Начертательная_геометрия_ЗЕЛЕНАЯ. Начертательная
 Скачать 7.88 Mb.
|
11. ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 11 задачи 18 и Тема аксонометрические проекции225 Аксонометрические проекции как проекции параллельные имеют некоторые свойства параллельных проекций: • аксонометрическая проекция отрезка прямой также является прямой; • если отрезки прямых параллельны на предмете, они параллельны и на его аксонометрической проекции; • аксонометрической проекцией окружности в общем случае является эллипс. На рис. 11.1 показана схема проецирования точки А, построенной на чертеже в системе натуральных прямоугольных координат Oxyz и отнесенной к этим же координатам, на некоторую плоскость аксонометрических проекций а по направлению проецирования Положение точки А определяется в этой системе пространственной координатной ломаной ОАуА'А, отрезки которой соответствуют координатам х у и г точки А. На взятой произвольно плоскости аксонометрических проекций а получены три прямые ха, уа и za, выходящие из точки Оа, которые называние. 11.1. Построение аксонометрической проекции точки А 226 11. Графическая работа № 11 (задачи 18 и 19) ются аксонометрическими осями и являются проекциями пространственных координатных осей хук которым отнесена точка А. Полученные углы между аксонометрическими осями зависят от положения аксонометрической плоскости и угла проецирования к этой плоскости. На аксонометрии положение точки А а определяет плоская координатная ломаная ОаА ХаА'аА а отрезки которой соответствуют аксонометрическим координатам ха, уа и га. Поскольку направление проецирования S не параллельно ни одной из осей системы прямоугольных пространственных координат, то истинные размеры отрезков пространственной координатной ломаной OA^A'A на аксонометрической проекции искажаются. Следовательно, искажаются и размеры любого предмета на его аксонометрическом изображении. Для определения степени искажения размеров предмета на аксонометрических проекциях введено понятие коэффициентов искажения по аксонометрическим осям. Если на осях х у viz системы натуральных прямоугольных координат отложить от точки О равные масштабные отрезки ех = еу = ег, тов системе аксонометрических координатных осей получаются искаженные проекции этих отрезков еХа , еУа и eZa . Отношения аксонометрических проекций масштабных отрезков к натуральным величинам масштабных отрезков и называются коэффициентами искажения по аксонометрическим осям: Расчетные коэффициенты искажения имеют дробные значения, неудобные для выполнения аксонометрических построений (0,82; 0,47 и т.д.). Поэтому для построения на чертежах аксонометрических проекций пользуются так называемыми приведенными коэффициентами искажения округленными доили Математические (тригонометрические) расчеты величин коэффициентов искажения, углов между аксонометрическими осями, расположение и размеры больших и малых осей эллипсов здесь не рассматриваются (подробнее об этом см. в В зависимости от соотношения коэффициентов искажения аксонометрические проекции разделяются) на изометрические, у которых все коэффициенты искажения равны, те. Кх Ку К 2, 2) диметрические, у которых два коэффициента равны, те. К х = Кг * Ку триметрические, у которых все коэффициенты разные, те К х^К уФ Кг. В зависимости от угла наклона проецирующих лучей к плоскости аксонометрических проекций (угла проецирования) аксонометрические проекции разделяются) на прямоугольные — проецирующие лучи перпендикулярны аксонометрической плоскости проекций (угол проецирования равен 90°); 2) косоугольные — проецирующие лучине перпендикулярны аксонометрической плоскости проекций (угол проецирования неравен оси ха, уа, /а Рис. 11.2. Рисунок к теореме Польке — Шварца Основная теорема аксонометрических проекций была сформулирована в 1851 г. немецким геометром К. Польке Любые три отрезка на плоскости, выходящие из одной точки, могут быть приняты за параллельные проекции те. аксонометрические проекции) трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков (аксонометрических осей) в пространстве». Г. Шварц, немецкий математик, обобщил теорему К. Польке, доказав, что любой полный выпуклый четырехугольник на плоскости всегда является параллельной проекцией некоторого масштабного тетраэдра (пирамиды, имеющего равные и взаимно перпендикулярные ребра, на некоторую плоскость (рис. 11.2). Эту обобщенную теорему и называют теоремой Поль ке-Ш варца. 