ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
при помощи интегрирования. С ощью интегрирования можно раз такую функцию, для которой известно или dx x f x df ) ( ) ( ′ = и интегрируем его в пределах от 0 до х. ; ) ( ) ( ; ) ( ) ( 0 0 0 0 ∫ ∫ ∫ ′ = ′ = x x x x dx x f x f dx x f x df ; ) ( ) 0 ( ) ( 0 ∫ ′ + = x dx x f f x f Пример. Разложить в ряд функцию ). 1 ln( ) ( x x f + = Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше. Ф я y = ln(1 + x). (См ункци ) Теперь ния. При решим эту задачу при помощи интегрирова x x f f + = ′ = 1 1 ) ( , 0 ) 0 ( получаем по приведенной выше формуле: ∫ + = + dx x x 0 1 ) 1 ln( Разложение в ряд функции x 1 x + 1 1 может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру. 82 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ) 1 ( 1 1 1 4 3 2 + − + − + − + − = + n n x x x x x x Тогда получаем: ∑ ∑∫ ∫∑ ∫ ∞ = + ∞ = ∞ = + − = − = − = + = + 0 1 0 0 0 0 0 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 ) 1 ln( n n n n x n n x n n n x n x dx x dx x dx x x Окончательно получим: 1 ) 1 ( 4 3 2 ) 1 ln( 1 4 3 2 + + − + + − + − = + + n x x x x x x n n Пример. Разложить в степенной ряд функцию arctgx Применим разложение в ряд с помощью интегрирования. ; 1 1 ) ( ; 0 ) 0 ( ; ) ( 2 x x f f arctgx x f + = ′ = = ∫ + = x dx x arctgx 0 2 1 1 Подинтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления: 1 1 + x 2 1 + x 2 1 – x 2 + x 4 - … - x 2 - x 2 – x 4 x 4 x 4 + x 6 …………. ) 1 ( 1 1 1 2 4 2 2 + − + − + − = + n n x x x x Тогда ∑ ∑∫ ∫∑ ∫ ∞ = + ∞ = ∞ = + − = − = − = + = 0 1 2 0 0 2 0 0 2 0 2 1 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 n n n n x n n x n n n x n x dx x dx x dx x arctgx Окончательно получаем: 1 2 ) 1 ( 5 3 1 2 5 3 + + − + − + − = + n x x x x arctgx n n Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида: ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( x f y x p y x p y x p y n n n n = + + + + − − Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям. Это решение можно представить степенным рядом: 83 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” 3 3 2 2 1 0 + + + + = x c x c x c c y Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные c i Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.) Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты c i Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям. Пример. Найти решение уравнения 0 = − ′′ xy y c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0. Решение уравнения будем искать в виде 2 2 1 0 + + + = x c x c c y 4 3 2 3 4 2 3 2 1 + + + + = ′ x c x c x c c y 20 12 6 2 3 5 2 4 3 2 + + + + = ′′ x c x c x c c y Подставляем полученные выражения в исходное уравнение: 0 ...) ( ...) 20 12 6 2 ( 4 3 3 2 2 1 0 3 5 2 4 3 2 = + + + + − + + + + x c x c x c x c x c x c x c c 0 ) 30 ( ) 20 ( ) 12 ( ) 6 ( 2 3 6 4 2 5 3 1 4 2 0 3 2 = + − + − + − + − + c c x c c x c c x c c x c Отсюда получаем: 0 2 2 = c 0 30 0 20 0 12 0 6 3 6 2 5 1 4 0 3 = − = − = − = − c c c c c c c c ……………… Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной: 0 1 1 0 = = c c Окончательно получим: ; 0 ; 0 ; 6 1 ; 0 ; 0 ; 1 5 4 3 2 1 0 = = = = = = c c c c c c ; 180 1 6 = c Итого: 180 6 1 6 3 + + + = x x y Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования. Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена. ! 3 ) 0 ( ! 2 ) 0 ( ! 1 ) 0 ( ) 0 ( 3 2 + ′′′ + ′′ + ′ + = x y x y x y y y 84 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что 0 ) 0 ( = ′′ y Далее запишем дифференциальное уравнение в виде и будем последовательно дифференцировать его по х. xy y = ′′ ; 4 ) 0 ( ; 3 ; 0 ) 0 ( ; 2 ; 0 ) 0 ( ; ; 1 ) 0 ( ) 0 ( ; = + ′′′ + ′′′ = = ′′′ + ′′ + ′′ = = ′′ + ′ + ′ = = = ′′′ ′ + = ′′′ VI IV VI V V IV IV y xy y y y y y x y y y y y x y y y y y y x y y После подстановки полученных значений получаем: 180 6 1 6 3 + + + = x x y Ряды Фурье. ( Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французский математик) Тригонометрический ряд. Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида: ) sin cos ( ) 2 sin 2 cos ( ) sin cos ( 2 2 2 1 1 0 + + + + + + + + nx b nx a x b x a x b x a a n n или, короче, ∑ ∞ = + + 1 0 ). sin cos ( 2 n n n nx b nx a a Действительные числа a i , b i называются коэффициентами тригонометрического ряда. Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2 π, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2 π. Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [- π; π], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x). Определим коэффициенты этого ряда. Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами: ∫ π π − ⎩ ⎨ ⎧ = = π = ≠ = ,... 2 , 1 , , , ,.. 2 , 1 , 0 , , 0 cos cos n m n m m n m nxdx mx ∫ π π − ⎩ ⎨ ⎧ = = π ≠ = ,... 2 , 1 , , , , , 0 sin sin n m n m n m nxdx mx ,... 2 , 1 ,..., 2 , 1 , 0 , 0 sin cos = = = ∫ π π − n m nxdx mx 85 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций. Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [- π; π], то существует интеграл 0 1 0 ) sin cos ( 2 ) ( a dx nx b nx a dx a dx x f n n n π = + + = ∫∑ ∫ ∫ π π − ∞ = π π − π π − Такой результат получается в результате того, что 0 ) sin cos ( 1 = + ∫∑ π π − ∞ = dx nx b nx a n n n Получаем: ∫ − = π π π dx x f a ) ( 1 0 Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от - π до π. = ∫ π π − nxdx x f cos ) ( n n n n a dx nx nx b nx a nxdx a π = + + ∫∑ ∫ π π − ∞ = π π − 1 2 0 ) sin cos cos ( cos 2 Отсюда получаем: ,... 