ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
Теорема. Для того, чтобы поле вектора F G , заданного в некоторой области, имело потенциал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух условий: 1) Интеграл от вектора F G по любому кусочно – гладкому контуру, принадлежащему области, равен нулю. 2) Интеграл по любому кусочно – гладкому пути, соединяющему две любые точки поля не зависит, от пути интегрирования. Формула Стокса. (Джордж Габриель Стокс (1819 – 1903) – английский математик) Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода. Пусть в пространстве задана некоторая поверхность S. L – непрерывный кусочно – гладкий контур поверхности S. z S L y Δ l x Предположим, что функции P,Q и R непрерывны на поверхности S вместе со своими частными производными первого порядка. Применим формулу, выражающую криволинейный интеграл через определенный. ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + + ′ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ + = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ + ′ ∂ ∂ + ′ + ′ = ′ + + ′ + ′ = + + β α β α β α L L dy y z R Q dx x z R P dt t y y z R Q t x x z R P dt t y y z t x x z R t y Q t x P dt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ) ( ) ( ] ) ( ) ( ) ( ) ( [ )] ( )) ( ), ( ), ( ( ) ( )) ( ), ( ), ( ( ) ( )) ( ), ( ), ( ( [ ) , , ( ) , , ( ) , , ( Введем обозначения: ; ; y z q x z p ∂ ∂ = ∂ ∂ = 123 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Применив формулу Грина – Остроградского, можно заменить криволинейный интеграл равным ему двойным интегралом. После преобразований устанавливается следуюшее соответствие между криволинейным и поверхностным интегралом: dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx S L ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = + + ∫∫ ∫ эта формула и называется формула Стокса. Определение. Вектор B G , компоненты которого равны соответственно равны ; ; ; y P x Q B x R z P B z Q y R B z y x ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ называется вихрем или ротором вектора k R j Q i P F G G G G + + = и обозначается: F rot G Определение. Символический вектор z k y j x i z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ G G G G , , называется оператором Гамильтона. ( Уильям Роуан Гамильтон (1805 – 1865) – ирландский математик) Символ ∇ - “набла”. С учетом этого обозначения можно представить себе понятие ротора вектора F G как векторного произведения оператора Гамильтона на вектор F G R Q P z y x k j i F F rot ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = × ∇ = G G G G G G Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля вдоль некоторой кривой L называется линейным интегралом от вектора по ориентированной кривой L. F G ∫ ∫ + + = L L Rdz Qdy Pdx s d F G G Если кривая L представляет собой замкнутый контур, то линейный интеграл по такому контуру называется циркуляцией вектроного поля F G вдоль контура L. ∫ ∫ + + = = L L Rdz Qdy Pdx s d F Ц G G В векторной форме теорему Стокса можно сформулировать так: Циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря (ротора) через эту поверхность. 124 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Δ = ∫∫ ∫ Δ λ d F rot n s d F G G G G Отметим, что рассмотренная выше формула Грина – Остроградского является частным случаем формулы Стокса. Также при условии равенства нулю всех компонент ротора вектора, получаем, что криволинейный интеграл по любой пространственной кривой равен нулю, т.е. криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Определение. Выражение z R y Q x P ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ называется дивергенцией вектора (дивергенцией векторной функции) k R j Q i P F G G G G + + = и обозначается z R y Q x P F div ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = G Таким образом, формулу Гаусса – Остроградского может быть записана в виде: ∫∫∫ ∫∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = γ + β + α V S dxdydz z R y Q x P dS R Q P ) cos cos cos ( или ∫∫ ∫∫∫ = S V dS n F dv F div G G G т.е. интеграл от дивергенции векторного поля F G по объему равен потоку вектора через поверхность, ограниченную этим объемом. Определение. Векторное поле F G называется соленоидальным (трубчатым), если div G =0 . F C помощью описанного выше оператора Гамильтона можно представить определенные нами понятия следующим образом: ; ; ; F F rot F F div f gradf G G G G G G G × ∇ = ∇ = ∇ = Как было сказано выше (См. Уравнение Лапласа. ), выражение 2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Δ называется оператором Лапласа. Справедливы следующие соотношения: f f f gradf div Δ = ∇ ⋅ ∇ Δ = G G ; ) ( Справедливость этих равенств легко проверить непосредственной подстановкой. Теперь рассмотрим примеры применения рассмотренных выше понятий. 125 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Пример. Найти r a r rot G G G ⋅ ⋅ ) ( , если ; k j i a k z j y i x r G G G G G G G G + + = + + = Найдем скалярное произведение: ; z y x a r + + = ⋅ G G Найдем скалярное произведение: } , , { } , , { ) ( 2 2 2 z yz xz yx y yx xz xy x R Q P r a r + + + + + + = = ⋅ ⋅ G G G = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ ⋅ y P x Q k z P x R j z Q y R i R Q P z y x k j i r a r rot G G G G G G G G G ) ( ) ( ) ( ) ( x y k x z j y z i − + − − − = G G G Пример. Найти поток векторного поля k y j y x i x y F G G G G + + + − = ) ( ) ( 1 через сторону треугольника S, вырезанного из плоскости 0 = − + + z y x координатными плоскостями. z x = 1 – z z = 1 - y x y = 1 - x y + − + + = + + + − = ⋅ = ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ − y S S dz z y y dy ydxdy dxdz y x dydz x y ds n F П 1 0 1 0 ) 1 ( ) ( ) ( G G [ ] = + − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = + − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − − 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 2 2 2 ) 1 ( x z y x z y zx x z z yz ydy dx dx x z x dz [ ] = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − + − = ∫ ∫ ∫ 1 0 2 1 0 2 1 0 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 dx x x dz z z z dy y y y y y + + − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = ∫ 3 1 1 1 2 2 6 2 2 3 2 1 2 2 3 1 0 2 3 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 2 y y y x x x z z z dy y y 126 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” 127 2 1 6 3 2 1 1 2 1 6 1 2 1 2 1 = + − + − = + − + Пример. Найти div(grad u), если z y x e u + + = [ ] k j i e k z u j y u i x u gradu z y x G H G G G G + + = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + ; z y x e R Q P + + = = = 3 3 ) ( u e gradu div z y x = = + + Пример. Определить является ли векторное поле ) 6 5 ; 6 5 ; 6 5 ( xy z xz y yz x F + + + = G и найти его потенциал. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = z u y u x u gradu , , ; 6 5 ; 6 5 ; 6 5 xy z z u R xz y y u Q yz x x u P + = ∂ ∂ = + = ∂ ∂ = + = ∂ ∂ = Если поле потенциально, то должны выполняться следующие условия: ; 6 6 ; ) 3 ; 6 6 ; ) 2 ; 6 6 ; ) 1 y y x R z P x x y R z Q z z x Q y P = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ Эти условия эквивалентны условию равенства нулю ротора векторного поля.справедливость этого утверждения видна из формулы ротора. Таким образом, поле потенциальное. Потенциал находится по формуле: ; 6 2 5 2 5 2 5 ) 6 5 ( 5 5 2 2 2 0 0 0 xyz z y x dz xy z ydy xdx u z y x + + + = + + + = ∫ ∫ ∫ |