11.2. Стандартные аксонометрии. ГОСТ 2.317-69 Аксонометрические проекции» В стандарте даны пять видов аксонометрических проекций) прямоугольная изометрия) прямоугольная диметрия; 3) косоугольная фронтальная диметрия; 228 11. Графическая работа № 11 (задачи 18 и 19) 4) косоугольная фронтальная изометрия) косоугольная горизонтальная изометрия. В курсе начертательной геометрии рассматриваются первые три вида аксонометрических проекций. На аксонометрических проекциях плоские фигуры искажаются. Окружности на проекциях предметов проецируются на аксонометрическое изображение предмета в виде эллипсов. Различные графические способы построения четырехцентровых овалов, заменяющих эллипсы, окружности которых лежат в плоскостях, параллельных плоскостям проекций V, Ни рассматриваются в учебниках по черчению и инженерной графике (например, в [25]). Эллипсы, окружности которых лежат в плоскостях, непараллельных плоскостям проекций, строятся на аксонометриях в основном по точкам, принадлежащим этим окружностям. Прямоугольная изометрия В прямоугольной изометрии аксонометрические оси расположены под равными углами друг к другу (Для прямоугольных аксонометрий получена следующая расчетная формула по коэффициентам искажения К х + Ку + К ^ =2, те. сумма квадратов коэффициентов искажения равна двум. В прямоугольной изометрии коэффициенты искажения равны, следовательно, Кх = Ку = Кг. Для построения прямоугольной изометрии пользуются приведенными коэффициентами искажения, округленными до единицы, те. Кх = Ку = Кг = Аксонометрическая плоскость прямоугольной изометрии равнонакло- нена ко всем трем плоскостям проекций Ни и пересекает эти плоскости проекций по равностороннему треугольнику, который называют треугольником следов Следовательно, аксонометрические оси прямоугольной изометрии являются высотами, биссектрисами и медианами этого треугольника, а точка Оа их пересечения является точкой начала аксонометрических координат. Как известно из геометрии, углы между высотами равностороннего треугольника равны 120 градусами, соответственно, углы между аксонометрическими осями также равны На рис. 11.3 показано расположение аксонометрических осей в прямоугольной изометрии (ось г всегда располагается вертикально, размеры и расположение больших и малых осей эллипсов и их построение одним из известных способов. Большие оси АВ всех трех эллипсов равны l,22d, а малые оси EF эллипсов равны 0,71d, где d — диаметр окружности. Ориентация больших и малых осей эллипсов относительно аксонометрических осей следующая эллипс 1 — аксонометрическая проекция окружности, лежащей на проекциях предмета в плоскости, параллельной плоскости проекций V: большая ось эллипса перпендикулярна аксонометрической оси га малая ось совпадает с ней Краткое изложение теоретического материала 229 Рис. 11.3. Построение четырехцентровых овалов в прямоугольной изометрии • эллипс 2 — аксонометрическая проекция окружности, лежащей на проекциях предмета в плоскости, параллельной плоскости проекций Н большая ось эллипса перпендикулярна аксонометрической оси га малая ось совпадает с ней; • эллипс 3 — аксонометрическая проекция окружности, лежащей на проекциях предмета в плоскости, параллельной плоскости проекций W: большая ось эллипса перпендикулярна аксонометрической оси ха малая ось совпадает с ней. На рис. 11.3 показан один из способов построения четырехцентровых овалов, которыми на чертежах заменяют эллипсы в прямоугольной изометрии. Графические действия для построения овалов следующие) провести две концентрические окружности, диаметры которых равны размерам большой и малой оси эллипса с центром в точке 0 2; 2) из двух центров в точках 1, лежащих на окружности большой оси, провести две большие дуги радиусами R = 1 -Е и R = 1-F ; 3) из точек 1 провести прямые п через точки 2, лежащие на окружности малой осина пересечении проведенных больших дуги прямых п получить точки, которые определяют окончание больших дуг) из двух центров в точках 2 провести две малые дуги радиусами г - 2 -Аи г = В до точек 3. 