимное положение двух плоскостей (плоскости пересекаются или па раллельны); • взаимное положение прямой и плоскости (прямая и плоскость пересекаются или параллельны); • частные случаи пересечения двух плоскостей, прямой и плоскости; • пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения (построение точки их пересечения); • пересечение плоскостей общего положения (построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых с плоскостью). Краткое изложение теоретического материала. Метод проекций. Проекции центральные и параллельные. Параллельное прямоугольное (ортогональное) проецирование. Свойства параллельного проецирования Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей. Проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекции. Проекции называются параллельными если проецирующие лучи параллельны между собой, и центральными если все проецирующие лучи проходят через одну точку — центр проекций Параллельные проекции могут быть: • прямоугольными (ортогональными) — если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций; • косоугольными — если проецирующие лучине перпендикулярны плоскости проекций (угол проецирования неравен Отметим некоторые свойства параллельного проецирования: • проекцией точки является точка; • проекцией прямой линии в общем случае является прямая; • если точка делит отрезок прямой в определенном отношении, то проекция точки делит проекцию прямой в том же отношении; • если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на чертеже также параллельны. На рис. 1.1 показано построение проекций точек Аи В, Си (объекты проецирования) на некоторую плоскость проекций. Проецирующие лучи, проведенные через центр проекций (точку S) и заданные точки Аи В, пересекаются с плоскостью проекций |3 и определяют центральные проекции Ар и Краткое изложение теоретического материала 11 точек Аи В (риса При пересечении параллельных проецирующих лучей S с плоскостью проекций а образуются параллельные проекции Са и Da точек Си (рис. Если соединить прямой линией точки А, В, Сито получим отрезки АВ и CD, а если построенные проекции точек — центральную и параллельную проекции отрезков АВ и CD на плоскости проекций Р и а. Метод Г. Монжа. Точка в системе плоскостей проекций H,Vv\W. Проекции точки в системе прямоугольных координат х, у, Для получения изображений предметов на чертежах Г. Монж предложил использовать метод параллельного прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости проекций. На риса показано наглядное изображение трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций: • фронтальной плоскости проекций горизонтальной плоскости проекций Н; • профильной плоскости проекций Плоскости проекций, пересекаясь в пространстве, делят его на восемь частей, которые называют октантами Слева от профильной плоскости проекций W располагаются I, II, III и IV октанты, пронумерованные против часовой стрелки. Для получения изображений предмет располагают в I октанте (европейская система) между наблюдателем и плоскостями проекций. Проецируя предмет на каждую из взаимно перпендикулярных плоскостей проекций H ,V и W , строят соответственно горизонтальную, фронтальную и профильную его проекции. а б проекции Рис. 1.1. Построение проекций отрезка прямой а — центральное проецирование б — параллельное проецирование 12 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и Рис. 1.2. Система плоскостей проекций H , V n W : а — наглядное изображение б — чертеж Плоскости проекций пересекаются между собой по линиям, которые называют осями проекций (ось х ось у и ось г Эти оси в свою очередь пересекаются в точке О — точке начала координат Оси проекций принимают за оси координат, определяющих положение точки в пространстве, и называют натуральной системой прямоугольных координат х, у и г На риса в качестве предмета проецирования взята точка Аи построены ее прямоугольные проекции на каждую плоскость проекций: • горизонтальная проекция А'; • фронтальная проекция А "профильная проекция А 'Расстояния от точки А до каждой плоскости проекций определяют ее положение в пространстве и называются ее прямоугольными координатами: • координата хА (ОАх) — расстояние до плоскости проекций W (абсцисса); • координата уА (А^А') — расстояние до плоскости проекций V (ордината); • координата гА (АдА") — расстояние до плоскости проекций Н (аппликата). Чтобы перейти от наглядного изображения системы трех плоскостей проекций H ,V m W к чертежу (эпюру, плоскости проекций первого октанта поворачивают относительно координатных осей и совмещают с фронтальной плоскостью проекций V следующим образом: • фронтальная плоскость проекций V сохраняет свое положение; • горизонтальная плоскость проекций Н поворачивается относительно оси проекций х вниз; • профильная плоскость проекций W поворачивается относительно оси проекций г вправо Краткое изложение теоретического материала 13 Положительные координатные осина проекционном чертеже располагают следующим образом (см. рис. 1.2, б ) ось х — горизонтально (влево от точки О); • ось z — вертикально (вверх от точки О); • ось у — раздваивается и проводится как продолжение осей г их от точки О (вниз и вправо). Чертеж предмета содержит изображения проекций этого предмета. Проекции предмета строятся как проекции совокупного множества точек, определяющих и задающих поверхность этого предмета. Точки объединяются в более общие элементы прямые, плоскости и поверхности (гранные, цилиндрические, конические и т.