ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
Определение. При выбранном н и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек. Последовательность {f n (x)} равномерно сходится к функции f(x) а отр н езке [a,b], если для любого числа ε>0 существует номер N = N(ε), такой, что неравенство ε < − ) ( ) ( x f x f n выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b]. Пример. Рассмотрим последовательность ,... sin ,..., 2 2 sin , 1 sin n nx x x Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к. ∞ < < ∞ − = x nx , 0 sin lim → n n 0 Построим графики этой последовательности: 75 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” sinx 5 5 sin x 2 2 sin x - 4 - 2 2 4 - 1 - 0 . 5 0 . 5 1 Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х. При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая исследует на сходимость знакочередующиеся ряды и определяет характер сходимости. Достаточно ввести общий член ряда и множитель, определяющий знак и нажать Enter. Все рассмотренные выше признаки будут проверены по очереди. Для запуска программы дважды щелкните на значке: Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( © Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с Maple V Release 4. Функциональные ряды. Определение.__Частными_(частичными)_суммами'>Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции S ∑ ∞ =1 ) ( n n x u ∑ = = = n k k n n x u x 1 ,... 2 , 1 ), ( ) ( Определение.__Совокупность_всех_значений_х_,_для_которых_сходится_ряд_называется_областью_сходимости'>Определение. Функциональный ряд =1 n называется сходящимся в точке (х=х 0 ), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности { называется суммой ряда ∑ в точке х 0 ∑ ∞ ) ( n x u )} ( 0 x S n ∞ =1 ) ( n n x u 76 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда. ∑ ∞ =1 ) ( n n x u Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда. ∑ ∞ =1 ) ( n n x u Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда) Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ε >0 существовал такой номер N( ε ), что при n>N и любом целом p>0 неравенство ∑ ∞ =1 ) ( n n x u ε < + + + + + + ) ( ) ( ) ( 2 1 x u x u x u p n n n выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b]. Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса) (Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик) Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами : ∑ ∞ =1 ) ( n n x u 2 1 + + + + n M M M т.е. имеет место неравенство: n n M x u ≤ ) ( . Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом ∑ ∑ ∞ =1 ) ( n n x u ∞ = Μ 1 n n Пример. Исследовать на сходимость ряд ∑ ∞ =1 3 cos n n nx Так как 1 cos ≤ nx всегда, то очевидно, что 3 3 1 cos n n nx ≤ . При этом известно, что общегармонический ряд ∑ ∞ = α 1 1 n n при α=3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале. Пример. Исследовать на сходимость ряд ∑ ∞ =1 3 n n n x 77 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” На отрезке [-1,1] выполняется неравенство 3 3 1 n n x n ≤ т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (- ∝, -1) ∪ (1, ∝) расходится. Свойства равномерно сходящихся рядов. 1) Теорема о непрерывности суммы ряда. Если члены ряда - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b]. ∑ ∞ =1 ) ( n n x u 2) Теорема о почленном интегрировании ряда. Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку. ] , [ , ; ) ( ) ( 1 1 b a dx x u dx x u n n n n ∈ β α = ∫ ∑∫ ∑ β α ∞ = β α ∞ = 3) Теорема о почленном дифференцировании ряда. Если члены ряда сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно. ∑ ∞ =1 ) ( n n x u ) (x ∑ ∞ = ′ 1 n n u ∑ ∑ ∞ = ∞ = = 1 1 ) ( ) ( n n n n dx x du x u dx d На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями. На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд. При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая определяет интервал сходимости для произвольного функционального ряда. Для запуска программы дважды щелкните на значке Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( © Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV elease 4. R 78 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Степенные ряды. Определение. Степенным рядом называется ряд вида вания на сходимость степенных рядов удобно использовать признак аламбера. ∑ ∞ = + + + + + 2 n n n x a x a x a x a a =0 2 1 0 n n Для исследо Д 3 2 3 2 + + + + + n x x x x n Пример. Исследовать на сходимость ряд Применяем признак Даламбера: x n n x n xn x n x u u n n n n n n n n = + = + = + = ∞ → ∞ → + ∞ → + ∞ → 1 1 lim 1 lim 1 lim lim 1 1 Получаем, что этот ряд сходится при 1 < x и расходится пр 1 > x и Теперь определ граничных точках 1 и –1. При х = -1: им сходимость в 4 1 3 1 2 1 1 − + − + − ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница. ). При х = 1: 1 3 1 2 1 1 + + + + + n ряд расходится (гармонический ряд). Теоремы Абеля. 