ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
решения. Чтобы проверить 0 2 cos sin sin + ′ = − ′ + ′ x y y y y y y y y x y y cos 2 − = ′ - верно имер. Пр y y y ln = ′ Найти решение дифференциального уравнения при условии (2) = 1. у y dy ydx ln = y ydy dx ln = ∫ ∫ = y ydy dx ln ∫ = + ) (ln ln y yd C x 8 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” 2 ln 2 y C x = + при у(2) = 1 получаем ; 2 ; 0 2 2 = ⇒ = + = + C C C ; 2 1 ln 2 − ⇒ того или И ln ) 2 ( 2 x = − : ; 2 y 4 2 − ± = x e y - решение; Проверка: частное 4 2 2 2 4 2 − ± ⋅ = ′ − ± x e y x , итого y x e y x 2 ′ − ± x e y x ln 4 2 ) 4 2 ( 4 4 2 = − ± = − ± = − ± - верно. Пример. 3 2 y y = ′ Решить уравнение 3 2 y dx dy = dx dy y = − 3 2 ∫ ∫ = − dx dy y 3 2 C x y + = 3 1 3 общий интеграл 3 ) ( 27 C x y + = - 3 ) ( 27 1 C x y + = - общее решение Пример. ). 1 ( 2 + = ′ y x y Решить уравнение ∫ ∫ = + = + ; 1 ; 1 2 2 dx y dy dx y dy ; 2 ; 2 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + = C x tg y C x arctgy Пример. 0 = + ′ y e x y y при ловии у(1) = 0. ус 0 = + y xe dx ydy Решить уравнение ; ; 0 xdx dy e y dx xe ydy y y − = = + ; ∫ ∫ − = xdx dy e y y Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см. Интегрирование по частям. ). ); 1 ( ; ; ; ; + − = − − = − − − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = = = = − − − − − ∫ ∫ y e e y e dy e y e e v dy du dv dy e y u dy ye y y y y y y y y 9 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ; 2 ) 1 ( 0 2 C x y e y + = + − C x y e y + = + − 2 ) 1 ( 2 Если у(1) = 0, то 1 ) 1 0 ( 2 0 + e ; Итого, частный интеграл Пример. 1 ; 2 ; 1 = ⇒ + = ⇒ + = C C C : 1 ) 1 ( 2 2 + = + − x y e y ) sin( ) sin( y x y x y − = + + ′ Решить уравнение 0 ) sin( ) sin( = − − + + ′ y x y x y 0 2 cos 2 sin 2 = − − − − + + − ′ y y x y x y x y x 0 cos ) sin( 2 = − − ′ x y y 0 cos sin 2 = + ′ x y y ∫ ∫ − = − = ; cos 2 sin ; cos 2 sin xdx y xdx y dy dy Для нахождения интеграла, стоящего в левой части равнения см. Таблица основных у интегралов. п.16. Получаем общий интеграл: C x y tg + − = sin 2 2 ln 0 2 2 = ′ + − y y xe x Пример. Решить уравнение Преобразуем заданное уравнение: 0 2 2 = + − ydx dy xe x 0 2 2 = + − y dy dx xe x C y dy dx xe x = + ∫ ∫ − 2 2 C y e x = + − − ln 2 Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из того соотношения ю функцию , то получим общее решение. Пример. э выразить искому у ) 1 ( 2 + = ′ y x y Решить уравнение ) 1 ( 2 + = y x dx dy 10 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” xdx y dy = +1 2 ∫ ∫ = + xdx y dy 1 2 ; C x arctgy + = 2 2 ; ⎟⎟ ⎞ ⎜ ⎛ + = C x tg y 2 ⎠ ⎜ ⎝ 2 Допустим, заданы некоторые начальные условия х 0 и у 0 . Тогда: ; 2 ; 2 2 0 0 0 0 2 0 0 x arctgy C C x arctgy − = ⇒ + = олучаем частное решение 2 2 2 0 0 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = x arctgy x tg y П Однородные уравнения. Определение.__Функция_f(x,_y)_называется_однородной_n_–_го_измерения'>Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме ется тождество: Пример. нуля) выполня ). , ( ) , ( y x f t ty tx f n = Является ли однородной функция аким и ? 3 ) , ( 2 3 y x x y x f + = ) 3 ( 3 ) ( 3 ) ( ) , ( 2 3 3 2 3 3 3 2 3 y x x t y x t x t ty tx tx ty tx f = + = + = + = ) , ( 3 y x f t Т образом, функц я f(x, y) является однородной 3- го порядка Определение. Дифференциальное уравнение вида ) , ( y x f y = ′ называется часть f(x, y) есть о р однородным , если его правая днородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов. Любое у авнение вида 0 ) , ( ) , ( = + dy y x Q dx y x P является однородным если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения. , авнения основано на приведении этого Рассмотрим однородное уравнение Решение любого однородного ур у ния к уравнению с разделяющимися равне переменными. , ( y x f y ). = ′ Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать: ). , ( ) , ( y x f ty tx f = Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что x t 1 = . Получаем: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y f y x f , 1 ) , ( 11 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента x y u = , т.