ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
Доказательство. (необходимость) Пусть , тогда для любого числа a a n → 0 > ε найдется номер N такой, что неравенство 2 ε < − n a a выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство 2 ε < − + p n a a . Учитывая оба неравенства, получаем: ε = ε + ε < − + − ≤ − + − = − + + + 2 2 ) ( ) ( n p n n p n n p n a a a a a a a a a a Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем. Сформулируем критерий Коши для ряда. Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого ∑ ∞ = = + + + + 1 2 1 n n n u u u u 0 > ε существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство ε < + + + + + + p n n n u u u 2 1 Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости: 1) Если ряд ∑ n u сходится, то необходимо, чтобы общий член u n стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд ∑ ∞ =1 1 n n является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю. Пример. Исследовать сходимость ряда 1 3 8 3 5 2 2 1 + − + + + + n n Найдем 0 3 1 1 3 1 lim 1 3 lim ≠ = − = − ∞ → ∞ → n n n n n - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится. 2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена. Однако, этот признак также не является достаточным. 69 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n+1 +… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что ⎩ ⎨ ⎧ = n нечетных при n четных при S n , 1 , 0 Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. 2 < n S при любом n. Ряды с неотрицательными членами. При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами. Теорема. Для сходимости ряда ∑ n u с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами. Пусть даны два ряда ∑ n u и ∑ при u n , v n ≥ 0. n v Теорема. Если u n ≤ v n при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда ∑ n v ∑ n u ∑ n u следует расходимость ряда ∑ n v Доказательство. Обозначим через S n и σ n частные суммы рядов и ∑ n u ∑ n v Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n σ n < M, где М – некоторое число. Но т.к. u n ≤ v n , то S n ≤ σ n то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости. ∑ n v ∑ n u Пример. Исследовать на сходимость ряд ln 1 3 ln 1 2 ln 1 + + + + n Т.к. n n 1 ln 1 > , а гармонический ряд ∑ n 1 расходится, то расходится и ряд ∑ n ln 1 Пример. Исследовать на сходимость ряд ∑ ∞ =1 2 1 n n n Т.к. n n n 2 1 2 1 < , а ряд ∑ n 2 1 сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд ∑ ∞ =1 2 1 n n n тоже сходится. Также используется следующий признак сходимости: Теорема. Если и существует предел 0 , 0 > > n n v u h v u n n n = ∞ → lim , где h – число, отличное от нуля, то ряды и ∑ n u ∑ n v ведут одинаково в смысле сходимости. 70 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Признак Даламбера. (Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик) Если для ряда ∑ n u с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство , 1 q u u n n ≤ + то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие ∑ n u , 1 1 ≥ + n n u u то ряд расходится. ∑ n u Предельный признак Даламбера. Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера. Если существует предел ρ = + ∞ → n n n u u 1 lim , то при ρ < 1 ряд сходится, а при ρ > 1 – расходится. Если ρ = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя. Пример. Определить сходимость ряда ∑ ∞ =1 2 n n n 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 ) 1 ( lim lim ; 2 1 ; 2 1 1 1 1 < = + = + = + = + = = + ∞ → + ∞ → + + n n n n n u u n u n u n n n n n n n n n n Вывод: ряд сходится. Пример. Определить сходимость ряда ! 1 ! 2 1 ! 1 1 1 + + + + + n 1 0 1 1 lim )! 1 ( ! lim lim ; )! 1 ( 1 ; ! 1 1 1 < = + = + = + = = ∞ → ∞ → + ∞ → + n n n u u n u n u n n n n n n n Вывод: ряд сходится. Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство ∑ n u q u n n ≤ , то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство ∑ n u , 1 ≥ n n u 71 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” то ряд расходится. ∑ n u Следствие. Если существует предел ρ = ∞ → n n n u lim , то при ρ<1 ряд сходится, а при ρ>1 ряд расходится. Пример. Определить сходимость ряда ∑ ∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + 1 2 2 5 3 1 2 n n n n 1 3 2 5 3 1 2 lim 5 3 1 2 lim lim 2 2 2 2 < = + + = + + = ∞ → ∞ → ∞ → n n n n u n n n n n Вывод: ряд сходится. Пример. Определить сходимость ряда ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 1 n n n 1 1 1 lim lim = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∞ → ∞ → n u n n n n Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю. 0 1 1 lim lim ≠ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∞ → ∞ → e n u n n n n , таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится. Интегральный признак Коши. Если ϕ (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1; ∞), то ряд ϕ (1) + ϕ (2) + …+ ϕ (n) + … = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости. ∑ ∞ = ϕ 1 ) ( n n ∫ ∞ ϕ 1 ) ( dx x Пример. Ряд 1 3 1 2 1 1 + + + + + α α α n сходится при α>1 и расходится α≤1 т.