ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
граничным условиям, описывающим состояние струны на концах (в точках x = a и x = b) и начальным условиям, описывающим состояние струны в момент времени t = 0. Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Таким образом, задача Коши состоит в нахождении решения линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при начальных условиях ), ( ) 0 , ( ), ( ) 0 , ( x F t x u x f x u = ∂ ∂ = и краевых условиях 0 ) , ( ) , 0 ( = = t l u t u . Начальные условия показывают, в каком положении находится струна в начальный момент времени и скорость каждой ее точки в начальный момент времени. Функции f(x) и F(x) заданы. Краевые условия показывают, что концы струны закреплены в точках a = 0, b = l Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье.) Решение уравнения 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ будем искать в виде ) при граничных условиях: ( ) ( ) , ( t T x X t x u = 0 ; 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) 0 ( > ⎩ ⎨ ⎧ = = t t T l X t T X Тогда X(0) = X(l) = 0. Подставим решение в исходное уравнение: ; 2 T X a T X ′′ = ′′ ; 1 2 X X T T a ′′ = ′′ Можно показать, что функции Х и Т имеют вид: ,... 2 , 1 ; sin cos ) ( ,... 2 , 1 ; sin ) ( = π + π = = π = k l akt B l akt A t T k l kx x X k k k k Все решения исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющие граничным условиям, можно записать в виде: ,... 2 , 1 ; sin sin cos ) , ( = π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + π = k l kx l akt B l akt A t x u k k k Окончательно решение уравнения колебаний струны можно записать в виде: , sin sin cos ) , ( 1 ∑ ∞ = π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + π = k k k x l k t l ak B t l ak A t x u 63 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” где ∫ π = l k xdx l k x f l A 0 ; sin ) ( 2 ∫ π π = l k xdx l k x F ak B 0 sin ) ( 2 Решение задачи Коши методом Даламбера. ( Жан Лерон Д’Ламбер (1717 – 1783) – французский математик) В случае если длина струны очень велика, то на колебания, возникающие в середине струны, концы струны влияния практически не оказывают. Поэтому, рассматривая колебания бесконечной струны, уравнение 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ решается только при начальных условиях: ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 , ( x F x u x f x u t = ′ = Для нахождения решения введем новые переменные: ; at x at x + = β − = α Тогда исходное уравнение принимает вид: 0 2 = β ∂ α ∂ ∂ u Решением этого уравнения будет функция ) ( ) ( β ψ + α ϕ = u , где ϕ и ψ - некоторые функции, которые будем считать дважды дифференцируемыми. Получаем: ). ( ) ( ) , ( at x at x t x u + ψ + − ϕ = Если продифференцировать полученный ответ, получим: ) ( ) ( at x at x u x + ψ′ + − ϕ′ = ′ ) ( ) ( at x a at x a u t + ψ′ + − ϕ′ − = ′ ) ( ) ( at x at x u xx + ψ ′′ + − ϕ ′′ = ′′ ) ( ) ( 2 2 at x a at x a u tt + ψ ′′ + − ϕ ′′ = ′′ Т.е. tt xx u u a ′′ = ′′ 2 Далее с использованием начальных условий находим функции ϕ и ψ. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x F x a x a x f x x = ψ′ + ϕ′ − = ψ + ϕ Проинтегрировав последнее равенство на отрезке [0, x], получаем: ; ) ( 1 ) ( ) ( 0 const C C dy y F a x x x = + = ψ + ϕ − ∫ Тогда: 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( ; 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 0 0 C dy y F a x f x C dy y F a x f x x x + + = ψ − − = ϕ ∫ ∫ Решение задачи Коши получаем в виде: 64 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ∫ ∫ + − + + + − − = + ψ + − ϕ = at x at x dy y F a at x f dy y F a at x f at x at x t x u 0 0 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( ) ( ) , ( ∫ + − + + + − = at x at x dy y F a at x f at x f t x u ) ( 2 1 2 ) ( ) ( ) , ( Эта формула называется формулой Даламбера. Уравнение теплопроводности. Температуру физического тела в произвольной точке с координатами (x, y, z) в момент времени t можно представить в виде функции: ) , , ( z y x u u = Составим дифференциальное уравнение: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x u a t u Выражение ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Δ 2 2 2 2 2 2 z y x называется оператором Лапласа. Тогда составленное нами дифференциальное уравнение принимает вид: u a dt u Δ = ∂ 2 и называется уравнением теплопроводности в пространстве. В качестве частных случаев рассматривают: 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ - уравнение теплопроводности в стержне, 2 2 2 2 2 2 y u a x u a t u ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ - уравнение теплопроводности на плоскости. В случае рассмотрения уравнения теплопроводности в стержне искомая функция u(x, t) должна удовлетворять записанному выше дифференциальному уравнению, начальному условию ) ( ) 0 , ( x f x u = π ≤ ≤ x 0 и граничным условиям 0 , 0 ) , ( ) , 0 ( ≥ = π = t t u t u В результате решения дифференциального уравнения методом Фурье получим: ∫ ∑ π ∞ = − π = = 0 