д.). Чертеж точки содержит ее проекции, которые строятся по соответствующим координатам. На рис .1 .2 ,6 показано построение чертежа той же произвольной точки А, положение которой в пространстве определяют координаты хА, уА и гА. Для построения чертежа этой точки необходимо выполнить следующие графические действия. Влево от точки О по оси х отложить отрезок ОАх — координата хА. 2. Вниз от точки Ах отложить отрезок АуА! — координату уА (отрезок А^А' на чертеже в два раза больше, чем на наглядном изображении, в результате чего определяется горизонтальная проекция А' точки А. Вверх от точки Ах отложить отрезок А^А" — координату гА, в результате чего определяется фронтальная проекция А " точки А. Горизонтальная Аи фронтальная А " проекции точки А лежат на одной вертикальной линии, перпендикулярной оси х которая называется линией связи. Через точку А " проводят горизонтальную линию связи, перпендикулярную оси проекций г и откладывают от полученной точки Аг отрезок А^А!", равный координате уА, в результате чего получают профильную проекцию А "' точки А. Проекцию А '" можно также получить, отложив от точки О вправо по оси у отрезок ОАу = уА и проведя через точку Ау вертикальную линию до пересечения с линией связи от фронтальной проекции А " точки А. Фронтальная Аи профильная А проекции точки А лежат на одной горизонтальной линии связи, перпендикулярной оси проекций г. На рис. 1.3 показано построение чертежа точки В (20, 10, 25) по заданным координатам х у и г в миллиметрах (указаны в скобках). Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие графические построения) провести на поле чертежа оси координат х, у и г) от точки О влево отложить отрезок ОВх - = 20 мм (координатах) и через точку Вх провести вертикальную линию связи; точки в " Вг. Z у =10 в и N и & 0 У S3 и В' У Рис. 1.3. Построение чертежа 14 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и 2) 3) вниз от точки Вх по линии связи отложить отрезок ВХВ' =10 мм (координата у) и построить горизонтальную проекцию В точки В) вверх от точки Вх по линии связи отложить отрезок ВХВ " = 25 мм (координата у) и построить фронтальную проекцию В точки В) провести горизонтальную линию связи от фронтальной проекции Вот точки Вг отложить вправо отрезок ВгВ'" = 10 мм (координата г и построить профильную проекцию В" точки В. Прямая. Прямые общего и частных положений относительно плоскостей проекций. Определение натуральной величины отрезка общего положения. Понятие о следах прямой Прямые линии могут занимать различные положения относительно плоскостей проекций Ни (общее и шесть частных. В зависимости от этого прямые получают соответствующие названия, а их проекции на чертежах занимают характерные положения относительно осей проекций х у и г. Следовательно, по чертежу прямой линии можно мысленно представить ее пространственное положение относительно плоскостей проекций, те. прочитать чертеж прямой. Прямые общего положения не параллельны, а соответственно, и не перпендикулярны плоскостям проекций H ,V и W. Поэтому на чертеже их проекции не параллельны и не перпендикулярны осям проекций x,yvizvi искажают натуральную величину этих прямых. На риса дано наглядное изображение прямой общего положения АВ, а на рис. 1.4, б — проекции этой прямой и принадлежащей ей точки С. Ее фронтальная А"В" и горизонтальная А'В' проекции расположены произвольно относительно оси проекций х ноне параллельны и не перпендикулярны ей — это характерный признак прямой общего положения на чертеже. Про- Рис. 1.4. Прямая общего положения АВ (точка Се АВ) Краткое изложение теоретического материала 15 фильная проекция А'"В'" прямой общего положения также должна быть не параллельна и не перпендикулярна осям проекций z и у что подтверждается построением. Теорема о принадлежности точки прямой если точка принадлежит прямой, тона чертеже проекции точки лежат на одноименных проекциях прямой см. построение проекций точки С принадлежащей прямой АВ, на рис. Прямые особого (частного) положения параллельны, а следовательно, и перпендикулярны одной или двум плоскостям проекций. Поэтому признаку их разделяют на две группы прямые уровня и проецирующие прямые. Прямые уровня — прямые, параллельные одной плоскости проекций: • фронтальные — параллельны плоскости проекций горизонтальные — параллельны плоскости проекций Н профильные — параллельны плоскости проекций На риса дано наглядное изображение фронтальной прямой АВ, а на рис. 1.5,6 — проекции этой прямой и принадлежащей ей точки Сна рисунке Н.в. — натуральная величина. Характерные признаки расположения проекций фронтальной прямой на чертеже: • фронтальная проекция А"В " расположена коси проекций х под углом <ря» который определяет ее наклон к плоскости проекций Нона определяет натуральную величину прямой АВ; • горизонтальная проекция А'В' параллельна оси проекций х профильная проекция А'"В"' параллельна оси проекций г. Рис. 1.5. Фронтальная прямая (АВ | | V, Се АВ) На риса дано наглядное изображение горизонтальной прямой CD, а на рис. 1.6, б — проекции этой прямой и принадлежащей ей точки Е Характерные признаки расположения проекций горизонтальной прямой на чертеже: • фронтальная проекция C''D" параллельна оси проекций х горизонтальная проекция C'D' расположена коси проекций х под углом <$v, который определяет ее наклон к плоскости проекций V; она определяет натуральную величину прямой профильная проекция C"'D"' параллельна оси проекций у 16 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и Рис. 1.6. Горизонтальная прямая (CD || НЕ е На риса дано наглядное изображение профильной прямой EF, а на рис. 1.7, б — проекции этой прямой и принадлежащей ей точки N. Характерные признаки расположения проекций профильной прямой на чертеже: • фронтальная проекция E"F" перпендикулярна оси проекций х (параллельна оси проекций горизонтальная проекция E'F' перпендикулярна оси проекций х (параллельна оси проекций у); • профильная проекция E'"F'" расположена под углом (fv к плоскости проекций V и под углом <ря к плоскости проекций Нона определяет натуральную величину прямой Рис. 1.7. Профильная прямая (EF ]| W , N е Деление отрезка в заданном отношении на чертеже На рис. 1.7, б показано также построение горизонтальной проекции N' точки N, принадлежащей профильной прямой EF. Оно основано на одном из свойств параллельного проецирования отношение отрезков прямой равно отношению их проекций Краткое изложение теоретического материала 17 Пусть точка N делит отрезок EF в каком-то отношении. Следовательно, проекции отрезка делятся в том же отношении. Если, например, дана фронтальная проекция N" точки N, принадлежащей отрезку EF, то для построения горизонтальной проекции N' на горизонтальной проекции E'F' отрезка нужно выполнить следующие графические действия. Провести произвольную прямую т из любой конечной точки горизонтальной проекции E'F'. 