230 11. Графическая работа № 11 (задачи 18 и 19) 11.2.2. Прямоугольная диметрия В прямоугольной диметрии коэффициенты искажения по аксонометрическим осям хи равны между собой, а коэффициент искажения по оси у принят равным их половине. Отсюда по приведенной формуле получены следующие величины коэффициентов искажения по аксонометрическим осям Кх - Кг, Ку. Для построения прямоугольной диметрии пользуются приведенными коэффициентами искажения Кх = Кг = 1, Ку = Аксонометрические оси при прямоугольной диметрии по математическим расчетам располагаются относительно горизонтальной линии следующим образом ось г расположена вертикально, ось х — под углом 7°10', ось у — под углом На рис. 11.4 показано расположение аксонометрических осей, способ графического построения углов между осями, размеры и расположение больших и малых осей эллипсов и способы построения четырехцентровых овалов, заменяющих эллипсы на чертеже. Графический способ построения аксонометрических осей на чертеже) провести горизонтальную линию и вертикальную ось z и отметить на их пересечении точку О начала координат) отложить на горизонтальной линии от точки О влево (или вправо) восемь размерных единиц (восемь раз по 10 мм) и провести вертикальную линию) от конечной точки отложить вниз одну размерную единицу, а вверх семь размерных единиц) через конечные точки вертикальных отрезков и точку О провести аксонометрические оси хи у. Большие оси АВ всех трех эллипсов равны с, а величины малых осей EF эллипсов следующие: • малая ось эллипса 1 равна малые оси эллипсов 2 и 3 равны Ориентация больших и малых осей эллипсов относительно аксонометрических осей: • эллипс 1 — аксонометрическая проекция окружности, лежащей на проекциях предмета в плоскости, параллельной плоскости проекций V: большая ось эллипса перпендикулярна оси у а малая ось эллипса совпадает с ней; • эллипс 2 — проекция окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости проекций Н : большая ось эллипса перпендикулярна оси z, а малая ось совпадает с ней; • эллипс 3 — проекция окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости проекций W: большая ось эллипса перпендикулярна оси ха малая ось совпадает с ней. Графические действия для построения овала 1 с центром в точке Oi'. 1) отложить на прямой, перпендикулярной оси у отрезок АВ, равный размеру большой оси эллипса D0 = с) отложить на оси у отрезок EF, равный размеру малой оси эллипса е = 0,95d; Рис. 11.4. Построение четырехцентровых овалов в прямоугольной диметрии 3) из точки Ох провести окружность d\ - 0,2d, которая пересечет малую ось эллипса в точках 1 и 10, а большую ось — в точках 2 и 20; 4) из полученных точек 1 и 10 провести дуги радиусом R, равным расстоянию от точки 1 до точки F и от точки 1 о до точки Е из точек 2 и 2 0 провести дуги радиусом г равным расстоянию от точки 20 до точки Аи от точки 2 до точки В) дуги проводить до точек сопряжения 3 (построение показано). Графические действия для построения овала 2 с центром в точке 0 2: 1) отложить на горизонтальной прямой, перпендикулярной оси г отрезок АВ, равный размеру большой оси эллипса l,06d; 232 11. Графическая работа № 11 (задачи 18 и 19) 2) отложить на продолжении оси z отрезок EF, равный размеру малой оси) построить точки 1, отложив от точки 0 2 вверх и вниз по оси z отрезки 0 21, равные большой оси эллипса Z)0 = с) построить точки 2 на большой оси, отложив от точек Аи В отрезки Аи В -2 , равные 1 /4 малой оси эллипса d0; II Рис. 11.5. Построение четырехцентровых овалов в косоугольной (фронтальной) диметрии Краткое изложение теоретического материала 5) из полученных точек 1 провести большие дуги радиусом R = D0+ 1 /2do, а из точек 2 — радиусом г = 1/4d0; 6) дуги проводить до точек сопряжения 3 (построение показано). Построение овала 3 выполняется аналогично (большая ось АВ ± х. Косоугольная (фронтальная) диметрия В качестве аксонометрической плоскости проекций здесь взята плоскость, параллельная плоскости проекций V. Поэтому на аксонометрии сохраняется угол 90° между аксонометрическими осями хи га ось у располагают под углом 45° к горизонтальной прямой. Приведенные коэффициенты искажения по аксонометрическим осям для косоугольной диметрии следующие К х = Кг = 1, Ку = На рис. 11.5 показано расположение аксонометрических осей в косоугольной диметрии, размеры и расположение больших и малых осей эллипсов и графический способ построения овалов. Окружности на проекциях предмета, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости проекций V, проецируются на аксонометрическое изображение в виде окружностей, те. не искажаются, так как параллельны плоскости аксонометрических проекций. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций Ни проецируются на аксонометрическое изображение в виде эллипсов, большие оси АВ которых равны l,07d, а малые оси EF равны 0,33 Расположение больших и малых осей эллипсов относительно аксонометрических осей следующее: • эллипс 2 — большая ось АВ расположена под углом 7° 14' к горизонтальной линии и наклонена в сторону аксонометрической оси у малая ось EF перпендикулярна большой оси эллипса; • эллипс 3 — большая ось АВ расположена под углом 7° 14' к вертикальной линии и наклонена в сторону аксонометрической оси у малая ось EF перпендикулярна большой оси эллипса. Графическое построение двух одинаковых овалов 2 и 3, заменяющих эллипсы на чертежах, аналогичны построениям овалов для прямоугольной диметрии. 