2 , 1 ; cos ) ( 1 = π = ∫ π π − n nxdx x f a n Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от - π до π. Получаем: ,... 2 , 1 , sin ) ( 1 = = ∫ − n nxdx x f b n π π π Выражение для коэффициента а 0 является частным случаем для выражения коэффициентов a n Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2 π, непрерывная на отрезке [- π; π] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты ,... 2 , 1 , 0 ; cos ) ( 1 = π = ∫ π π − n nxdx x f a n ,... 2 , 1 , sin ) ( 1 = π = ∫ π π − n nxdx x f b n существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x). Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье. 86 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2 π и на отрезке [- π ; π ] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [- π ; π ] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна 2 ) 0 ( ) 0 ( + + − x f x f , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [- π;π]. Теорема. Если функция f(x) имеет период 2 π , кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [- π ; π ] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна 2 ) 0 ( ) 0 ( + + − x f x f . При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке [- π;π]. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции. Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f 1 (x) c периодом 2Т ≥ ⎪ b-a ⎪ , совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b]. y f(x) α - 2T α a b α+2T α + 4T x 87 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f 1 (x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b]. Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2 π ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2 π, то функция продолжается на интервал (b, a + 2π) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись. Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2 π может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b]. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Отметим следующие свойства четных и нечетных функций: 1) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = ∫ ∫ − четная x f dx x f нечетная x f dx x f a a a ) ( , ) ( 2 ) ( , 0 ) ( 0 2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией. 3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция. Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций. Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2 π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать: ,...) 2 , 1 , 0 ( cos ) ( 2 cos ) ( 1 0 = π = π = ∫ ∫ π π π − n nxdx x f nxdx x f a n ,...) 2 , 1 ( ; 0 sin ) ( 1 = = π = ∫ π π − n nxdx x f b n Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается: ∑ ∞ = + = 1 0 cos 2 ) ( n n nx a a x f ,...) 2 , 1 , 0 ( cos ) ( 2 0 = π = ∫ π n nxdx x f a n Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции: ∑ ∞ = = 1 ; sin ) ( n n nx b x f ,...) 2 , 1 ( ; sin ) ( 2 0 = π = ∫ π n nxdx x f b n 88 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом T = 2 π на отрезке [-π;π]. 3 ) ( x x f = Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде: ,...) 2 , 1 ( ; sin ) ( 2 0 = π = ∫ π n nxdx x f b n = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − π = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = = = = π = ∫ ∫ π π π 0 2 0 3 2 3 0 3 cos 3 cos 2 ; cos ; 3 ; sin ; sin 2 nxdx x n n nx x n nx v dx x du nxdx dv x u nxdx x b n = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + π π − π = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = ∫ π π 0 0 2 3 2 sin 2 sin 3 cos 2 ; sin ; 2 ; cos ; dx n nx x n nx x n n n n nx v xdx du nxdx dv x u = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − π π − π = ∫ π ; cos ; ; sin ; sin 6 cos 2 0 2 3 n nx v dx du nxdx dv x u nxdx x n n n = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − π π − π = ∫ π π 0 0 2 3 cos cos 6 cos 2 dx n nx n nx x n n n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ π − − = π + π π − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π π + π π − π = π n n n n n n n nx n n n n n 2 3 3 2 0 3 3 3 2 12 ) 1 ( cos 12 cos 2 sin 6 cos 6 cos 2 Получаем: ∑ ∑ ∞ = ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ π − − = = 1 2 3 1 3 sin 2 12 ) 1 ( sin n n n n nx n n nx b x Построим графики заданной функции и ее разложения в ряд Фурье, ограничившись первыми четырьмя членами ряда. -3 -2 -1 1 2 3 -30 -20 -10 10 20 30 89 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Ряды Фурье для функций любого периода. Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид: ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + π + = 1 0 sin cos 2 ) ( n n n x l n b x l n a a x f ,... 2 , 1 , sin ) ( 1 ,... 2 , 1 , cos ) ( 1 ; ) ( 1 0 = π = = π = = ∫ ∫ ∫ − − − n xdx l n x f l b n xdx l n x f l a dx x f l a l l n l l n l l Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид: ∫ ∫ ∑ = π = = π + = ∞ = l n l n n n xdx l n x f l a dx x f l a x l n a a x f 0 0 0 1 0 ,... 2 , 1 ; cos ) ( 2 ; ) ( 2 ; cos 2 ) ( Для нечетной функции: ,... 2 , 1 ; sin ) ( 2 ; sin ) ( 0 1 = π = π = ∫ ∑ ∞ = n xdx l n x f l b x l n b x f l n n n Ряд Фурье по ортогональной системе функций. |