2. Отложить на этой прямой два отрезка отрезок E'F0, равный по величине фронтальной проекции E"F", и отрезок E'N0, равный по величине E"N". 3. Соединить прямой точки F0 и F'. 4. Из точки N q провести прямую, параллельную прямой F0F\ Точка пересечения этой прямой и проекции E'F' и будет искомой проекцией N' точки Проецирующие прямые — прямые, перпендикулярные одной плоскости проекций (параллельны двум плоскостям проекций): • фронтально-проецирующие — перпендикулярны плоскости проекций V параллельны плоскостям проекций Ни горизонтально-проецирующие — перпендикулярны плоскости проекций Н (параллельны плоскостям проекций V и W); • профильно-проецирующие — перпендикулярны плоскости проекций W (параллельные плоскостям проекций Ни Поскольку положение проецирующей прямой совпадает по направлению с проецирующим лучом к одной из плоскостей проекций, то ее соответствующая проекция проецируется (вырождается) в точку. Говорят, что проецирующие прямые обладают собирательным свойством, так каких вырожденные проекции-точки собирают, те. представляют собой, проекции всех точек, лежащих на этих прямых. На риса дано наглядное изображение фронтально-проецирующей прямой CD, а на рис. 1.8, б — проекции этой прямой и принадлежащей ей а z 5 z Н.6. ЧУ Рис. 1.8. Фронтально-проецирующая прямая (CD L V ; Си конкурирующие точки 18 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и точки N. Характерные признаки расположения проекций фронтально-прое цирующей прямой на чертеже: • фронтальная проекция C"D" представляет собой точку, те. фронтальные проекции точек С, D viN совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций горизонтальная проекция C'D' расположена перпендикулярно оси проекций хи определяет натуральную величину прямой профильная проекция C'"D"' расположена перпендикулярно оси проекций г и также определяет натуральную величину прямой Конкурирующие точки — точки, лежащие на одном проецирующем луче. На рис. 1.8 точки С, D n N являются конкурирующими и по их расположению на прямой относительно плоскости V по их координатам у можно определить порядок их видимости на горизонтальной проекции ближе к наблюдателю и дальше от плоскости V (с наибольшей координатой у находится точка D, затем следуют точка N и точка С. На риса дано наглядное изображение горизонтально проецирующей прямой АВ, а на рис. 1.9, б — проекции этой прямой и принадлежащей ей точки С Характерные признаки расположения проекций горизонтально- проецирующей прямой на чертеже: • фронтальная проекция А "В " расположена перпендикулярно оси хи определяет натуральную величину прямой АВ; • горизонтальная проекция А'В' представляет собой точку, те. горизонтальные проекции точек А, В и С совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций Н; • профильная проекция А'"В"' перпендикулярна оси у (параллельна оси г и также определяет натуральную величину прямой. На риса дано наглядное изображение профилъно-проецирующей прямой EF, а на рис. 1.10, б — проекции этой прямой и принадлежащей ей Н 2 А"< У А. В ?А"' С" ■Г" 11 1 I 1 1 1 В \ X 'В'" У о р Q Q < < В' У м Рис. 1.9. Горизонтально-проецирующая прямая (АВ _L НС е АВ) Краткое изложение теоретического материала 19 Рис. 1.10. Профильно-проецирующая прямая (EF ± W , М е точки М . Характерные признаки расположения проекций профильно-прое- цирующей прямой на чертеже: • фронтальная проекция E"F" расположена параллельно оси хи определяет натуральную величину прямой горизонтальная проекция E'F' расположена параллельно оси хи также определяет натуральную величину прямой профильная проекция E'"F'" представляет собой точку, те. профильные проекции точек Е, Мт/iF совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций Построение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов ее наклона к плоскостям проекций Ни У выполняется способом прямоугольного треугольника. Натуральной величиной (Н.в.) заданного на чертеже отрезка прямой общего положения является гипотенуза построенного прямоугольного треугольника, один катет которого — горизонтальная (или фронтальная) проекция отрезка, а второй — разница координат Дг (или Ду) конечных точек этого отрезка относительно оси проекций х (рис. 1.11, а). Для построения на чертеже натуральной величины заданного отрезка АВ способом прямоугольного треугольника относительно фронтальной (горизонтальной) его проекции необходимо выполнить следующий графический алгоритм (рис. 1.11, б. Провести линию т перпендикулярную к фронтальной проекции А"В" отрезка АВ. 2. На этой прямой отложить отрезок В"В0, равный разнице координат Ду горизонтальных проекций А (Аи В (В) отрезка относительно оси проекций х. Достроить гипотенузу А В прямоугольного треугольника, которая является искомой натуральной величиной отрезка АВ. Аналогичные построения, выполненные относительно горизонтальной проекции А'В' отрезка, также определяют натуральную величину заданного отрезка — гипотенузу В'А0. 20 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и НА АВ Рис. 1.11. Построение натуральной величины отрезка общего положения В построенных прямоугольных треугольниках углы между проекциями отрезка АВ и гипотенузой определяют: • угол (f>v между фронтальной проекцией А "В " и гипотенузой А В определяет наклон отрезка к плоскости проекций угол фя между горизонтальной проекцией А'В' и гипотенузой В А 0 определяет наклон отрезка к плоскости проекций Н. В задачах по начертательной геометрии час- НА АК то требуется построить на прямой общего положения, не имеющей второй конечной точки, проекции отрезка какой-либо заданной величины. На рис. 1.12 показано построение на прямой пс одной конечной точкой А проекции отрезка АВ заданной величины 25 мм. Для этого выполняется следующий графический алгоритм. Ограничить прямую п произвольным отрезком АК {А'К', А "К "). 