11.3. Примеры построения аксонометрических проекций геометрических тел На рис. 11.6 показан пример построения аксонометрической проекции правильной треугольной пирамиды со срезом фронтально-проецирующей плоскостью Р ((V) в прямоугольной диметрии (коэффициент искажения К х = Кг Построение аксонометрии пирамиды выполняется последующему графическому алгоритму. Отнести пирамиду к системе прямоугольных координат х, у и г оси которой параллельны осям натуральной системы координатно проходят через высоту пирамиды (ось г и ее основание (оси хи у 234 11. Графическая работа № 11 (задачи 18 и Рис. 11.6. Построение аксонометрической проекции пирамиды в прямоугольной диметрии 2. Определить в принятой системе координат на проекциях пирамиды координаты х ул отмеченных точек 1, 2, 3 ж точек А, В, С — вершин основания пирамиды. На свободном поле чертежа провести аксонометрические оси прямоугольной диметрии из произвольной точки О ось z — вертикально, ось х — под углом 7°10', ось у — под углом 41°25' к горизонтальной линии (использовать графический способ построения аксонометрических осей. Построить тонкими линиями аксонометрическую проекцию пирамиды без среза) построить аксонометрическое изображение основания пирамиды A q B q C q по координатным ломаным этих точек (основание лежит в системе осей хОу и называется вторичной проекцией): • точку A q — по координатной ломаной хА- у А; • точку Б — по координатной ломаной х вув; • точку С — по координате у с- Координатные отрезки параллельны соответствующим аксонометрическим осям) построить по координате zs на аксонометрической оси г проекцию вершины пирамиды и соединить вершину S с точками основания А 0В0С0 ребрами, те. построить аксонометрию пирамиды без среза Краткое изложение теоретического материала 5. Достроить срез на аксонометрии пирамиды, построив на ребрах пирамиды аксонометрические проекции отмеченных точек 1, 2 и 3 по соответствующим плоским координатным ломаным: • точку 1 на ребре SA0 — по координатной ломаной Хх-ух-г-^; • точку 2 на ребре SC0 — по координатной ломаной y2- точку 3 на ребре SB0 — по координатной ломаной х 3- г г- у 3. 6. Оформить аксонометрию пирамиды, выполнив толстыми линиями ее видимый контур оставить тонкими линиями полную проекцию пирамиды, невидимые линии и линии построения. На рис. 11.7 показан пример построения аксонометрической проекции конуса со срезами двумя фронтально-проецирующими плоскостями (в сечении плоскостью а — треугольник со сторонами-образующими, в сечении плоскостью (3 — эллипс) в прямоугольной изометрии. z Рис. 11.7. Построение аксонометрической проекции конуса в прямоугольной изометрии Графические действия для построения аксонометрии конуса соответствуют предложенному алгоритму для построения аксонометрии пирамиды. Отнести конус к такой же системе прямоугольных координат х, у и z, как ив предыдущем примере (ось z совпадет с высотой конуса, оси хну проходят по основанию конуса. Определить координаты х, у viz для точек 1, 2, 3 и 4 на поверхности конуса для построения сечений на его аксонометрии 236 11. Графическая работа № 11 (задачи 18 и 19) 3. На свободном поле чертежа отметить точку О начала аксонометрических координат и провести оси прямоугольной изометрии под углами 120° с вертикальной осью г. Построить аксонометрическую проекцию конуса без срезов) построить эллипс основания конуса с центром в точке О большая ось которого перпендикулярна аксонометрической оси 2, так как окружность основания конуса лежит в горизонтальной плоскости (см. графическое построение овала 2 на рис. 11.3); 4.2) построить вершину конуса точку S на оси z по ее координате zs и провести две касательные к эллипсу через вершину S. 5. Достроить срезы на аксонометрии конуса, построив аксонометрические проекции отмеченных точек 1, 2, 3 и 4 по соответствующим плоским координатным ломаным: • точку 1 — по координатной ломаной х г- г г; • точки 2 — по координатной ломаной х2-г/2- точки 3 — по координатной ломаной г- г точки 4 — по координатной ломаной х 4- у 4- г 4 (лежат на образующих S -5 0). 