ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты торого являются функциями т y’. ко о 0 ) ( ) ( ) ( = ′ + ′ + ′ y R y y Q x y P Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’. ) ( ( ) ( ), ( ) ( y R y P p f p p xf y ) ( ) ( , ) ( ) y Q p y Q ′ ′ − = ϕ ′ ′ − = ϕ + = Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что pdx dy = , получа ) ( ) ( ) ( dp p dp p f x dx p f pdx ем: ϕ′ + ′ + = Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде: Определение. ), , ( C p F x = ⎩ ⎨ ⎧ ϕ + = ϕ + = = ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( p p f C p F p p xf y C p F x Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции и аргумента вида: ). ( y y x y ′ ϕ + ′ = Вообще го , уравнение Клеро являет воря ся частным случаем уравнения Лагранжа. С учетом замены p y = ′ , уравнение принимает вид: ). p y ( xp ϕ + = ; ) ( dx dp p dx dp x p y ϕ′ + + = ′ ; ) ( dx dp p dx dp x p p ϕ′ + + = [ ] ; 0 ) ϕ′ + dp x ( p = dx ет дв возможных решения: Это уравнение име а 0 = dp или 0 ( ) = ϕ′ + p x ; c p = В первом случае: ) (c cx y ϕ + = Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий. Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений: лучаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содерж ельно, не явля яться особым интегралом. ( См. Особое решение. ⎩ ⎨ ⎧ = ϕ′ + ϕ + = 0 ) ( ) ( p x p xp y Исключая параметр р, по ит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следоват ется частным решением. Это решение будет явл ) 23 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных равне Пример. у ний первого порядка. Решить уравнение с заданными начальными условиями. 0 ) 1 ( ; 1 = + = − ′ y x y y x Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого орядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение. п ; ; ; ; 0 x dx y dy x y dx dy x y y x y y = = = ′ = − ′ ∫ ∫ + = = ; ln ln ln ; C x y dx dy x y ; Cx y = Для неоднородного уравнени и я общее решение меет вид: ; ) ( x x C y = Дифференцируя, получаем: y = ′ ); ( ) ( x C x x C + ′ Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение: 1 ) ( ) ( ) ( + = − + ′ x x C x C x x C 1 ) ( + = ′ x x C x ; 1 1 ) ( ; 1 1 ) ( C dx x x C x x C + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = ′ ∫ x ; ln C x + + ) (x C = ln x Итого, общее решение: ). ( C x x y + + учетом начального условия = 0 ) 1 ( = y определяем постоянный коэффициент C. C 1 ; 1 ln 1 0 C − = C + + = Окончательно по 2 Для проверки в исх лучаем: . ln x x x x y − + = подставим полученный результат одное дифференциальное уравнение: ; 1 1 ln 1 1 ln 2 + = + − − − ⋅ + + x x x x x x ве x рно Ниже показан график интегральной кривой уравнения. 0.5 1 1.5 2 -0.5 0.5 1 1.5 24 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Пример. Найти общий интеграл уравнения 0 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 = − + − dy x y dx y x Это уравнение с разделяющимися переменными. ; 1 1 ; 0 1 1 2 2 2 2 ∫ ∫ − − = − = − + − y ydy x xdx y ydy x xdx ; ln ln 1 ln 2 2 C y x = + − 1 − : Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных С = - 0,5 С = -0,02 С = -1 С = -2 Общий интеграл имеет вид . ) 1 )( 1 ( 2 2 C y x = − − значениях С. -2 -1 1 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 Пример. С = 0,02 С = 0,5 С = 1 С = 2 Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее аданным начальным условиям. з 0 ) 0 ( ; sin ) 1 ( cos + = ′ x y x y = y Это уравнение с разделяющимися переменными. ; 1 ; cos sin 1 tgxdx y dy x x y y = + = + ′ ; ln cos ln 1 ln ; 1 C x y tgxdx y dy + − = + = + ∫ ∫ ; cos ) 1 ( ; ln ( ln y cos ) 1 C x y C x = + = + 25 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Общее решение имеет вид: 1 cos − = x y C Найдем частное решение при заданном начальном усл вии у(0) = 0. о 1 ; 1 1 0 = − = C С кончательно получаем: О 1 cos x 1 − = y Пример. Решить предыдущий особом. пример другим сп Действительно, уравнение x y x y sin ) 1 ( cos + = ′ может быть рассмотрено как инейное неоднородное дифференциальное уравнение. л sin sin cos x x y x y = − ′ Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение. ; ; sin cos ; 0 sin cos tgxdx y dy x y x y x y x y = = ′ = − ′ ; cos ; ln cos ln ln ; ln C x y C x y C tgxdx y dy = + − = + = ∫ ∫ cos x C y = е неоднородного уравнения будет иметь вид : cos ) ( x x C y = Решени Тогда sin ) ( cos ) ( cos 2 x x x C x x C y + ′ = ′ Подставляя в исходное уравнение, получаем: [ ] ; sin cos sin ) ( cos cos sin ) ( cos ) ( 2 x x x x C x x x x C x x C = − ⋅ + ′ ; cos sin ) ( ; sin ) ; sin cos cos ) ( C x xdx x C x x C x x x x C + − = = = ′ = ′ ∫ Итого ; cos x cos C x y + − = ; 1 cos x − = C y учетом начального условия у(0) = 0 получаем С ; 1 cos x 1 − = y При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод ешения, исходя из сложности преобразований. Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального равнения различными способами, совпадают. у р 26 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Пример. Решить уравнение x x y y 2 sin 2 cos = + ′ с начальным условием у(0) = 0. 1 Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение. ; sin ln ; cos ; 0 cos 1 C x y xdx y dy x y y + − = − = = + ′ Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение. Итого ; ; sin sin 1 x C x Ce y e e y − − = ⋅ = Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид: (x C y = ; ) sin x e − ; cos ) ( ) ( sin sin x e x C e x C y x x − − − ′ = ′ ; cos sin cos ) ( cos ) ( ) ( sin sin sin x x x e x C x e x C e x C x x x = + − ′ − − − ; cos sin ) ( ; cos sin ) ( sin sin x x e x C x x e x C x x = ′ = ′ − ∫ ∫ = − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = = xdx e x e x U xdx e dV xdx dU e V xdx x e x С x x x x x cos sin ; sin ; cos ; cos ; co sin ) ( sin sin sin sin sin s s sin C e x x + in sin e x − = ( ) ; sin sin sin sin C e x e e y x x x + − = − Проверим полученное общее решение подстановкой одное ифференциальное уравнение. (верно) Найдем частное решение при у(0) = 0. кончательно 1 sin sin − + = − x e x y ; 1 sin sin x Ce x y − + − = в исх д cos sin ) cos ( cos sin x x Ce x x + − + − ; cos sin cos cos sin x x x Ce x x x = + − − 1 ; 1 0 n 0 = + − C Ce si 0 = О Пример. Найти решение дифференциального уравнения Это уравнение может быть преобразовано и представлено уравнение с разделенными переменными. dx xy ydy x ydy xdx 2 2 5 3 3 20 − = − с начальным условием у(1) = 1. как ); 4 ( 5 ) 1 ( 3 ; 5 3 3 20 2 2 2 + = + ′ − ′ = ′ − y x x y y xy y y x y y x 2 ; 1 5 4 3 ; 1 5 4 3 2 2 2 2 dx x x dy y y x x y y y + = + + = + ′ ; 1 5 4 3 2 2 ∫ ∫ + = + dx x x dy y y 27 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” 1 2 2 ln ) 1 ln( 2 5 ) 4 ln( 2 3 C x y + + = + ; ) 1 ( 4 ; ) 1 ( ) 4 ( 3 2 2 2 5 2 3 2 + ⋅ = C + + ⋅ = + x y x C y ; 4 ) 1 ( 3 5 2 2 − + = x C y ; 4 ) 1 ( 3 5 2 − + = x C y С учетом начального условия: ; 32 125 ; 4 8 125 ; 4 2 5 ; 4 4 2 1 ; 4 32 4 2 1 3 3 3 3 3 3 5 = ⋅ = = − = − = − ⋅ = C C C C С С 4 2 5 3 = C 4 2 1 5 3 5 2 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = x y Окончательно 1 + = + ′ x y y x Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение. условием у(1) = 