ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
Определение. Функция F(p) называется изображением Лапласа функции f(t). Также функцию F(p) называют L – изображением или преобразованием Лапласа. Обозначается ); ( ) ( ); ( ) ( )}; ( { ) ( t f p F t f p F t f L p F • • • • = → = При этом функция f(t) называется начальной функцией или оригиналом, а процесс нахождения оригинала по известному изображению называется операционным исчислением. Теорема. (Теорема единственности) Если две непрерывнные функции f(x) и g(x) имеют одно и то же L – изображение F(p), то они тождественно равны. 103 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Определение. Функцией Хевисайда (Оливер Хевисайд (1850 – 1925) – английский физик) называется функция ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = σ 0 , 0 0 , 1 ) ( 0 t t t Свойства изображений. Если ) , то справедливы следующие свойства: ( ) ( t f p F • • = 1) Свойство подобия. ; 0 ; 1 ) ( > α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ α α = α • • p F t f 2) Свойство линейности. )]. ( [ )] ( [ )] ( ) ( [ t g BL t f AL t Bg t Af L + = + 3) Смещение изображения. ) ( ) ( α + = • • α − p F e t f t 4) Дифференцирование изображения. ) ( ) ( ) 1 ( t f t p F dp d n n n n • • = − 5) Дифференцирование оригинала. ) ( ) 0 ( ) ( t f f p pF ′ = − • • 6) Интегрирование изображения. ∫ ∞ • • = p dq q F t t f ) ( ) ( (Справедливо при условии, что интеграл сходится) 7) Интегрирование оригинала. p p F d f t ) ( ) ( 0 • • = τ τ ∫ Таблица изображений некоторых функций. Для большинства функций изображение находится непосредственным интегрированием. Пример. Найти изображение функции f(t) = sint. 104 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” = − − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = = = = = ∫ ∫ ∞ − ∞ − − − ∞ − dt t pe t e t v dt pe du tdt dv e u tdt e p F pt pt pt pt pt 0 0 0 cos cos ; cos ; ; sin ; sin ) ( − − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = = = − = ∞ − − − ∞ − ∫ 0 0 sin 1 ; sin ; ; cos ; cos 1 t pe t v dt pe du tdt dv e u tdt e p pt pt pt pt ∫ ∞ − 0 2 sin tdt e p pt 1 sin ) 1 ( 0 2 = + ∫ ∞ − tdt e p pt ; 1 1 sin 2 0 p tdt e pt + = ∫ ∞ − ; 1 1 sin 2 p t + = • • Для многих функций изображения посчитаны и приведены в соответствующих таблицах. № f(t) F(p) № f(t) F(p) 1 1 p 1 9 n t 1 ! + n p n 2 sin αt 2 2 α + α p 10 at t sin 2 2 2 ) ( 2 a p pa + 3 cos αt 2 2 α + p p 11 at t cos 2 2 2 2 2 ) ( a p p a + − − 4 e - α t α + p 1 12 t te α − 2 ) ( 1 α + p 5 sh αt 2 2 α − α p 13 ) cos (sin 2 1 3 at at at a − − 2 2 2 ) ( 1 a p + 6 ch αt 2 2 α − p p 14 ) (t f t n ) ( ) 1 ( p F dp d n n n − 7 at e t sin α − 2 2 ) ( a p a + α + 15 ∫ τ τ − τ t d t f f 0 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 p F p F 8 at e t cos α − 2 2 ) ( a p p + α + α + 16 ) ( ) ( t f n ) ( p F p n * * - при условии, что 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( = = = ′ = − n f f f Теоремы свертки и запаздывания. Теорема. (теорема запаздывания) Если f(t) = 0 при t < 0, то справедлива формула )] ( [ )] ( [ 0 0 t f L e t t f L pt − = − где t 0 – некоторая точка. 105 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Определение. Выражение называется сверткой функций f 1 (t) f 2 (t) и обозначается f 1 ∗ f 2 ∫ τ τ − τ t d t f f 0 2 1 ) ( ) ( и Теорема. (теорема свертки) Преобразование Лапласа от свертки равно оизведению преобразований Лапласа от функций f 1 (t) и f 2 (t) . пр ∫ τ τ − τ = • • t d t f f p F p F 0 2 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( Теорема. ( (1797 – 1872) – Интеграл Дюамеля (Дюамель французский атематик)). Если то верно равенство осредственным нтегрированием применяются приведенные выще теоремы и свойства. Пример. ) ( ) ( ); ( ) ( t g p G t f p F • • • • = = , м ∫ τ τ − ′ τ + = • • t d t g f g t f p G p pF 0 ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( Для нахождения изображений различных функций наряду с неп и t t sin Найти изображение функции 1 1 sin 2 + = • • p t Из таблицы изображений получаем: По свойству интегрирования изображения получаем: ∫ ∞ • • = p dq q F t t f ) ( ) ( ; 2 1 1 sin 2 arctgp arctgq dq q t t p p − π = = + = ∞ ∞ • • ∫ t 2 sin Пример. Найти изображение функции известна формула 2 2 cos 1 sin 2 t t − = Из тригонометрии Тогда ) 4 ( 2 2 1 ] 2 [cos 2 1 ] 1 [ 2 1 ] 2 cos 1 [ 2 1 sin 2 2 + − = − = − = • • p p p t L L t L t = ) 4 ( 2 ) 4 ( 2 4 2 2 2 2 + = + − + p p p p p p Операционное исчисление используется как для нахождения значений нтегралов, так и для решение дифференциальных уравнений. о линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. и Пусть дан ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 ) ( t f t x a t x a t x a n n = + ′ + + 106 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Требуется найти решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: и функция f(t) имеет (по теореме единственности) одно и то же изображение Лапласа. ) 0 ( ; ) 0 ( ; ) 0 ( ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 0 − − = ′ = ′ = n n x x x x x x Если функция x(t) является решением этого дифференциального уравнения, то оно обращает исходное уравнение в тождество, значит функция, стоящая в левой части уравнения )] ( [ 0 k ⎣ = t f L dt x d a L n k k k = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎡ ∑ Из теоремы о дифференцировании оригинала { } можно сделать вывод, что ) ( ) 0 ( ) ( t f f p pF ′ = − ). 0 ( ) 0 ( ) 1 ( − − k x ) 0 ( ] [ ) 2 ( 1 − − − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ k k k k k px x p x L p dt x d L Тогда ]. [ ] [ 0 f L x L a dt n ⎣ x d L a n n = + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎡ Обозначим ). ( ] [ ), ( ] [ p F f L p x x L = = + + + ′ + = + + + + − − − − − ] [ ] )[ ( ) 1 ( 0 0 2 0 1 0 1 1 1 n n n n n n n n x x p x p a a p a p a p a p x Получаем: е называется вспомогательным (изображающим) или операторным Отсюда получаем изображение ). ( ] [ ] [ 0 1 0 0 2 ) 2 ( 0 0 3 0 2 1 p F x a x px a x x p x p a n n n n + + ′ + + + + + ′ + + − − − − Это уравнени уравнением. ) ( p x , а по нему и искомую функцию x(t). Изображение получаем в виде: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 p R p p R p F p x n n n − Ψ + = Где . Если эти условия нулевые, то многочлен равен нулю, и формула принимает вид: ; ) ( 0 1 1 1 a p a p a p a p R n n n n n + + + + = − − ) ) 1 ( 0 − ′ n ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( 0 0 2 0 1 0 0 0 2 3 0 0 2 0 1 1 − − − − + + + + + + ′′ + ′ + + ′ + + = Ψ n n n n n x px x p x p a x x p x p a x px a x a p Этот многочлен зависит от начальных условий ) ( p R n ) ( ) ( p F p x = ассмотрим применение этого метода на примерах. Пример. Р 0 ) 0 ( ) 0 ( ; 2 4 = ′ = = + ′′ y y y y Решить уравнение Изображение искомой функции будем искать в виде: ) ( ) ( p R p F y n = 107 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” 4 4 0 1 ) ( ; 2 ] 2 [ ] [ ) ( 2 2 + = + ⋅ + ⋅ = = = = p p p p R p L f L p F n ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = + = 4 1 2 1 ) 4 ( 2 2 2 p p p p p y Находим оригинал, т.е. искомую функцию: ) 2 cos 1 ( 2 1 x y y − = = • • Пример. Решить уравнение 1 ) 0 ( ; 0 2 = = − ′ y y y ; 1 ; 2 ) ( ; 0 ] 0 [ ] [ ) ( 0 1 1 = = Ψ − = = = = − y a p p R L f L p F n n ; 2 1 − = p y ; 2x e y y = = • • Пример. Решить уравнение: ; 0 ) 0 ( ; 1 ) 0 ( ; 0 ) 0 ( ; 0 6 11 6 = ′′ = ′ = = − ′ + ′′ − ′′′ y y y y y y y ; 6 11 6 ) ( ; 0 ] 0 [ ] [ ) ( 2 3 − + − = = = = p p p p R L f L p F n 6 ) ( ) ( ) ( 0 0 0 2 3 0 0 2 0 1 1 p y y p y p a y py a y a p n + − = ′′ + ′ + + ′ + + = Ψ − Изображение искомой функции 6 11 6 6 2 3 − + − + − = p p p p y Для нахождения оригинала необходимо разложить полученную дробь на элементарные дроби. Воспользуемся делением многочленов (знаменатель делится без остатка на p – 1): p 3 – 6p 2 + 11p – 6 p - 1 p 3 – p 2 p 2 – 5p + 6 -5p 2 + 11p -5p 2 + 5p 6p - 6 6p - 6 0 В свою очередь ) 3 )( 2 ( 6 5 2 − − = + − p p p p Получаем: ). 