6. Соединить построенные точки соответствующими линиям (участок эллипса и треугольник. Оформить чертеж аксонометрии конуса, выполнив толстыми линиями ее видимый контур оставить тонкими линиями полный контур пирамиды, невидимые линии и линии построения. Построение аксонометрии цилиндра в прямоугольной изометрии рассмотрено в примере решения задачи 19 (см. рис. На рис. 11.8 показан пример построения аксонометрической проекции цилиндра с полуцилиндрическим вырезом (их радиусы равны) в прямоугольной изометрии. В этом частном случае пересечения поверхностей для построения линии пересечения на профильной проекции следует применить теорему Г. Монжа, так как эти две цилиндрические поверхности го порядка равных диаметров описаны вокруг сферы. Построение аксонометрии выполняется последующему графическому алгоритму. Отнести цилиндр к системе координатных осей x , y , z : оси хну провести по нижнему основанию, а ось г — по оси вращения цилиндра. Обозначить характерные и промежуточные точки 1, 2, 3 и 4 на поверхности цилиндра и определить координаты х, у, z обозначенных точек для построения линии пересечения полуцилиндрического выреза с поверхностью заданного цилиндра (симметричные точки обозначены на одной половине окружности. На свободном поле чертежа отметить точку О начала аксонометрических координат и провести аксонометрические оси прямоугольной изометрии ось г — вертикально, оси хи у — под углами 120° коси г. Построить аксонометрию цилиндра без выреза) построить в точке О эллипс нижнего основания цилиндра, большая ось которого перпендикулярна оси г так как окружность основания лежит в горизонтальной плоскости Рис. 11.8. Построение прямоугольной изометрии цилиндра с полуцилиндрическим вырезом (пересечение по теореме Г. Монжа) 4.2) построить точку Ох верхнего основания по координате г и эллипса верхнего основания соединить эллипсы двумя очерковыми образующими по конечным точкам больших осей эллипсов. Достроить вырез на аксонометрии цилиндра, построив проекции обозначенных точек 1 , 2 , 3 и 4 по координатным ломаным (снизу вверх) х - г: • точки 1 и 4 —» Xi (*4)2i (точки 2 —» x 2- z 2 (четыре точки); • точки 3 —> г (две точки); • точки К (на очерковых образующих см. построения на горизонтальных проекциях) -» xK- z построенные точки соединить, одна плоская кривая проецируется на аксонометрию в виде эллипса, вторая — прямой линии. Соединить построенные точки соответствующими линиями — отрезками образующих и участками эллипсов. Оформить аксонометрию цилиндра, выполнив толстыми линиями ее видимый контур оставить тонкими линиями полный контур цилиндра, невидимые линии и линии построения. На рис .11.9 показан пример построения половины шара со срезами в прямоугольной изометрии 238 11. Графическая работа № 11 (задачи 18 и Рис. 11.9. Построение аксонометрической проекции шара в прямоугольной изометрии Напомним, что сечением поверхности шара любой плоскостью является окружность. Нона чертеже окружности, лежащие в проецирующих плоскостях, проецируются в эллипсы. В примере срезы выполнены профильной плоскостью а (ау, горизонтальной плоскостью (3 (у) и фронтально-проеци рующей плоскостью у (уу). Следовательно, на аксонометрическом изображении шара строят: • эллипс окружности 0 а, лежащий в профильной плоскости; • эллипс окружности 0 р, лежащий в горизонтальной плоскости; • эллипс как проекцию окружности, лежащий в плоскости у, по обозначенным точкам. Аксонометрическим изображением шара в прямоугольной изометрии является окружность с диаметром 1,22d, где d — диаметр шара. Графический алгоритм для построения аксонометрии шара следующий. Отнести шар к системе координат х, у, г проходящих через его центр точка О. Обозначить характерные точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 на поверхности шара и определить координаты обозначенных точек для построения срезов на аксонометрии Краткое изложение теоретического материала 3. На свободном поле чертежа отметить точку О начала аксонометрических координат и провести аксонометрические оси прямоугольной изометрии. Построить аксонометрию шара без срезов — провести окружность диаметром 1,22 d. 5. Достроить срезы на аксонометрии шара: • построить эллипс диаметром 0 а, большая ось которого перпендикулярна аксонометрической оси х с центром в точке Ог с координатой х построить эллипс диаметром р, большая ось которого перпендикулярна аксонометрической оси гс центром в точке Оа с координатой х 02 (построенные эллипсы пересекаются по линии 2-2 построить по координате х 4 линию 4 -4 на построенном горизонтальном эллипсе; • построить по координатам точки 5 и 6: точку 5 — по ломаной х 5- уточку б — по координате |