2 – 1829) – норвежский математик) Теорема. (Нильс Хенрик Абель (180 Если степенной ряд сходится ри x = x 1 , то он сходится и притом ∑ ∞ = = + + + + + 0 2 n n n n n x a x a x a x a a абсолютно для всех 2 1 0 1 x x < . п Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то , 1 k x a n n ≤ где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство: n n n n n x x 1 1 1 Из этого неравенства видно, что при x 1 численные величины членов нашего ряда будут меньше ( во всяком случае не больше ) соответствующих членов ряда n x k x x a x a ≤ = правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии 1 x x по условию теоремы меньше единицы, следов овании делаем вывод, что ряд ательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд. Поэтому на осн признака сравнения ∑ n n x a сходится, а значит ряд сходится абсолютно. ∑ n n x a 79 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ∑ n x a Таким образом, если степенной ряд n ся в любой точке интервала длины 2 сходится в точке х 1 , то он абсолютно сходит 1 х с центром в точке х = 0. Следствие. Если при х = х 1 ряд расходится, то он расходится для всех 1 x x > Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R всех , что при х таких, что R x < ряд абсолютно сходится, а при всех R x > ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называ Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым. Радиус сходимости может быть найден по формуле: ется интервалом сходимости. n n a R 1 lim − = n a ∞ → Пример. Найти область сходимости ряда ! ! 3 ! 2 3 2 + + + + + n x x x x n ∞ = = − = = = ∞ → ∞ → ∞ → − ∞ → n n n a R n n n n n lim )! 1 ( ! lim 1 )! 1 ( lim lim 1 Находим радиус сходимости − n n a n ! 1 Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда тремится к нулю. с 0 ! lim = ∞ → n x n n Теорема. ∑ n n x a Если степенной ряд сходится для положительного значения =х 1 , то он сходится равно х ) ; ( 1 1 x x − мерно в любом промежутке внутри рядами. Действия со степенными сли некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда: 1) Интегрирование степенных рядов. ∑ ∞ = = 0 ) ( n n n x a x f , Е C x n a dx x a dx x a dx x f n n n n n n n = = 0 0 n n + + = = = ∑ ∑∫ ∫∑ ∫ ∞ = + ∞ ∞ 0 1 1 ) ( 2) Дифференцирование степенных рядов. Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле: ( ) ∑ ∑ ∑ ∞ − ∞ ∞ 1 n n n d d = = = = = = ′ 0 0 0 ) ( n n n n n n x na x a dx x a dx x f 80 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” 3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов. Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами: Произведение двух степенных рядов выражается формулой: оэффициенты с i находятся по формуле: ∑ ∑ ∑ ∞ ∞ ∞ ± = ± ) ( n n n x b a x b x a = = = 0 0 0 n n n n n n n ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ ∞ = ⋅ 0 0 n n n n n n x с x b x a = =0 n n n К 1 1 1 1 0 b a b a b a c n n n n + + + + = − − 0 b a n Деление двух степенных рядов выражается формулой: ∑ ∑ ∞ = 0 0 n n n n x b коэффициентов q n рассматриваем произведение ∑ ∑ ∑ ∞ ∞ ∞ = ⋅ n n n n x b x q ∑ ∞ = ∞ = = 0 n n n n n x q x a Для определения полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений: = = = 0 0 0 n n n n n x a , ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = + + = + = = − 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 2 0 1 1 0 1 0 0 0 b q b q b q a b q b q b q a b q b q a b q a n n n n Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в с епенной ряд имеет больш значение ля решения различных задач исследования т ое д функций, дифференцирования, интегрирования, решен особы разложения функции в степенной ряд. Такие способ ия дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции. Возможны различные сп ы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора. ) Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он тол ских робей. ько для разложения в ряд алгебраиче д Пример. Разложить в ряд функцию x − 1 1 Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов: 81 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” 1 1 - x 1 + x + x 2 + x 3 + … 1 – x x x – x 2 x 2 x 2 – x 3 3 x ………. Если применить к той же функции формулу Маклорена ) ( ! ) 0 ( ! 2 ) 0 ( ! 1 ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( 2 x R x n f x f x f f x f n n n + + + ′′ + ′ + = , ; 1 ) 0 ( ; ) 1 ( 1 ) ( 2 = ′ − = ′ f x x f то получаем: ; 2 ) 0 ( ; ) 1 ( 2 ) ( 3 = ′′ − = ′′ f x x f ; ! 3 ) 0 ( ; 3 2 ) ( = ′′′ ⋅ = ′′′ f x f ) 1 ( 4 − x ……………………………. … ; ) ( f n ! ) 0 ( ; ) 1 ( ! ) ( ) ( 1 n f x n x n n = − = + того, пом лагать в ряд может быть легко найдено разложение в ряд ее производной. Находим дифференциал функции И получаем: ... 1 ) ( 2 + + + + + = n x x x x f Рассмотрим способ разложения функции в ряд |