2. Построить натуральную величину произвольного отрезка АК способом прямоугольного треугольника относительно фронтальной проекции А "К " это гипотенуза А "К 0. 3. На построенной натуральной величине А "Кот точки А " отложить отрезок, равный 25 мм, и построить точку Б. Из построенной точки Во опустить перпендикулярна проекцию п заданной прямой пи получить точку В те. построить фронтальную проекцию А"В” отрезка АВ. 5. По линии связи определить горизонтальную проекцию В точки Б, те. построить горизонтальную проекцию А'В' отрезка АВ. Рис. 1.12. Построение проекций отрезка заданной величины Краткое изложение теоретического материала 21 Рис. 1.13. Построение следов прямой Следами прямой называются точки ее пересечения с плоскостями проекций (риса. На рис. 1.13, б показано построение на чертеже фронтального и горизонтального следов прямой АВ и определено прохождение прямой по октантам пространства из IV через I во II. 1.4. Взаимное положение двух прямых. Теорема о проекции прямого угла. Перпендикулярные прямые Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекаться или скрещиваться. Характерные признаки расположения на чертеже проекций двух различно расположенных прямых: • параллельных — если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на чертеже также параллельны. На рис. 1.14 изображены параллельные прямые АВ и CD. На чертеже их фронтальные и горизонтальные проекции параллельны А "В " | | C D " nA'B' || пересекающихся — если прямые в пространстве пересекаются, тона чертеже проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии связи. На рис. 1.15 изображены пересекающиеся прямые EF и KN. Проекции точки их пересечения ММ, М лежат на пересечении одноименных проекций прямых и на одной линии связи; • скрещивающихся — если две прямые не параллельны и не пересекаются, то они в пространстве скрещиваются. На чертеже их проекции могут накладываться, образуя конкурирующие точки, лежащие на одном проецирующем луче. На рис. 1.16 изображены проекции двух скрещивающихся прямых АВ и CD. Их одноименные проекции накладываются и образуют четыре конкурирующие точки (две пары): • конкурирующие точки 1 и 2 лежат на одном проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций Н но принадлежат разным прямым 22 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и точка 1 принадлежит прямой АВ, а точка 2 принадлежит прямой CD; горизонтальные проекции точек 1 и 2 совпадают конкурирующие точки 3 и 4 лежат на проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций V, но принадлежат разным прямым точка 3 принадлежит прямой CD, а точка 4 принадлежит прямой АВ; фронтальные проекции точек 3 и 4 совпадают. Конкурирующие точки, как было сказано выше, позволяют наблюдателю определить по чертежу относительное расположение прямых по их удаленности от плоскостей проекций Ни По конкурирующим точками при взгляде сверху на плоскость Н (по стрелке) видно, что точка 1 расположена выше точки 2 (г г г, те. на горизонтальной проекции прямая АВ расположена над прямой CD. По конкурирующим точками при взгляде снизу Рис. 1.14. Параллельные прямые (АВ || CD): а — наглядное изображение б — чертеж Рис. 1.15. Пересекающиеся прямые (E F n KN ): а — наглядное изображение б — чертеж Краткое изложение теоретического материала 23 на плоскость V (по стрелке) видно, что точка 3 расположена ближе к наблюдателю (1/3 > у те. на фронтальной проекции прямая CD расположена перед прямой АВ. Пересекающиеся прямые в пространстве могут быть расположены под прямым углом, те. взаимно перпендикулярно. Прямой угол между перпендикулярными прямыми может проецироваться на чертеж в натуральную величину при определенном условии. Теорема о проекции прямого угла если одна сторона прямого угла параллельна какой-ли- Ъо плоскости проекций, а вторая сторона ей не перпендикулярна и не параллельна, тона эту плоскость проекций угол проецируется в натуральную величину, те. прямым (Пусть две перпендикулярные прямые АВ иАС, образующие плоскость Р, проецируются на некоторую плоскость проекций Н (рис. Прямая АС по условию параллельна этой плоскости проекций. Доказательство теоремы основано на известной из геометрии теореме о трех перпендикулярах (обратная теорема прямая п, проведенная в плоскости Н перпендикулярно наклонной прямой АВ (га _1_ АВ; п || АС, перпендикулярна и ее проекции следовательно, угол БнАдСя — прямой. Для решения многих задач начертательной геометрии требуется по условию строить проекции прямого угла. А Рис. 1.16. Скрещивающиеся прямые Рис. 1.17. Проекция прямого угла 24 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и На рис. 1.18 показано построение на чертеже недостающей фронтальной проекции прямого угла KMN. Графическое условие задачи дана горизонтальная проекция K'M'N' прямого угла и фронтальная проекция M "N " одной его стороны. MNWV М ' Рис. 1.18. Построение фронтальной проекции прямого угла о — графическое условие задачи б — решение Так как сторона M N прямого угла по условию является фронтальной прямой, те. параллельна фронтальной плоскости проекций V, то по теореме о проекции прямого угла заданный прямой угол KMN должен проецироваться на плоскость V прямым. Следовательно, фронтальную проекцию КМ стороны КМ прямого угла проводим перпендикулярно заданной фронтальной проекции стороны MN (M "N "На рис. 1.19 показано построение на чертеже недостающей горизонтальной проекции прямого угла ECD. Графическое условие задачи дана фронтальная проекция E"C"D" прямого угла и горизонтальная проекция C'D' одной его стороны. Так как сторона CD прямого угла по условию является горизонтальной прямой, те. параллельна горизонтальной плоскости проекций Н то по теореме о проекции прямого угла заданный прямой угол ECD должен проеци- 5 Рис. 1.19. Построение горизонтальной проекции прямого угла а — графическое условие задачи б — решение Краткое изложение теоретического материала 25 роваться на плоскость Н прямым. Следовательно, горизонтальную проекцию Е'С' стороны ЕС прямого угла проводим перпендикулярно заданной горизонтальной проекции стороны CD (C'D'). 