1 sin ) ( 2 ; sin ) , ( 2 2 ktdt t f b kx e b t x u k k t k a k Отметим, что распространение тепла в теле называется стационарным, если функция u не зависит от времени t. 65 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Уравнение Лапласа. Определение. Функция называется гармонической на области σ, если она имеет непрерывные частные производные второго порядка на области σ и удовлетворяет условию ) , , ( z y x u 0 = Δu , где Δ - оператор Лапласа. Уравнение 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Δ z u y u x u u называется уравнением Лапласа. Если на некоторой границе Г тела поддерживать постоянную температуру , где f – заданная функция, то внутри тела установится единственная постоянная температура. С физической точки зрения это утверждение очевидно, однако, данный факт может быть доказан математически. ) , , ( z y x f u Г = Математическое доказательство этого факта называется задачей Дирихле. (Петер Густав Дирихле (1805 – 1859) – немецкий математик) Решение задачи Дирихле для круга. Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f( ϕ ), где ϕ - полярный угол. Требуется найти функцию ) , ( ϕ r u , которая удовлетворяет уравнению Лапласа 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x u и при ). ( ϕ = = f u R r Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах: 0 1 1 2 2 2 2 2 = ϕ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ u r r u r r u 0 2 2 2 2 2 = ϕ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ u r u r r u r Полагаем Подставляя это соотношение в уравнение Лапласа, получаем: ). ( ) ( r R u ϕ Φ = 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 = ϕ Φ ′′ + ′ ϕ Φ + ′′ ϕ Φ r R r R r r R r 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k r R r R r r R r − = ′ + ′′ − = ϕ Φ ϕ Φ ′′ Таким образом, имеем два уравнения: 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 2 2 2 = − ′ + ′′ = ϕ Φ + ϕ Φ ′′ r R k r R r r R r k Общее решение первого уравнения имеет вид: ϕ + ϕ = Φ k B k A sin cos Решение второго уравнения ищем в виде: m r R = . При подстановке получим: 0 ) 1 ( 2 1 2 2 = − + − − − m m m r k rmr r m m r 0 2 2 = − k m Общее решение второго уравнения имеет вид: k k Dr Cr R − + = Подставляя полученные решения в уравнение ) ( ) ( r R u ϕ Φ = , получим: 66 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ) )( sin cos ( k k k k k k k r D r C k B k A u − + ϕ + ϕ = Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ≠ 0. Если k = 0, то 0 ; 0 = ′ + ′′ = Φ ′′ R R r следовательно ) ln )( ( 0 0 0 0 0 r D C B A u + ϕ + = Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2 π. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В 0 = 0. Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D 0 = 0. Окончательно получаем: ∑ ∞ = ϕ + ϕ + = ϕ 1 0 ) sin cos ( 2 ) , ( n n n n r n B n A A r u При этом: ∫ π π − π = ntdt t f R A n n cos ) ( 1 ∫ π π − π = ntdt t f R B n n sin ) ( 1 Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона. (Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик) ∫ π π − + ϕ − − − π = ϕ dt r t rR R r R t f r u 2 2 2 2 ) cos( 2 ) ( 2 1 ) , ( 67 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Ряды. Основные определения. Определение.__Ряд_называется_сходящимся'>Определение.__Суммы_,_n_=_1,_2,_…_называются_частными_(частичными)_суммами'>Определение.__Сумма_членов_бесконечной_числовой_последовательности_называется_числовым_рядом'>Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом. ,... ,..., , 2 1 n u u u ∑ ∞ = = + + + + 1 2 1 n n n u u u u При этом числа будем называть членами ряда, а u n – общим членом ряда. ,... , 2 1 u u Определение. Суммы , n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда. ∑ = = + + + = n k k n n u u u u S 1 2 1 Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S 1 , S 2 , …,S n , … Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм. ∑ ∞ = = + + + + 1 2 1 n n n u u u u , lim 1 ∑ ∞ = = = n n n u S S S Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы. Свойства рядов. 1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда. 2) Рассмотрим два ряда и ∑ n u ∑ n Cu , где С – постоянное число. Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ≠ 0) ∑ n u ∑ n Cu 3) Рассмотрим два ряда и ∑ n u ∑ n v . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами. ∑ ± ) ( n n v u Теорема. Если ряды ∑ n u и ∑ n v сходятся и их суммы равны соответственно S и σ , то ряд ∑ оже сходится и его сумма равна S + σ . ± ) ( n n v u т ∑ ∑ ∑ σ + = + = + S v u v u n n n n ) ( Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом. Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом. О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя. 68 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда. Критерий Коши. (необходимые и достаточные условия сходимости ряда) Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого ,... ,..., , 2 1 n a a a 0 > ε существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство: ε < − + n p n a a |