0. ; ln ln ln ; ; ; 0 C x y x dx y dy y dx xdy y y x + − = − = − = = + ′ ; ; x y C xy = = C Решение неоднородного уравнения будет иметь вид: ; ) ( x x C y = Подставим в исходное уравнение: ; 1 ) ( ; 1 ) ( ; 1 ) ( ) ( ) ( 2 + = ′ + ′ − + = + = ′ x x C x x x x C x x x C x x C x x C x ; 2 ) ( 2 C x x x C + + = Общее решение будет иметь вид: ; 1 2 x C x y + + = о условия у(1) = 0: ; 2 3 ; 1 2 1 0 − = + + = C C C учетом начальног ; 1 2 3 2 + − = x x y Частное решение: 28 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Пример. Найти решение дифференциального уравнения ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ x y y y x ln с начальным условием у(1) = е. Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных. Обозначим: ; ; ; ; ln u u u u e e u x y xe y e x y u x y + ′ = ′ = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Уравнение принимает вид: ; 1 ; 1 ; − = ′ = + ′ = + ′ u u x u u x u e e e u x u u u Получили уравнение с разделяющимися переменными. ; 1 ; 1 x dx u du u dx du x = − − = ; 1 ; ln ln 1 ln ; 1 Cx u C x u x dx u du = − + = − = − ∫ ∫ Сделаем обратную замену: ; ; 1 ln ; 1 ln 1 + = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Cx e x y Cx x y x y Cx Общее решение: ; 1 + = Cx xe y C учетом начального условия у(1) = е: ; 0 ; 1 = = + C e e C Частное решение: ; ex y = Второй способ решения. ; ln ln ; ln ln ; ln x x y y x y y x y y y y x x y y y x − = − ′ − = ′ = ′ Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное: ( ) ; ; ln ; ln ln ln ln ; ln ln ; ln ; ln ; 0 ln Cx e y Cx y C x y x dx y y d x dx y y dy y x y y y x y y = = + = = = = ′ = − ′ ∫ ∫ Решение исходного уравнения ищем в виде: ; ) ( x x C e y = Тогда ( ) ; ) ( ) ( ) ( x C x x C e y x x C + ′ = ′ Подставим полученные результаты в исходное уравнение: ( ) ; ln ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x e e x C x x C xe x x C x x C x x C = + ′ 29 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ; ln ) ( ; ln ) ( ; ln ) ( ) ( ) ( 2 2 2 x x x C x x C x x x x C x xC x C x − = ′ − = ′ − = + ′ ; 1 ln ln ; 1 ; ; ; ln ln ) ( 2 2 2 C x x x x dx x x x v x dx du x dx dv x u dx x x x C + + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = = = = = − = ∫ ∫ ; 1 1 ln ) ( + + + = = = Cx Cx x x x C xe e e y Получаем общее решение: ; 1 + = Cx xe y Пример. Решить дифференциальное уравнение 0 = − + ′ x y e y x y с начальным условием у(1)=0. В этом уравнении также удобно применить замену переменных. ; ln ; ln ; ln ; u u x u y u x y u x y u e x y ′ + = ′ = = = Уравнение принимает вид: ; 0 ; 0 ln ln 2 = + ′ = − + ′ + u u x u u u u x u ; ; ; 2 2 2 ∫ ∫ − = − = − = ′ x dx u du x dx u du u u x ; ln 1 ; ln ln 1 Cx u C x u = + = Делаем обратную подстановку: ); ln(ln ; ln Cx x y Cx e x y = − = − Общее решение: ); ln(lnCx x y − = C учетом начального условия у(1) = 0: ; ); ln(ln 0 e C C = − = Частное решение: ); ln(ln ex x y − = Второй способ решения. 0 = − + ′ x y e y x y Замена переменной: ; x y u = ; ; u x u y ux y + ′ = ′ = 0 = − + + ′ u e u x u u 0 = + ′ u e x u u e x dx du − = x dx du e u = − − 30 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ∫ ∫ = − − ; x dx du e u ; ln ; ln ln Cx e C x e u u = + = − − ); ln(ln ); ln(ln Cx u Cx u − = = − Общее решение: ); ln(lnCx x y − = Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка. у a b A S x Как уже говорилось выше (см. Интегральные кривые. ), линия S, которая задается функцией, являющейся каким- либо решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой уравнения ). , ( y x f y = ′ Производная y’ является |