1.5. Плоскость Из геометрии известно, что плоскость в пространстве определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана: • проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 1.20, а); • проекциями прямой и точки, взятой вне ее (рис. 1.20, б); • проекциями двух параллельных прямых (рис. 1.20, в проекциями двух пересекающихся прямых (рис. 1.20, г проекциями замкнутого отсека любой формы — треугольника, четырехугольника и т.д. (см. рис. 1.21). А' о А' В'1 О Г о с В' а (А, В, С) В' о Р АС В) Рис. 1.20. Способы задания плоскости на чертеже. Точка и прямая в плоскости Из геометрии известны теоремы о принадлежности точки и прямой плоскости. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой линии, лежащей в этой плоскости. Прямая линия принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в этой плоскости. На рис. 1.21 показано применение этих теорем для построения горизонтальной проекции точки К (К, К лежащей в плоскости, заданной треугольником ABC. Для решения этой задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм. Провести в заданной плоскости фронтальную проекцию вспомогательной прямой т (т") В" Г С Рис. 1.21. Точка в плоскости (а(ДABC); K 26 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и через две точки этой плоскости — например, через точку А (Аи заданную фронтальную проекцию точки К (К эта прямая пересечет сторону ВС треугольника в точке 1 (1", Г. Провести горизонтальную проекцию вспомогательной прямой т (т) через горизонтальные проекции точек А Аи (Г ). 3. Построить по линии связи на горизонтальной проекции вспомогательной прямой т (т искомую горизонтальную проекцию точки К (К) На рис. 1.22 показано решение задачи, в которой требуется достроить горизонтальную проекцию четырехугольника ABCD (A"B” C"D", A'B'C'D'). Для этого необходимо выполнить следующие графические построения) провести проекции диагонали АС (А"С",А'С'); 2) провести фронтальную проекцию диагонали BD (B"D"); 3) определить проекции вспомогательной точки 1 (1", Г принадлежащей диагоналям АС и BD; 4) провести через точки В'и 1' горизонтальную проекцию диагонали d (d'), на которой должна лежать проекция вершины D (Рис. 1.22. Построение горизонтальной проекции четырехугольника а — графическое условие задачи б — решение) построить по линии связи горизонтальную проекцию D' вершины D по ее принадлежности прямой d (d')\ 6) достроить горизонтальную проекцию A'B'C'D' четырехугольника Прямые в плоскости могут занимать общее или особые (частные) положения. Прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций V, называются фронталями f (f", Прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций Н называются горизонталями h (h", На рис. 1.23 показано построение в плоскости треугольника DEF проекций фронтали и горизонтали. Поскольку фронталь плоскости f параллельна фронтальной плоскости проекций V, построение ее проекций следует начинать с горизонтальной Краткое изложение теоретического материала 27 проекции фронтали f , которая на чертеже должна быть параллельна оси х Фронтальная проекция фронтали f строится по ее принадлежности заданной плоскости с помощью вспомогательной точки 1 (Г , Поскольку горизонталь плоскости h параллельна горизонтальной плоскости проекций Н построение ее проекций следует начинать с фронтальной проекции горизонтали h", которая на чертеже должна быть параллельна оси х Горизонтальная проекция горизонтали h' строится по ее принадлежности заданной плоскости с помощью вспомогательной точки 2 (2', Прямые линии, лежащие в плоскости и перпендикулярные горизонтали этой плоскости, называются линиями наибольшего наклона (ската). Они определяют угол наклона плоскости к плоскости проекций Н. На риса изображена линия наибольшего ската т в плоскости а, а на рис. 1.24, б — построение ее проекций на чертеже этой плоскости. Рис. 1.23. Построение проекций фронтали и горизонтали плоскости общего положения а Линия наибольшего б Рис. 1.24. Линия наибольшего ската плоскости Следами плоскости называются линии, по которым плоскость пересекается с плоскостями проекций: • горизонтальный след — линия пересечения плоскости с плоскостью проекций Н; • фронтальный след — линия пересечения плоскости с плоскостью проекций профильный след — линия пересечения плоскости с плоскостью проекций W. 28 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и На чертежах вырожденные в прямые линии проекции плоскостей частного положения совпадают с соответствующими следами этих плоскостей и их можно обозначать как следы этих плоскостей (см. рис. 1.25-1.30). 1.5.2. Положение плоскости относительно плоскостей проекций Относительно плоскостей проекций V, Ни плоскости в пространстве могут занимать семь различных положений — общее и шесть частных. Они имеют соответствующие названия и характерные признаки на чертежах. Следовательно, по заданным проекциям плоскости можно представить ее положение в пространстве, те. прочитать чертеж плоскости. Рис. 1.25. Фронтально-проецирующая плоскость (Р (DE n EF) I V ; h I V ; К ер Краткое изложение теоретического материала 29 П л ос кость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения (см. рис. 1.20-1.23). Характерные признаки плоскости общего положения на чертеже: • ни одна ее проекция не вырождается в линию; • каждая проекция искажает величину той формы, которой плоскость задана на чертеже. Плоскости частного положения перпендикулярны одной или двум плоскостям проекций. В соответствии с этим их делят на две группы проецирующие плоскости и плоскости уровня. Проецирующие плоскости перпендикулярны одной из плоскостей