ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
Определение. Дифференциальное урав ние называется линейным не относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде: ), ( ) ( x Q y x P y = + ′ при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется инейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не авна родным ифференциальным уравнением. P(x) и Q(x x < b. ьные уравнения. л р нулю, то такое уравнение называется линейным неодно д )- функции непрерывные на некотором промежутке a < Линейные однородные дифференциал Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида 0 ) ( = + ′ y x P y Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей. dx x P y dy ) ( − = ; ln ) ( ln ∫ + − = C dx x P y ∫ − = ; ) ( ln x d x P C y решение: е уравнения. ∫ = − dx x P Ce y ) ( Общее Линейные неоднородные дифференциальны Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x) ≠ 0) применяются основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа. в 15 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Метод Бернулли. и (1654-1705) – швейцарский математик.) я в том, что ис виде роизведения двух функций (Якоб Бернулл Суть метода заключаетс комая функция представляется в uv y = п При этом очевидно, что dx du v dv u y ⋅ + ⋅ = ′ - ди dx фференцирование по частям. Подставляя в исходное уравнение, получаем: ) ( ) ( x Q uv x P dx dx du v dv u = + + ) ( ) ( x Q u x P dx du v dx dv u = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + Далее следует важ амечание – т.к. первоначаль ное з ная функция была представл и в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это нкция ена нам произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению. Например, фу 2 2 x y = может быть представлена как ; 2 ; 2 2 2 x y x y ⋅ = ⋅ = ; 2 x x y ⋅ = и т.п. 1 Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение 0 ) ( = + u x P du dx Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме: ∫ ∫ ∫ − = − = − = ; ) ( ln ; ) ( ; ) ( dx x P u dx x P u du dx x P u du ∫ = ∫ = − = + − ; / 1 ; ; ) ln ln ) ( 1 C u dx x P u C dx x P Для нахождения второй неизвестной фун ( 1 C Ce кции v подставим поученное ыражение для функции u в исходное уравнение ) ( ) ( x Q u x P dx du v dx dv u = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + в с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю. ; ) ( ); Cd x ( ) ( ) ( dx e x Q v Q dx dv Сe dx x P dx x P ∫ = = ∫ − Интегрируя, можем найти функцию v: ) ( ) ( e x Q Cv dx x P ∫ = 2 ) ( ) ( 1 C dx e x Q 1 C dx + ∫ ; C v = dx x P + ∫ ∫ ; Т.е. была получена вторая составляющая произведения uv y = , которое и определяет искомую функцию. Подставляя полученные значения, получаем: ⎟ ⎠ ⎝ ⎞ ⎜ ⎛ + ∫ ∫ 2 ) ( ) ( C dx e x Q C dx x P Окончательно получаем формулу: ⋅ ∫ = = − ) ( 1 Ce uv y dx x P 16 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ + ∫ ⋅ ∫ = ∫ − 2 ) ) ( ) ( C dx e x Q e y dx dx x P , С 2 - произвольный коэффициент. ⎛ ( x P Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного ифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли. д Метод Лагранжа. ( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - франц зский математик, през. Берлинской АН, Пет еоднородных линейных дифференциальных равне ции произвольной постоянной Вернемся к поставленной задаче: у поч. чл. (1776)). . АН Метод Лагранжа решения н у ний еще называют методом вариа ) ( ) ( x Q y x P y = + ′ Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и амене з ее нулем. 0 ) ( = + ′ y x P y Далее находится решение получившегос однородного дифференциального уравне ей от х. Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем: я ния: ∫ = − dx x P e C y ) ( 1 Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С 1 некоторой функци )); ( ( ) ( 1 1 e x C e dx dx y − ⋅ ∫ + ∫ = = ′ ) ( ) ( ) ( x P x dC dy dx x P dx x P − − одставляем полученное соотношение в исходное уравнение П ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 x Q e x C x P e x P x C e dx x dC dx x P dx x P dx x P = ∫ + ∫ − ∫ − − − ); ( 1 x Q e dx = ) ( ) ( x dC dx x P ∫ − делим переменную функцию С 1 (х): Из этого уравнения опре ; ) ( ) ( ) ( 1 dx e x Q x dC dx x P ∫ = Интегрируя, получаем: ) ( dx x P ; ) ( 1 C dx e x Q C + = ∫ ∫ Подставляя это значение в исходное уравнение, полу ем: ча ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ + ∫ ∫ = ∫ − C dx e x Q e y dx x P dx x P ) ( ) ( ) ( ⎠ ⎝ 17 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует уководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений азличными методами и сравним результаты. Пример. расчета по методу Бернулли. При р интеграл. р 1 2 2 x e ax y y x = + ′ Решить уравнение 1 1 2 x ae y x y = + ′ Сначала приведем данное уравнение к ст андартному виду: ; ; 1 1 2 x ae Q x P = = Применим полученную выше формулу: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ ∫ = ∫ − C dx e ae e y dx x x dx x 2 2 1 1 1 ( ) ∫ ∫ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = − C adx e C dx e ae e y x x x x 1 1 1 1 ). ( 1 C ax e y x + = Уравнение Бернулли. Определение.__Уравнением_Бернулли'>Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида , n y Q Py y ⋅ = + ′ г Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное чи равное 1. Для решения уравнения Бернулли применяют под де P и сло, не становку 1 1 − = n y z , с помощью оторой, уравнение Бернулли приводится к линейному. Для этого разделим исходное уравнение на y n к ; 1 1 Q y P y y n n = + ′ − Применим подстановку, учтя, что n n n y y n y y y n z ′ − − = ′ ⋅ − − = ′ − − ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 Q Pz n = + − z′ − 1 Pz n z ) 1 ( − = − − ′ Q n ) 1 ( − Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z. Решение этого уравнения будем искать в виде: 18 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” 19 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ ∫ = ∫ − C dx e Q e z dx P Pdx 1 1 ) 1 ( ( 1 n n Q ; ) 1 1 P P Q − − = − − = ln 2 x xy y y x = + ′ Пример. Решить уравнение на xy 2 : ln 1 1 2 x y x Разделим уравнение y y = ⋅ + ′ Полагаем ; 1 2 y y z y z ′ − = ′ = x z x z x z x z ln 1 ; ln 1 − = − ′ = + ′ − Полагаем ln , 1 x Q x P − = − = ( ) ; ln ; ln ln ln C dx xe e z C dx xe e z x x x dx x dx + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ − ∫ = ∫ ∫ − − ( ) ; ) (ln ln ; ln C x xd x z C x dx x x z + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ − = ∫ ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎛ − = x z ln 2 ⎝ + C x 2 Произведя обратную подстановку, получаем: 2 ln 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = C x x y 4 2 y x y y x = − ′ Пример. Решить уравнение Разделим обе части уравнения на y x 4 1 x y x dx dy y = − ; 2 ; 2 1 ; z y y y y z y z ′ = ′ ′ = ′ = Полагаем ; 2 ; 4 2 1 x x z dx dz x z x z y y = − = − ′ 2 Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение: ; 2 ; 2 ; 0 2 x dx z dz x z dx dz x z dx dz = = = − ∫ ∫ + = + = ; ; ln ln 2 ln ; 2 2 Cx z C x z C x dx z dz = 1 олагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что: П Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ; ) ( ) ( 2 2 dx x dC x x xC dx dz + = ; 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 2 2 x x x C x dx x dC x x xC = − + ; ln 2 1 ) ( ; 2 1 ) ( 2 C x x C x dx x dC + = = Получаем: ; ln 1 2 ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ + = x C x z 2 2 ⎠ ⎝ Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ: ; ln 2 1 2 2 4 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = x C x y Уравнения в полных дифференциалах (тотальные). Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида: 0 ) , ( ) , ( = + dy y x N dx y x M называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции ). , ( y x F u = Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде: ; 0 C u du = = Таким образом, для 1) в каком случае левая ч решения надо определить: асть уравнения представляет собой полный дифференциал най Если дифференциальная форма функции u; 2) как ти эту функцию. d y x N dx y x M ) , ( ) , ( y + является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать: ) , ( ) , ( dy y u dx x u dy y x N dx y x M du ∂ ∂ + ∂ ∂ = + = ⎪ ⎪ ⎩ ⎨ = ∂ ∂ ) , ( y x N y u Т.е. ⎪⎪ ⎧ = ∂ ∂ ) , ( y x M x u Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х: ⎪ ⎪ ⎩ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ x y x N y x u ) , ( 2 Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ y y x M y x u ) , ( 2 достаточное условие того, что левая часть дифференциального равнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности. у 20 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” y x N y x M ∂ = y x ∂ ∂ ∂ ) , ( ) , ( Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u. Проинтегрируем равенство ) , ( y x M x ∂ ). ( ) , ( y C dx y x M u + = u = ∂ : ∫ Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую еменная у полагается постоянным Определим функцию С(у). Продифференцируем полученное равенство по у. функцию С(у), т.к. при интегрировании пер параметром. ). ( ) y , ( ) , ( y C dx x M y y x N y u ′ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∫ Откуда получаем: ∫ ∂ ∂ − = ′ ) , ( ) , ( ) ( dx y x M y y x N y C Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю. [ ] 0 ) , ( ) , ( = ∂ − ∂ = y x M y x N ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ′ ′ ∫ ∫ y x dx y x M x y x y x N dx y x M y x x y x N y С x Теперь определяем функцию С(у): C dy dx y x M y x N y C + ⎤ ⎡ ∂ − = ∫ ∫ ) , ( ) , ( ) ( y ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ∂ Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем: ) , ( ) , ( ) , ( C dy dx y x M y y x N dx y x M u + ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ∂ − + = ∫ ∫ ⎤ ⎡ ∂ Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид: ) , ( ) , ( ) , ( C dy dx y x M y y x N dx y x M = ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ∂ − + ∫ ∫ Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференци ⎤ ⎡ ∂ алах не бязате ю формулу. Решение может получиться более методу, которым формула была получена. о льно использовать полученну компактным, если просто следовать 0 ) 1 5 ( ) 10 3 ( 2 2 = − + + dy x dx xy x Пример. Решить уравнени е ; 10 ) 10 3 ( ) , ( 2 x y xy x y y x M = ∂ + ∂ = ∂ ∂ Проверим условие тотальности: 10 ) 1 5 ( ) , ( 2 x x x x x N = ∂ − ∂ = ∂ ∂ y выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Условие тотальности 21 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Определим функцию u. ); ( 5 ) ( ) 10 3 ( ) ( ) , ( 2 3 2 y C y x x y C dx xy x y C dx y x M u + + = + + = + = ∫ ∫ ; 1 5 ) , ( ) ( 5 2 2 − = = ′ + = ∂ ∂ x y x N y C x y u 1 ) 1 ( ) ( ; 1 ) ( C y dy y C y C + − = − = − = ′ ∫ ; Итого Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения: , . 5 1 2 3 C y y x x u + − + = ;. 5 2 1 2 3 С C y y x x u = + − + = 5 C y y x x = − + 2 3 Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’). Решение уравнений, не содержащих в случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме принимая за параметр производную одном , неизвестной функции. p y = ′ Для уравнения первого ти па получаем: ) ( ); ( dx Делая замену, получаем: dp p f y p f y ′ = ′ = ; ) ( dp p f p ′ = dx В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. ∫ + ′ = = ; C dp p dp p dx Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений: ′ ) ( ) ( p f p f x ⎪⎩ ⎪ ⎨ + = ∫ C dp p x ⎧ = ′ ) ( ) ( p f y p f Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем р льтат: Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме. езу ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ′ = ∫ ) ( ) ( p f x C dp p f p y 22 |