ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши). Если функция (n-1) –й переменных вида в некоторой области D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по , то какова бы не была точка ( x ) в этой области, существует единственное решение ) ,..., , , ( ) 1 ( − ′ n y y y x f 0 , y y ) 1 ( ,..., , − ′ n y y y ) 1 ( 0 0 0 ,..., , − ′ n y y ) (x ϕ = уравнения , определенного в некотором интервале, содержащем точку х 0 , удовлетворяющее начальным условиям ) ,..., ) 1 ( − n y , , ( ) ( ′ = n y y x f y ) 1 ( 0 0 0 ,..., , − ′ n y y 0 , y x Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов. Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка. 37 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Уравнения вида y (n) = f(x). Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием. ; ) ( 1 ) 1 ( C dx x f y n + = ∫ − ( ) ; ) ( ) ( 2 1 2 1 ) 2 ( C x C dx x f dx C dx C dx x f y n + + = + + = ∫ ∫ ∫ ∫ − ……………………………………………………………. ; )! 2 ( )! 1 ( ) ( 2 2 1 1 n n n C n x C n x C dx x f dx dx y + + − + − + = − − ∫ ∫ ∫ Пример. Решить уравнение с начальными условиями x 0 = 0; y 0 = 1; x e y 2 = ′′′ 0 ; 1 0 0 = ′′ − = ′ y y ; 2 1 1 2 1 2 C e C dx e y x x + = + = ′′ ∫ ; 4 1 2 1 2 1 2 1 2 C x C e dx C e y x x + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ′ ∫ ∫ + + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = ; 2 1 8 1 4 1 3 2 2 1 2 2 1 2 C x C x C e C x C e y x x Подставим начальные условия: ; 2 1 0 ; 4 1 1 ; 8 1 1 1 2 3 C C С + = + = − + = ; 8 7 ; 4 5 ; 2 1 3 2 1 = − = − = C C C Получаем частное решение (решение задачи Коши): 8 7 4 5 4 1 8 1 2 2 + − − = x x e y x Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения. -10 -8 -6 -4 -2 2 4 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 38 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно. Это уравнения вида: . 0 ) ,..., , , ( ) ( ) 1 ( ) ( = + n k k y y y x F В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной: ; ; ) ( ) ( ) 1 ( ) ( k n n k k z y z y z y − + = ′ = = Тогда получаем: 0 ) ,..., , , ( ) ( = ′ −k n z z z x F Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением: ). ,..., , , ( 2 1 k n C C C x z − ψ = Делая обратную подстановку, имеем: ) ,..., , , ( 2 1 ) ( k n k C C C x y − ψ = Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ: ). ,..., , , ( 2 1 n C C C x y ϕ = Пример. Найти общее решение уравнения x y y ′′ = ′′′ Применяем подстановку ; ; y z y z ′′′ = ′ ′′ = ∫ ∫ = = = = ′ ; ; ; ; x dx z dz x dx z dz x z dx dz x z z ; ; ln ln ln 1 1 x C z C x z = + = Произведя обратную замену, получаем: ; 2 ; 2 2 1 1 1 C x C xdx C y x C y + = = ′ = ′′ ∫ ; 6 2 3 2 3 1 2 2 1 C x C x C dx C x C y + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∫ Общее решение исходного дифференциального уравнения: ; 3 2 3 C x C Cx y + + = Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Это уравнения вида 0 ) ,..., , ( ) ( = ′ n y y y F Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных p y = ′ ; p dy dp dx dy dy y d dx y d y = ⋅ ′ = ′ = ′′ 39 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ; 2 2 2 2 p dy dp p dy p d p dy p dy dp d p dy y d dx dy dy y d dx y d y ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ′′ = ⋅ ′′ = ′′ = ′′′ и т.д. Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем: 0 ,..., , , 1 1 1 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − n n dy p d dy dp p y F Если это уравнение проинтегрировать, и 0 ) ,..., , , , ( 1 2 1 = − n C C C p y Ф - совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка: 0 ) ,..., , , , ( 1 2 1 = ′ − n C C C y y Ф Пример. Найти общее решение уравнения 0 4 ) ( 2 = ′ − ′ − ′′ y y y y y Замена переменной: ; ; p dy dp y y p = ′′ ′ = ; 0 4 ; 0 4 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − − y p dy dp y p yp p dy dp yp 1) ; 4 ; 0 4 y p dy dp y p dy dp y + = = − − Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной: y p u = ; 4 ; 4 y dy du u y dy du u = + = + ; ln 4 ; ln 4 ln 4 ; 4 1 1 y C u C y u y dy du = + = = ∫ ∫ ; ln 4 1 y C y p = С учетом того, что dx dy p = , получаем: ; ln 4 ; ln 4 1 1 ∫ ∫ = = dx y C y dy y C y dx dy ; ln ln 4 1 ln ) (ln 4 1 2 1 1 1 C y C y C y C d x + = = ∫ Общий интеграл имеет вид: ; 4 ln ln 1 C x y C + = 2) ; 0 ; 0 = ′ = y p ; C y = Таким образом, получили два общих решения. 