про екций: • фронтально-проецирующие — фронтальной плоскости проекций V; • горизонтально-проецирующие — горизонтальной плоскости проекций Н ; • профильно-проецирующие — профильной плоскости проекций На рис. 1.25 фронтально-проецирующая плоскость |3 задана двумя пересекающимися прямыми DE и EF; горизонталь плоскости h преобразуется здесь во фронтально-проецирующую прямую (Л _L V). Характерные признаки фронтально-проецирующей плоскости на чертеже: • ее фронтальная проекция представляет собой прямую, наклоненную коси проекций х под углом фя (вырожденная проекция (V), который определяет угол наклона плоскости Р к плоскости проекций Н; • горизонтальная и профильная проекции плоскости представляют собой искаженную по величине форму, которой эта плоскость задана на чертеже. На рис. 1.26 горизонталъно-проецирующая плоскость а задана треугольником ABC; фронталь плоскости f преобразуется в горизонтально-проеци- Рис. 1.26. Горизонтально-проецирующая плоскость (а А, В, С) LH\ f L Н 30 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и 2) рующую прямую (f -L Н Характерные признаки горизонтально-проеци- рующей плоскости на чертеже: • ее горизонтальная проекция представляет собой прямую, наклоненную коси проекций х под углом (вырожденная проекция av), который определяет угол наклона плоскости а к плоскости проекций фронтальная и профильная (не показана) проекции плоскости представляют собой искаженную по величине форму, которой эта плоскость задана на чертеже. На рис. 1.27 профилъно-проецирующая плоскость 8 задана двумя параллельными прямыми KL и MN; фронталь и горизонталь плоскости преобразуются в профильно-проецирующие прямые (не показаны. Характерные признаки профильно-проецирующей плоскости на чертеже: • ее профильная проекция представляет собой прямую, наклоненную к осям проекций z и у (вырожденная проекция 5W), и определяет углы наклона плоскости 5 к плоскостям проекций Уи Н; Рис. 1.27. Профильно-проецирующая плоскость (8 (KL | | MN) ± фронтальная и горизонтальная проекции этой плоскости представляют собой искаженную по величине форму, которой эта плоскость задана на чертеже. Плоскости частного положения, перпендикулярные двум плоскостям проекций и параллельные третьей плоскости проекций, называются плоскостями уровня: • фронтальная плоскость уровня параллельна плоскости проекций V и перпендикулярна плоскостям Ни горизонтальная плоскость уровня параллельна плоскости проекций Ни перпендикулярна плоскостям У и W; • профильная плоскость уровня параллельна плоскости проекций W и перпендикулярна плоскостями Н Краткое изложение теоретического материала 31 На рис. 1.28 фронтальная плоскость уровня (3 задана параллелограммом KEFD; фронтальная проекция этой плоскости является ее натуральной ве личиной. Рис. 1.28. Фронтальная плоскость уровня (Р (KE FD ) | | V; р ± Н ; Р J. W Характерный признак фронтальной плоскости уровня на чертеже ее горизонтальная и профильная проекции представляют собой прямые, параллельные осям проекций хтлг (вырожденные проекции (Зя и (3^ соответственно). На рис. 1.29 горизонтальная плоскость уровня задана треугольником ABC", горизонтальная проекция этой плоскости является ее натуральной ве личиной. Рис. 1.29. Горизонтальная плоскость уровня (a (AABC) || На а ± W Характерный признак горизонтальной плоскости уровня на чертеже ее фронтальная и профильная проекции проецируются в прямые, параллельные осям проекций хи у (вырожденные проекции <ХуИ aw соответственно 32 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и На рис. 1.30 профильная плоскость уровня задана кругом с центром в точке О, ее профильная проекция имеет натуральную величину этого круга. Рис. 1.30. Профильная плоскость уровня ( 6 1| W ; 8 ± V; 8 1 Н Характерный признак профильной плоскости уровня на чертеже ее фронтальная и горизонтальная проекции представляют собой прямые, перпендикулярные оси проекций хи параллельные осями у (вырожденные проекции и 8# соответственно. Проведение плоскости частного положения через прямую общего положения Очень часто для решения различных задач требуется провести через прямую общего положения плоскость частного положения. Это графическое действие называется заключить прямую в плоскость частного положения проецирующую или уровня) (рис. Рис. 1.31. Заключение прямой в плоскость частного положения а, б — фронтально-проецирующую (АВ св горизонтально-проецирующую (CD с 5) Краткое изложение теоретического материала 33 На риса, б прямая общего положения АВ (А"В" ,А'В') заключена во фронтально-проецирующую плоскость р. Это означает, что прямая лежит в этой плоскости и, следовательно, фронтальный след плоскости P(Pv) совпадает с фронтальной проекцией прямой АВ (А"В"). Графически это действие оформляется продолжением фронтальной проекции прямой с обозначением следа надписью Р. Горизонтальная проекция плоскости Р на чертеже не оформляется, но подразумевается (на рисунке показана ограниченным тонкой волнистой линией отсеком произвольной формы, так как плоскость в пространстве не имеет границ). На рис. 1.31, в прямая общего положения C D (C "D ’', C 'D ') заключена в го- ризонтально-проецирующую плоскость 8. Графически это действие оформляется обозначением следа плоскости на продолжении горизонтальной проекции заданной прямой надписью Я. Взаимное положение двух плоскостей, прямой и плоскости Две плоскости в пространстве могут быть параллельны или пересекаться. Прямая может быть параллельна плоскости, пересекать ее или принадлежать ей. Параллельность плоскостей, прямой и плоскости Параллельность плоскостей Из геометрии известно если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны Следовательно, на чертеже у параллельных плоскостей должны быть параллельны одноименные проекции двух пересекающихся прямых, лежащих в каждой из плоскостей. Этот признак используется для определения на чертеже параллельности двух заданных плоскостей и построения параллельных плоскостей. На рис. 1.32 показано построение