ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена не нахождению какого – либо решения уравнения, а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента. 56 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Этот метод особенно важен, т.к. позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически. Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных уравнений: ) ,..., 2 , 1 ( ); ,..., , , ( 2 1 n i y y y t f dt dy n i i = = (1) и начальные условия: ) ( 0 0 i i y t y = Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны. Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий) Если правая часть дифференциального уравнения ) , ( y t f dt dy = непрерывна и по переменной у имеет ограниченную частную производную ( ) N f y ≤ ′ на области прямоугольника, ограниченного { } b y y b y a t t a t D + ≤ ≤ − + ≤ ≤ − = 0 0 0 0 , , то решение ) , , ( ) ( 0 0 y t t y t y = , удовлетворяющее начальным условиям , непрерывно зависит от начальных данных, т.е. для любого 0 0 ) ( y t y = 0 0 > Δ ∃ > ε ∀ , при котором если , 0 0 0 < − y y то ε < − ) , ( ) , , ( 0 0 0 0 y t t y y t t y при условии, что , ; 0 0 T T T t t < < − где ) , ( max , , 1 , min ) , ( 0 y t f M M b N a T D y t ∈ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и для системы уравнений. Определение. Если { } ) ( ),..., ( ), ( ) ( 2 1 t t t t n ϕ ϕ ϕ = ϕ 0 > - решение системы дифференциальных уравнений, то это решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого 0 Δ ∃ } > ε , такое, что для любого решения той же системы, начальные условия которого удовлетворяют { ) ( ),..., ( ), ( ) ( 2 1 t y t y t y t y n = неравенствам ) , 1 ( ) ( ) ( 0 0 n i t t y i i = Δ < ϕ − справедливы неравенства [ ) ∞ ∈ ∀ ε < ϕ − , ) ( ) ( 0 t t t t y i i (Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН) Т.е. можно сказать, что решение ϕ(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ≥ t 0 Если ) , 1 ( , 0 ) ( ) ( lim n i t t y i i t = = ϕ − ∞ → , то решение ϕ(t) называется асимптотически устойчивым Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения { } ) ( ),..., ( ), ( ) ( 2 1 t t t t n ϕ ϕ ϕ = ϕ системы ) ,..., 2 , 1 ( ); ,..., , , ( 2 1 n i y y y t f dt dy n i i = = можно свести к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций: 57 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ,..., 1 ), ( ) ( ) ( n i t t y t x i i i = ϕ − = Тогда: dt d dt dx dt dy i i i ϕ + = [ ] [ ] ,..., 1 , ) ( ),..., ( , ) ( ),..., ( , 1 1 1 n i t t t f t x t x t f dt dx n i n n i i = ϕ ϕ − ϕ + ϕ + = (2) Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение 0 ) ( = t x i Теорема. Решение { } ) ( ),..., ( ), ( ) ( 2 1 t t t t n ϕ ϕ ϕ = ϕ системы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение системы (2). Это тривиальное решение называется положением равновесия или точкой покоя. Определение. Точка покоя 0 ) ( = t x i системы (2) устойчива по Ляпунову, если для любого 0 ) ( 0 > ε Δ ∃ > ε ∀ такое, что из неравенства ) ,..., 1 ( ) ( ) ( 0 n i t x i = ε Δ < следует 0 ) ,..., 1 ( ) ( t t n i t x i ≥ ∀ = ε < Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система ) ,..., 2 , 1 ( ); ,..., , , ( 2 1 n i y y y t f dt dy n i i = = имеющая тривиальное решение 0 ) ( = t y i . Пусть существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая условиям: ) ,..., ( 1 n y y v 1) ≥ 0 и v = 0 только при у 1 = у 2 = … = у n =0, т.е. функция v имеет минимум в начале координат. ) ,..., ( 1 n y y v 2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль решения y i (t) системы (1)) удовлетворяет условию: ∑ ∑ = = ≤ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = n i n i i i n i i i y y t f y v t y y v dt dv 1 1 0 ) ,..., , ( при 0 t t ≥ Тогда точка покоя n устойчива по Ляпунову. i y i ,..., 1 , 0 = ≡ Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой окрестности начала координат ( ) Δ ≥ + + 2 2 1 n y y выполнялось условие ), ( , 0 0 t t t v ≥ < β − ≤ ∂ ∂ где β - постоянная величина, то точка покоя n i y i ,..., 1 , 0 = ≡ асимптотически устойчива. Функция v называется функцией Ляпунова. 58 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Классификация точек покоя. Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + = + = y a x a dt dy y a x a dt dx 22 21 12 11 Характеристическое уравнение этой системы имеет вид: 0 22 21 12 11 = λ − λ − a a a a Рассмотрим следующие возможные случаи: 1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные. , 0 , 0 2 1 2 1 λ ≠ λ < λ < λ Точка покоя будет устойчива. Такая точка покоя называется устойчивым узлом 0 ≡ = y x 2) Корни характеристического уравнения действительны и 0 , 0 2 1 < λ = λ или 0 2 1 < λ = λ В этом случае точка покоя также будет устойчива. 3) Хотя бы один из корней положителен. 2 1 , λ λ В этом случае точка покоя 0 ≡ = y x неустойчива, и такую точку называют неустойчивым седлом 4) Оба корня характеристического уравнения положительны 0 , 0 2 1 > λ > λ В этом случае точка покоя 0 ≡ = y x неустойчива, и такую точку называют неустойчивым узлом Если полученного решения системы исключить параметр t, то полученная функция дает траекторию движения в системе координат XOY. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ β + α = β + α = λ λ λ λ t t t t e C e C y e C e C x 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 ) (t y ϕ = Возможны следующие случаи: β β α α Устойчивый узел. Неустойчивый узел. Седло. 5) Корни характеристического уравнения комплексные iq p iq p − = λ + = λ 2 1 , Если р = 0, т.е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по Ляпунову. 59 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Такая точка покоя называется центром. Если p< 0, то точка покоя устойчива и называется устойчивым фокусом. Если p > 0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом. Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных. Определение.__Дифференциальным_уравнением_в_частных_производных'>Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков. 0 ,..., ,..., , , ,..., , 1 1 2 1 2 1 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ n k n k k n n x x u x u x u x u x x x F Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения будет некоторая функция ) ,..., , ( 2 1 n x x x u u = , которая обращает уравнение в тождество. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка от функции ) можно в общем виде записать как ,..., , ( 2 1 n x x x u u = 0 ,..., , , ,..., , 2 1 2 1 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ n n x u x u x u x x x F Линейное уравнение в частных производных имеет вид: 0 ) ,..., , ( ) ,..., , ( ) ,..., , ( 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X , (1) где X i – некоторые заданные функции. Очевидно, что одним из решений такого уравнения будет функция u = C. Рассмотрим систему уравнений: ; 2 2 1 1 n n X dx X dx X dx = = = (2) или n n n n n n n n X X dx dx X X dx dx X X dx dx 1 1 2 2 1 1 ; ; − − = = = - такая система называется нормальной. Общее решение этой системы имеет вид: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = − − − − − ) ,..., , , ( ) ,..., , , ( ) ,..., , , ( 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 n n n n n n n n C C C x f x C C C x f x C C C x f x Если разрешить эти уравнения относительно постоянных С, получим: 60 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ϕ = ϕ = ϕ − − 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 ) ,..., , ( ) ,..., , ( ) ,..., , ( n n n n n C x x x C x x x C x x x Каждая из функций ϕ является интегралом системы (2). Теорема. Если - интеграл системы (2), то функция - решение уравнения (1). ) ,..., , ( 2 1 n x x x ϕ ) ,..., , ( 2 1 n x x x u ϕ = Классификация основных типов уравнений математической физики. 1) Волновое уравнение. (Уравнение колебаний струны, электроколебания, крутильные колебания вала и др.) Это простейшее уравнение гиперболического типа. 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ 2) Уравнение теплопроводности. (Уравнение Фурье) Это простейшее уравнение параболического типа. Описывает процессы теплопроводности, фильтрации жидкости и газа, некоторые вопросы теории вероятностей. 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ 3) Уравнение Лапласа. Это простейшее уравнение эллиптического типа. Описывает магнитные и электрические поля, гидродинамику, диффузию и др. 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x u В этих уравнениях функция u зависит от двух переменных, однако, задача может быть расширена для случая трех переменных: 1) Волновое уравнение: ; 2 2 2 2 2 2 2 2 y u a x u a t u ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2) Уравнение теплопроводности: ; 2 2 2 2 2 2 y u a x u a t u ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 3) Уравнение Лапласа: 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u y u x u Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений. Уравнение колебаний струны. Определение. В математической физике струной называется тонкая нить, в которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в поперечном направлении. 61 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Пусть концы натянутой струны закреплены в точках х = а и x = b, возникающие в ней напряжения обозначим Т. Будем также считать, что плотность струны постоянна на всем ее протяжении. Допустим, что в момент t 0 = 0 струна выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания. Отклонение струны в каждой точке с координатой х в момент времени t обозначим как 0 , ) , ( ≥ ≤ ≤ = t b x a t x u u u C B α A D 0 a x x+ Δx b x На произвольный элемент длины нити (х, х + Δх) действуют две силы натяжения AD и BC . При этом: ; ) , ( ; x t x x u tg T BC AD ∂ Δ + ∂ = α = = Если считать колебания малыми, то можно принять: α ≈ α sin tg Тогда проекция силы BC на ось u: x t x x u T T ∂ Δ + ∂ ≈ α ) , ( sin Проекция силы AD на ось u: x t x u T ∂ ∂ − ) , ( Находим сумму этих проекций: ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 x x t x u T x t x u T x t x x u T Δ ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ Δ + ∂ Выражение, стоящее в правой части равенства получено в результате применения теоремы Лагранжа ( см. Теорема Лагранжа ) к выражению, стоящему слева. Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно: , ) , ( 2 2 t t x u x ∂ ∂ Δ ρ где ρ - плотность струны. Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим: x x u T t u x Δ ∂ ∂ = ∂ ∂ Δ ρ 2 2 2 2 Или ; , 2 2 2 2 2 2 ρ = ∂ ∂ = ∂ ∂ T a x u a t u 62 |