40 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Определение.__Фундаментальной_системой_решений'>Определение.__Выражение_называется_линейным_дифференциальным_оператором'>Определение.__Если_f(x)_=_0_,_то_уравнение_L(y)_=_0_называется_линейным_однородным'>Определение.__Линейным_дифференциальным_уравнением_n__–_го_порядка'>Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных вида: ) ( ,..., , n y y y ′′ ′ ); ( 1 ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 0 x f y p y p y p y p y p n n n n n = + ′ + + + + − − − где p 0 , p 1 , …,p n – функции от х или постоянные величины, причем p 0 ≠ 0. Левую часть этого уравнения обозначим L(y). ); ( 1 ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 0 y L y p y p y p y p y p n n n n n = + ′ + + + + − − − Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ≠ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p 0 , p 1 , p 2 , … p n – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным. Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Рассмотрим уравнение вида 0 1 ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 0 = + ′ + + + + − − − y p y p y p y p y p n n n n n Определение. Выражение называется линейным дифференциальным оператором. ) ( 1 ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 0 y L y p y p y p y p y p n n n n n = + ′ + + + + − − − Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами: 1) ); ( ) ( y CL Cy L = 2) ); ( ) ( ) ( 2 1 2 1 y L y L y y L + = + Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами: 1) Если функция у 1 является решением уравнения, то функция Су 1 , где С – постоянное число, также является его решением. 2) Если функции у 1 и у 2 являются решениями уравнения, то у 1 +у 2 также является его решением. 41 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Структура общего решения. Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения. Определение. Если из функций y i составить определитель n – го порядка ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 2 1 2 1 − − − ′ ′ ′ = n n n n n n y y y y y y y y y W , то этот определитель называется определителем Вронского. ( Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик) Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю. n y y y ,..., , 2 1 Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала. n y y y ,..., , 2 1 Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю. n y y y ,..., , 2 1 Теорема. Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений. n y y y ,..., , 2 1 n n y C y C y C y + + + = 2 2 1 1 , где C i –постоянные коэффициенты. Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений. Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде. Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена. Теорема. Если задано уравнение вида 0 ) ( ) ( 2 1 = + ′ + ′′ y x p y x p y и известно одно ненулевое решение у = у 1 , то общее решение может быть найдено по формуле: 42 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” 1 1 1 ) ( 2 1 1 2 1 y C dx e y y C y dx x p + ∫ = ∫ − Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение дифференциального уравнения вида или, короче, будем искать в виде , где k = const. 0 ) 1 ( 1 ) ( = + + + − y a y a y n n n 0 ) ( = y L kx e y = Т.к. то , ; ; ) ( 2 kx n n kx kx e k y e k y ke y = = ′′ = ′ ). ( ) ( 1 1 n n n kx kx a k a k e e L + + + = − При этом многочлен называется |