плоскости (3, проведенной через заданную точку А (А, А параллельно заданной плоскости ат п Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие графические действия. В заданной плоскости а построить вспомогательную прямую, например горизонталь h (h", h'), те. создать в плоскости пересекающиеся прямые. Через заданную точку А (А, А провести две пересекающиеся прямые bvid, параллельные двум пересекающимся прямым mvih заданной плоскости а прямую Ъ (Ъ, Ь параллельно прямой т (т, т или п (п, п'); Рис. 1.32. Построение плоскости р, параллельной заданной плоскости а ат пр а 34 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и прямую d (d", d') параллельно вспомогательной прямой h (Л, Л'). Построенная плоскость р (b n d) будет параллельна заданной плоскости ат п так как две пресекающиеся прямые т и Л плоскости а соответственно параллельны двум пересекающимся прямым b я d построенной плоскости р. Параллельность прямой и плоскости. Из геометрии известно прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, на чертеже (см. рис. 1.32) прямая Ъ параллельна плоскости ат п так как проекции прямой Ъ ф, Ъ проведены параллельно одноименным проекциям прямой т (т, т лежащей в этой плоскости. Пересечение плоскостей, прямой и плоскости Общим элементом пересечения двух плоскостей является прямая линия принадлежащая обеим плоскостям. Плоскости, как известно, могут занимать частные и общее положения относительно плоскостей проекций, и поэтому при пересечении двух плоскостей возможны три случая. Обе плоскости занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае искомой линией пересечения является проецирующая прямая, проекция которой, вырожденная в точку, лежит на пересечении вырожденных в прямые проекциях плоскостей. На рис. 1.33 изображены две пересекающиеся фронтально-проецирую- щие плоскости аи Р, элементом пересечения которых является фронталь- но-проецирующая прямая т (горизонтально-проецирующие плоскости пересекаются по горизонтально-проецирующей прямой. Фронтальная, вырожденная в точку, проекция линии пересечения т (гаг) лежит на пересечении фронтальных, вырожденных в прямые, проекциях (следах) плоскостей, Рис. 1.33. Пересечение плоскостей частного положения ара Рта наглядное представление б — чертеж Краткое изложение теоретического материала 35 а горизонтальная проекция линии пересечения т (т) представляет собой прямую, перпендикулярную оси х. Только одна из плоскостей занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае одна из проекций искомой линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости частного положения, а другую проекцию линии пересечения требуется построить. На рис. 1.34 изображены две пересекающиеся плоскости плоскость а заданная своим горизонтальным следом ан , — горизонтально-прое- цирующая, и плоскость, заданная треугольником ABC, — плоскость общего положения. Горизонтальная проекция MN (M'N') искомой линии пересечения плоскостей в этом случае совпадает со следом ан плоскости а, а фронтальная проекция M"N" линии пересечения построена по принадлежности точек Ми сторонам треугольника ABC. 3. Пересечение двух плоскостей общего положения, проекции которых в пределах чертежа накладываются, — будет рассмотрено в Если пересекаются три плоскости то элементом их пересечения является точка. Общим элементом пересечения прямой и плоскости является точка принадлежащая и прямой, и плоскости. Поскольку и прямая, и плоскость могут занимать различные положения относительно плоскостей проекций, то при их пересечении также возможны три случая. И прямая, и плоскость занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае проекции искомой точки пересечения определяются на характерных (вырожденных) проекциях прямой и плоскости. На риса изображена горизонтальная плоскость уровня ат п пересекающаяся с горизонтально-проецирующей прямой k(k", ft')- Фронтальная проекция точки их пересечения О (О) лежит на фронтальном следе плоскости av, а горизонтальная проекция точки их пересечения О (O') совпадает с вырожденной в точку горизонтальной проекцией прямой ft (ft'). 2. Только один элемент (прямая или плоскость) занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае одна из проекций точки пересечения совпадает с характерной (вырожденной) проекцией элемента частного положения, а другую проекцию точки пересечения требуется построить. На рис. 1.35, б изображены пересекающиеся фронтально-проецирующая прямая ft (ft", ft') и плоскость общего положения, заданная треугольником ABC. В этом случае фронтальная проекция точки пересечения О (О совпадает с вырожденной в точку проекцией прямой k (k"), а горизонтальная проекция точки пересечения О (O') построена по принадлежности точки О плоскости ABC с помощью вспомогательной прямой т. В" Рис. 1.34. Пересечение горизонтально-проецирую- щей плоскости аи плоскости общего положения (ABC) 36 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и 2) а 5 щ А // О" 'С " В‘ ■С' Рис. 1.35. Пересечение прямой и плоскости а — прямая и плоскость частного положения (k J-H; ат || п _L V); б — прямая фронтально-проецирующая, плоскость общего положения (А -L V) 3. Оба пересекающихся элемента занимают общее положение относительно плоскостей проекций, те. пересекается плоскость общего положения с прямой общего положения. В этом, самом сложном для решения, случае для построения точки пересечения элементов следует применить вспомогательные построения, чтобы привести условие задачи к более легкому для решения 2-му случаю, те. прямую общего положения заменить элементом частного положения, заключив эту прямую в плоскость частного положения. На рис. 1.36 наглядно показано это действие. Прямая общего положения k пересекается с плоскостью общего положения а (ААВС). Для решения задачи через прямую проведена некоторая вспомогательная плоскость (3, те. прямая заключена в плоскость р. Далее определяется вспомогательная линия 1 -2 пересечения двух плоскостей — заданной и вспомогательной. Искомая точка О лежит на пересечении заданной прямой к и вспомогательной линии пересечения 1 -2 к е [ Р±а/Д. Вспомогательная плоскость Рис. 1.36. Пересечение прямой и плоскости общего положения Краткое изложение теоретического материала 37 На рис. 1.37 показано построение на чертеже точки пересечения ООО плоскости общего положения, заданной треугольником CDE, с прямой общего положения к (к, к'). Для решения задачи необходимо выполнить следующий графический алгоритм. Заключить прямую кво вспомогательную, например горизонтально-проецирую- щую, плоскость а, задав ее горизонтальным следом ая к с а (ая )). 