е. ); ( ) , ( u x y y x f ϕ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ϕ = Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде: ) (u y ϕ = ′ Далее заменяем y = ux, x u x u y ′ + ′ = ′ ; ) ( ); ( ); ( x u u u u u x u u x u x u − ϕ = ′ ϕ = + ′ ϕ = ′ + ′ таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u. ∫ ∫ + = − ϕ = − ϕ ; ) ( ; ) ( C x dx u u du x dx u u du Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения. Пример. Решить уравнение ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ′ 1 ln x y x y y Введем вспомогательную функцию u. u x u y ux y x y u + ′ = ′ = = ; ; Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее x y u ln ln = Подставляем в исходное уравнение: ; ln ; ln ); 1 (ln u u x u u u u u x u u u u x u = ′ + = + ′ + = + ′ Разделяем переменные: ∫ ∫ = = ; ln ; ln x dx u u du x dx u u du Интегрируя, получаем: ; ; ln ; ln ln ln Cx e u Cx u C x u = = + = Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение: Cx xe y = 12 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Уравнения, приводящиеся к однородным. ний, которые с омощью определенных подстановок могут приведены к однородным. Это уравнения вида Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравне п ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + = ′ 1 1 1 c y b x a c by ax f y Если определитель , 0 1 1 ≠ b a b a то переменные могут быть разделены подстановкой ; ; β + = α + = v y u x где α и β - решения системы уравнений Пример. ⎩ ⎨ ⎧ = + + = + + 0 0 1 1 1 c y b x a c by ax 0 ) 1 2 ( ) 3 2 ( = − + + + − dx y x dy y x Решить уравнение Получаем ; 3 2 1 2 ; 1 2 ) 3 2 ( + − − − + = + − − = + − y x y x dx dy y x dx dy y x Находим значение определителя 0 5 1 4 2 1 1 2 ≠ = + = − − − ; 5 / 7 5 / 1 ; 0 3 4 2 2 1 ; 0 3 2 0 1 2 ⎩ ⎨ ⎧ = − = ⎩ ⎨ ⎧ = + + − − = ⎩ ⎨ ⎧ = + − = + − − y x x x x y y x y x Решаем систему уравнений рименяем подстановку ; 5 / 7 ; 5 / 1 + = − = v y u x П в исходное уравнение: ; 0 ) 1 5 / 7 5 / 2 2 ( ) 3 5 / 14 2 5 / 1 ( = − + + − + + − − − du v u dv v u ; 0 ) 2 ( ) 2 ( = + + − du v u dv v u ; 1 / 2 / 2 2 2 − + = − + = u v u v u v v u du dv Заменяем переменную ; ; ; t u t v ut v t u v + ′ = ′ = = при подстановке в выражение, записанное выше, имеем: 1 2 2 − + = + ′ t t t u t переменные: ; 1 2 ) 1 ( 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 − − + = − + − + = − − + = t t t t t t t t t t u du dt Разделяем ∫ ∫ − + − − = − + − ⋅ − = ; 1 ) 2 1 ( 2 1 ; 1 2 1 2 1 2 2 t t dt t u du dt t t t u du 1 2 ln ln 1 ln 2 1 C u t t + = − + − u C t t 1 2 ln 2 1 ln − = − + 13 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ; 1 ; ln 1 ln 2 2 2 2 2 u u t Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х. 2 C t t C t = − + = − + ; 5 / 1 ; 1 5 7 5 5 / 1 5 / 7 + = + − = + − = = x u x y x y u v t ; ) 1 5 ( 25 1 5 7 5 1 5 7 5 1 2 2 2 + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + − + x C x y x y 2 2 2 25 ) 7 5 ( ) 1 5 )( 7 5 ( ) 1 5 ( C y x y x = − − + − + + 2 2 2 25 49 70 25 7 35 5 25 1 10 25 C y y x y xy x x = + − − − + + + + − 7 1 49 25 25 75 25 25 25 2 2 2 + − + = − + + − C y y xy x x ; 25 55 2 2 C C = + = 3 2 y y xy x x − + + − Итого, выражение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения. В сл C y y xy x x = − + + − 2 2 3 учае если в исходном уравнении вида ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ + + = ′ b x a ax f y ⎛ + + 1 1 1 c y c by определитель , 0 1 1 = b a b a то переменные могут быть разделены подстановкой .t by ax = + мер. 0 ) 1 3 3 ( ) ( 2 = − + + + dx y x dy y x При Решить уравнение ; 2 2 1 3 3 2 2 1 3 3 ; 1 3 3 ) ( 2 y x dy y x y x y x y x y x dx dy dx + − − − = + + − + Получаем = + − − = + Находим значение определителя ; 0 6 6 2 2 3 3 = + − = − − 3 3 t y x = + Применяем подстановку ; 1 3 − ′ = dx одставляем это выражение в исходное уравнение: t dy П ; 9 3 2 ; 9 9 6 2 ; 9 9 ) 3 ( 2 ; 2 1 3 + ) 1 ( 3 + − = ′ − = ′ + − = − ′ − − = − t ′ t t t t t t t t t t t t Разделяем переменные: ; 2 3 3 ; 9 3 2 dx dt t t dx dt t t − = − = + − ∫ ∫ − = ⎟ ⎠ ⎝ − 2 3 t ⎞ ⎜ ⎛ + 3 3 1 dx dt ; 1 2 3 3 ln 3 C x t t + − = − + Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х. 14 |