ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
Определение. Функции ϕ(х) и ψ(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если 0 ) ( ) ( = ψ ϕ ∫ b a dx x x Определение. Последовательность функций ϕ 1 (x), ϕ 2 (x), …, ϕn(x), непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно ортогональны. j i dx x x b a j i ≠ = ϕ ϕ ∫ ; 0 ) ( ) ( 90 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций. Определение.__Система_функций_называется_ортогональной_и_нормированной_(ортонормированной)'>Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) , если ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = ϕ ϕ ∫ j i j i dx x x b a j i , 1 , 0 ) ( ) ( Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций ϕ 1 (x), ϕ 2 (x), …, ϕn(x) называется ряд вида: ∑ ∞ = ϕ 1 ) ( n n n x a коэффициенты которого определяются по формуле: [ ] ∫ ∫ ϕ ϕ = b a n b a n n dx x dx x x f a 2 ) ( ) ( ) ( , где f(x) = - сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b]. ∑ ∞ = ϕ 1 ) ( n n n x a В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются: ∫ ϕ = b a n n dx x x f a ) ( ) ( При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая разлагает в ряд Фурье произвольную функцию. Для запуска программы дважды щелкните на значке Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( © Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4. 91 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Интеграл Фурье. Пусть функция f(x) на каждом отрезке [-l,l], где l – любое число, кусочно – гладкая или кусочно – монотонная, кроме того, f(x) – абсолютно интегрируемая функция, т.е. сходится несобственный интеграл ∫ ∞ ∞ − dx x f ) ( Тогда функция f(x) разлагается в ряд Фурье: ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + π + = 1 0 sin cos 2 ) ( n n n x l n b x l n a a x f ,... 2 , 1 , sin ) ( 1 ,... 2 , 1 , 0 , cos ) ( 1 = π = = π = ∫ ∫ − − n tdt l n t f l b n tdt l n t f l a l l n l l n Если подставить коэффициенты в формулу для f(x), получим: = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ π π + π π + = ∑ ∫ ∫ ∫ ∞ = − − − 1 sin sin ) ( cos cos ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( n l l l l l l x l n tdt l n t f x l n tdt l n t f l dt t f l x f ∑ ∫ ∫ ∞ = − − − π + = 1 ) ( cos ) ( 1 ) ( 2 1 n l l l l dt x t l n t f l dt t f l Переходя к пределу при l →∞ , можно доказать, что 0 ) ( 2 1 lim = ∫ − ∞ → l l l dt t f l и ∑ ∫ ∞ = − ∞ → − π = 1 ) ( cos ) ( 1 lim ) ( n l l l dt x t l n t f l x f Обозначим ; 1 ; ; 1 π Δ = π = − = Δ π = + n n n n n u l l u u u l n u При l →∞ Δu n →0. ∑ ∫ ∞ = − ∞ → − Δ π = 1 ) ( cos ) ( lim 1 ) ( n l l n n l dt x t u t f u x f Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ − dt x t u t f du ) ( cos ) ( 0 Тогда π = 1 ) (x f ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ − dt x t u t f du ) ( cos ) ( 0 - двойной интеграл Фурье. 92 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Окончательно получаем: [ ] ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ π = π = + = utdt t f u b utdt t f u a du ux u b ux u a x f sin ) ( 1 ) ( cos ) ( 1 ) ( sin ) ( cos ) ( ) ( 0 - представление функции f(x) интегралом Фурье. Двойной интеграл Фурье для функции f(x) можно представить в комплексной форме: ∫ ∫ ∞ ∞ − − ∞ ∞ − π = dt e t f du x f t x iu ) ( ) ( 2 1 ) ( Преобразование Фурье. Определение. Если f(x) – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом отрезке, то функция ∫ ∞ ∞ − − = dx e x f u F iux ) ( ) ( называется преобразованием Фурье функции f(x). Функция F(u) называется также спектральной характеристикой функции f(x). Если f(x) – функция, представимая интегралом Фурье, то можно записать: ∫ ∞ ∞ − π = du e u F x f iux ) ( 2 1 ) ( Это равенство называется обратным преобразованием Фурье Интегралы ∫ ∞ π = 0 cos ) ( 2 ) ( uxdx x f u F и ∫ ∞ π = 0 sin ) ( 2 ) ( uxdx x f u F называются соответственно косинус - преобразование Фурье и синус – преобразование Фурье. Косинус – преобразование Фурье будет преобразованием Фурье для четных функций, синус – преобразование – для нечетных. Преобразование Фурье применяется в функциональном анализе, гармоническом анализе, операционном исчислении, теории линейных систем и др. 93 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Элементы теории функций комплексного переменного. Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного , отображающая множество D на множество G. w = f(z) Множество D называется областью определения, множество G – областью значений функции. Комплексную функцию можно записать в виде: ) , ( ) , ( ) ( y x iv y x u z f w + = = ) ( Im ) , ( ) ( Re ) , ( z f y x v z f y x u = = u, v – действительные функции от переменных х и у. Если каждому z ∈ D соответствует несколько различных значений w, то функция w=f(z) называется многозначной. Определение. Функция ) , ( ) , ( ) ( y x iv y x u z f w + = = имеет предел в точке z 0 , равный числу А = a + ib, если 0 ) ( lim 0 0 = − → A z f z − z ) ( lim 0 A z f z z = → Свойства функций комплексного переменного. Для функций комплексного переменного f(z) и g(z) справедливы следующие свойства: 1) [ ] ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim 0 0 0 z g z f z g z f z z z z z z → → → ± = ± 2) [ ] ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim 0 0 0 z g z f z g z f z z z z z z → → → ⋅ = ⋅ 3) 0 ) ( lim ; ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim 0 0 0 0 ≠ = → → → → z g z g z f z g z f z z z z z z z z Определение. Функция ) , ( ) , ( ) ( y x iv y x u z f w + = = называется непрерывной в точке z 0 , если выполняется равенство ) ( ) ( lim 0 0 z f z f z z = → Основные трансцендентные функции. Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими. Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл. 94 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций: ! ! 2 ! 1 1 2 + + + + + = n z z z e n z )! 1 2 ( ) 1 ( ! 5 ! 3 ! 1 sin 1 2 5 3 + + − + − + − = + n z z z z z n n )! 2 ( ) 1 ( ! 4 ! 2 1 cos 2 4 2 + − + − + − = n z z z z n n См. Представление функций по формуле Тейлора. Функции e z , cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера (см. Уравнение Эйлера. ) Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов. z i z e iz sin cos + = − Также справедливы равенства: i e e z e e z iz iz iz iz 2 sin 2 cos − − − = + = ) sin (cos y i y e e e e e x iy x iy x z + = = = + ( ) ; ; 2 1 2 1 zm m z z z z z e e e e e = = + ; 2 z i z e e = π + ; ) ( sin cos ; ) ( cos sin iz iz iz iz iz iz iz iz e e e e i z z ctgz e e i e e z z tgz − − − − − + = = + − = = Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т.д.), которые справедливы для функций действительного аргумента. Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются соответственно функции: ; ; ; 2 ; 2 z z z z z z z z z z z z e e e e z sh z ch z cth e e e e z ch z sh z th e e z ch e e z sh − − − − − − − + = = + − = = + = − = Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические: ; ; ; cos ; sin iz ictg z cth iz itg z th iz z ch iz i z sh = − = = − = Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2 πi, а функции th z и cth z – период πi. 95 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Пример. Найти sin(1+2i). = − − + = − = − = + − − − − − i i e i e i e e e e i e e i i i i i 2 ) 1 sin 1 (cos ) 1 sin 1 (cos 2 2 ) 2 1 sin( 2 2 2 2 2 2 1 cos 2 1 sin 2 1 cos 2 1 sin 2 2 ) ( 1 sin ) ( 1 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 sh ch e e i e e i e e i e e + = − + + = + + − = − − − − Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной. ; Lnz w z e w = = Если w = u + iv, то u w e e = и Arg e w = k z π + 2 arg = v. Тогда e u = z u z ln ; = Итого: ,... 2 , 1 , 0 ; 2 arg ln ± ± = π + + = = k ik z i z Lnz w Для комплексного числа z = a + ib ; arg a b arctg z = Определение. Выражение z i z z arg ln ln + = называется главным значением логарифма. Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами: 1) ; ln ln ) ln( 2 1 2 1 z z z z + = 2) ; ln ln ln 2 1 2 1 z z z z − = 3) ; ln ) ln( z n z n = 4) ; ln 1 ln z n z n = Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид: [ ] ( ) 1 1 2 ) 1 arg( 1 ln cos 2 2 2 − + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ π + − ± + − ± − = z z Ln i k z z i z z i z Arc [ ] ( ) 2 2 2 1 1 2 ) 1 arg( 1 ln sin z iz Ln i k z iz i z iz i z Arc − + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ π + − ± + − ± − = z i z i Ln i k zi zi i zi zi i Arctgz + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + − + + − + − = 2 1 2 1 1 arg 1 1 ln [ ] ( ) 1 2 ) 1 arg( 1 ln 2 2 2 + ± = π + + ± + + ± = z z Ln k z z i z z Arshz [ ] ( ) 1 2 ) 1 arg( 1 ln 2 2 2 − ± = π + − ± + − ± = z z Ln k z z i z z Archz z z Ln Arcthz − + = 1 1 2 1 96 |