к. соответствующий несобственный интеграл ∫ ∞ α 1 x dx сходится при α>1 и расходится α≤1. Ряд ∑ ∞ = α 1 1 n n называется общегармоническим рядом. Следствие. Если f(x) и ϕ (х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и , 0 , ) ( ) ( lim 0 ≠ = ϕ + → h h x x f a x то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости. ∫ b a dx x f ) ( ∫ ϕ b a dx x) ( 72 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, исследующую на сходимость числовые ряды по всем рассмотренным выше признакам. Достаточно ввести общий член ряда и нажать Enter. Все признаки будут проверяться по очереди. Для запуска программы дважды щелкните на значке: Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( © Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с Maple V Release 4. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Знакочередующийся ряд можно записать в виде: ) 1 ( 1 4 3 2 1 + − + + − + − + n n u u u u u где ,... 3 , 2 , 1 , 0 = > n u n Признак Лейбница. Если у знакочередующегося ряда 4 3 2 1 абсолютные величины u i убывают и общий член стремится к нулю , то ряд сходится. ) 1 ( 1 + − + + − + − + n n u u u u u 3 2 1 > > > u u u 0 → n u Абсолютная и условная сходимость рядов. Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков). (1) ∑ ∞ = = + + + + 1 2 1 n n n u u u u и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1): ∑ ∞ = = + + + + 1 2 1 n n n u u u u (2) Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого ε>0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство: ε < + + + + + + p n n n u u u 2 1 По свойству абсолютных величин: ε < + + + ≤ + + + + + + + + + p n n n p n n n u u u u u u 2 1 2 1 ε < + + + + + + p n n n u u u 2 1 То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). 73 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Определение.__Ряд_называется_условно_сходящимся'>Определение.__Ряд_называется_абсолютно_сходящимся'>Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ∑ n u ∑ n u Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают. Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд ∑ n u ∑ n u расходится. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Пусть - знакопеременный ряд. ∑ n u Признак Даламбера. Если существует предел ρ = + ∞ → n n n u u 1 lim , то при ρ<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при ρ>1 ряд будет расходящимся. При ρ=1 признак не дает ответа о сходимости ряда. ∑ n u Признак Коши. Если существует предел ρ = ∞ → n n n u lim , то при ρ<1 ряд ∑ n u будет абсолютно сходящимся, а при ρ>1 ряд будет расходящимся. При ρ=1 признак не дает ответа о сходимости ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов. 1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда ∑ n u необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами. Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами. 2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда. 3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму. Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд. 4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда. 74 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” 5) Если ряды и сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и составленный из всех произведений вида и сумма равна S ⋅σ - ся рядов, то в результате ожно Функциональные последовательности. ∑ ∞ =1 n n u σ, то ∑ ∞ =1 n n v ряд, д ,.. 2 , 1 , , = k i v u k i взятых в каком уго но порядке, также сходится абсолютно его произведению сумм перемножаемых рядов. Если же производить перемножение условно сходящих м получить расходящийся ряд. Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования их значений называется областью сходимости. ак ка , является называется функциональным. числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится. Совокупность так Т к пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция: ) ( lim ) ( x f x f n n ∞ → = Определение. Последовательность {f n (x)} сходится к функции f(x) на отрезке ,b], [a если для любого числа ε>0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N( ε, x), такой, что неравенство ε < − ) ( ) ( x f x f n выполняется при n>N. значении ε>0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой омер |