2. Построить проекции вспомогательной линии пересечения 1 -2 (1 "-2 ", Г - 2') заданной плоскости CDE со вспомогательной плоскостью а (а n Р (CDE)): • 1 '-2' совпадает со следом вспомогательной плоскости а (ая ); • 1 "-2 " строится по принадлежности точек 1 и 2 сторонам СЕ и DE плоскости Р Д. Определить проекции искомой точки пересечения ООО заданных элементов: • фронтальная проекция О определяется на пересечении фронтальной проекции заданной прямой к (к и построенной фронтальной проекции Г '-2 " вспомогательной линии пересечения ((1 "-2 ") п к"); • горизонтальная проекция О определяется на горизонтальной проекции к к заданной прямой по линии связи О е к. Определить на проекциях относительную видимость прямой и плоскости по конкурирующим точками При взгляде на горизонтальную проекцию сверху (по стрелке Н по фронтальным проекциям точек 1" и 3" можно определить, что ближе к наблюдателю находится точка 1, лежащая на прямой СЕ а точка 3, принадлежащая прямой к расположена ниже. Это значит, что на горизонтальной проекции прямая к (к вниз от точки пересечения О (O') уходит под плоскостьCDE. Аналогично, рассмотрев конкурирующие точки 4 и 5 при взгляде по стрелке V, по их горизонтальным проекциям можно определить относительную видимость прямой и плоскости на фронтальной проекции чертежа — прямая k (к вверх от точки О (О находится над плоскостью CDE. 1.6.3. Пересечение двух плоскостей общего положения При задании пересекающихся плоскостей общего положения на чертеже возможны два варианта) проекции плоскостей в пределах чертежа не накладываются) проекции плоскостей в пределах чертежа накладываются. Рис. 1.37. Построение точки пересечения прямой и плоскости общего положения (1 - 2 линия пересечения 38 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и Для каждого варианта существуют различные рациональные способы построения линии пересечения. Рассмотрим наиболее часто встречающийся в различных задачах й вариант, когда проекции плоскостей накладываются. Построение проекций линии пересечения сводится в этом случае к построению точек пересечения двух любых прямых одной плоскости с другой плоскостью, тек выполнению дважды графического алгоритма построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения (см. рис. На рис. 1.38 показан пример построения линии пересечения плоскостей общего положения a (ABC) и Р (m | | га, проекции которых на чертеже накладываются. Линия пересечения построена по точкам К и М пересечения прямых тип которыми задана плоскость Рт пс плоскостью a (ABC), для чего был выполнен предложенный графический алгоритм. Построение точки К (К, К пересечения прямой т с плоскостью a (ABC): 1.1) заключить прямую т во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость у и обозначить ее фронтальный след yv; 1.2) построить проекции вспомогательной линии пересечения 1 -2 (1 "-2 ", Г -2 ') заданной плоскости a (ABC) со вспомогательной плоскостью у) определить проекции точки К (К, К пересечения прямой т с плоскостью а. Построение проекции точки ММ, М пересечения прямой пс плоскостью а повторить действия 1.1-1.3. Соединить прямойодноименные проекции построенных точек К и М. Определение видимости плоскостей относительно построенной линии пересечения КМ по двум парам конкурирующих точек и 5 — для определения видимости на фронтальной проекции и 7 — для определения видимости на горизонтальной проекции. Примеры решения задач Задача 1. Построить фронтальную и горизонтальную проекции ромба ABCD с диагоналями АС и BD по заданному условию (рис. 1.39): вершина ромба — точка А — дана, а диагональ АС лежит на заданной прямой уровня AL; вто Рис. 1.38. Пересечение плоскостей общего положения Примеры решения задач 39 рая диагональ ромба BD равна 130 мм и проходит через заданную точку К Диагональ ромба АС определяется построениями. Определить углы наклона диагонали ромба BD к плоскостям проекций Ни V. А L К X 55 190 115 У 50 50 70 Z 95 15 85 Рис. 1.39. Графическое условие задачи Для решения задачи рассмотрим ромб как геометрическую фигуру диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения (точка О) делятся пополам. По заданным координатам точек построим на левой половине листа графическое условие задачи (рис. 1.40, задача 1): проекции фронтальной прямой уровня AL (A"L” , A'L') и проекции точки К (К, КВ левом верхнем углу выполним таблицу с координатами точек. План графических действий. Построим фронтальную и горизонтальную проекции прямой общего положения т (т, т проходящей через точку К (К, К на которой будет лежать диагональ ромба фронтальная проекция т этой прямой перпендикулярна фронтальной проекции A"L" прямой уровняв соответствии с теоремой о проекции прямого угла) и проходит через фронтальную проекцию К " точки К; • фронтальная проекция О" точки пересечения диагоналей ромба определяется на пересечении фронтальных проекций заданной прямой уровня AL {А"Ь") и построенной прямой т (та ее горизонтальная проекция О' построена по линии связи на проекции A'L' прямой горизонтальная проекция прямой т (т) проходит через горизонтальные проекции точек О (O') и К (К. Построим на прямой общего положения т (т, т проекции отрезка ОВ = 65 мм (половина диагонали ромба BD, построение см. на рис. 1.11 и 1.12), те. построим проекции вершины В (В, В ромба 40 1. Графическая работа № 1 (задачи 1 и 2) |