3 )( 2 )( 1 ( 6 11 6 2 3 − − − = − + − p p p p p p Тогда: ; 3 2 1 6 11 6 6 2 3 − + − + − = − + − + − = p C p B p A p p p p y Определим коэффициенты А, В и С. p p p C p p B p p A + − = − − + − − + − − 6 ) 2 )( 1 ( ) 3 )( 1 ( ) 3 )( 2 ( p C Cp Cp B Bp Bp A Ap Ap + − = + − + + − + + − 6 2 3 3 4 6 5 2 2 2 p C B A C B A p C B A p + − = + + + + + − + + 6 2 3 6 ) 3 4 5 ( ) ( 2 108 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = = − = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − − − = − − = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + − = + − − = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + + − = + + = + + 2 3 4 2 5 6 1 2 2 1 6 4 1 2 6 2 3 6 1 3 4 5 0 C B A A A B B A C B A B A B A C C B A C B A C B A Тогда ; 3 2 3 2 4 1 2 5 6 11 6 6 11 2 3 − − + − + − − = − + − − = p p p p p p p y ; 2 3 4 2 5 3 2 x x x e e e y y − + − = = • • Приемы операционного исчисления можно также использовать для решения систем дифференциальных уравнений. Пример. Решить систему уравнений: ; 3 4 4 3 ⎩ ⎨ ⎧ − = ′ + = ′ y x y y x x 1 ) 0 ( ) 0 ( = = y x Обозначим ) ( ), ( p y p x - изображения искомых функций и решим вспомогательные уравнения: ⎩ ⎨ ⎧ − = − + = − ⎩ ⎨ ⎧ − = ′ + = ′ ) ( 3 ) ( 4 ) 0 ( ) ( ) ( 4 ) ( 3 ) 0 ( ) ( ; ] [ 3 ] [ 4 ] [ ] [ 4 ] [ 3 ] [ p y p x y p y p p y p x x p x p y L x L y L y L x L x L Решим полученную систему алгебраических уравнений. ; ) 3 )( 25 ( 21 4 ) ( 25 1 ) ( ; ) ( 3 3 1 ) ( 4 4 1 ) ( 3 1 ) ( 4 ) ( 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − − + = − + = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − + = − − + = p p p p p x p p p y p y p p y p y p p p y p x ; 25 7 25 25 7 ) 3 )( 25 ( ) 3 )( 7 ( ) ( 2 2 2 2 − + − = − + = − − − + = p p p p p p p p p p x ; 5 5 7 5 ) ( ) ( t sh t ch t x p x + = = • • ; 25 1 25 ) ( 2 2 − + − = p p p p y ; 5 5 1 5 ) ( ) ( t sh t ch t y p y + = = • • Если применить к полученным результатам формулы 109 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ; 2 ; 2 z z z z e e shz e e chz − − − = + = то ответ можно представить в виде: ; 5 2 5 3 5 1 5 6 5 5 5 5 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + = − = − − t t t t e e y e e x Как видно, гиперболические функции в ответе могут быть легко заменены на показательные. Пример. Решить систему уравнений ⎩ ⎨ ⎧ + = ′ + = ′ y x y y x x 2 2 2 5 при x(0) = y(0) = 1 Составим систему вспомогательных уравнений: ; ) ( 2 ) ( 2 ) 0 ( ) ( ) ( 2 ) ( 5 ) 0 ( ) ( ; ] [ 2 ] [ 2 ] [ ] [ 2 ] [ 5 ] [ ⎩ ⎨ ⎧ + = − + = − ⎩ ⎨ ⎧ + = ′ + = ′ p y p x y p y p p y p x x p x p y L x L y L y L x L x L ; ) 6 )( 1 ( ) ( ) 6 )( 1 ( 3 ) ( ; 1 ) ( 2 5 2 ) ( 4 ) ( 5 1 ) ( 2 ) ( ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − = − − − = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + + − + = − + = p p p p x p p p p y p y p p y p y p p p y p x ; 5 3 5 2 6 1 5 3 1 1 5 2 6 1 ) ( 6 t t e e p p p B p A p y + = − + − = − + − = • • ; 5 6 5 1 6 1 5 6 1 1 5 1 6 1 ) ( 6 t t e e p p p D p C p x + − = − + − − = − + − = • • Если обозначить ; 5 3 ; 5 1 2 1 = − = C C то из полученного частного решения системы можно записать и общее решение: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + = t t t t e C e C y e C e C x 6 2 1 6 2 1 2 2 При рассмотрении нормальных систем дифференциальных уравнений этот пример был решен традиционным способом (См. Другой способ решения. ). Как видно, результаты совпадают. Отметим, что операторный способ решения систем дифференциальных уравнений применим к системам порядка выше первого, что очень важно, т.к. в этом случае применение других способов крайне затруднительно. 110 |