ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: , ) ( ) ( x e x P x f α = где - многочлен степени m. m m m A x A x A x P + + + = − ) ( 1 1 0 Тогда частное решение ищется в виде: ) (x Q e x y x r α = Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число α является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения. Пример. Решить уравнение x y y = ′ − ′′′ 4 Решим соответствующее однородное уравнение: . 0 4 = ′ − ′′′ y y ; 2 ; 2 ; 0 ; 0 ) 4 ( ; 0 4 3 2 1 2 3 − = = = = − = − k k k k k k k ; 2 3 2 2 1 x x e C e C C y − + + = Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше. 0 ; ) ( = α = x x P Частное решение ищем в виде: , где ) (x Q e x y x r α = ) ( ; 0 ; 1 B Ax x Q r + = = α = Т.е. 2 Bx Ax y + = Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В. Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение. ; 0 ; 2 ; 2 = ′′′ = ′′ + = ′ y A y B Ax y ; 0 ; 8 1 ; 1 8 ; 4 8 0 = − = = − = − − B A A x B Ax Итого, частное решение: 8 2 x y − = 49 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: 8 2 3 2 2 1 2 x x e C e C C x y − + + + − = II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: [ ] x x P x x P e x f x β + β = α sin ) ( cos ) ( ) ( 2 1 Здесь Р 1 (х) и Р 2 (х) – многочлены степени m 1 и m 2 соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид: [ ] x x Q x x Q e x y x r β + β = α sin ) ( cos ) ( 2 1 где число r показывает сколько раз число β + α i является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q 1 (x) и Q 2 (x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m 1 и m 2 Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию. Т.е. если уравнение имеет вид: ) ( ) ( ) ( 2 1 x f x f y L + = , то частное решение этого уравнения будет где у 1 и у 2 – частные решения вспомогательных уравнений , 2 1 y y y + = ) ( ) ( 1 x f y L = и ) ( ) ( 2 x f y L = Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом. Пример. Решить уравнение 2 sin x x y y − = + ′′ Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f 1 (x) + f 2 (x) = x + (-sinx). Составим и решим характеристическое уравнение: ; ; 0 1 2 , 1 2 i k k ± = = + 1. Для функции f 1 (x) решение ищем в виде ) ( . 1 x Q e x y x r α = Получаем: ; ) ( , 0 , 0 B Ax x Q r + = = = α Т.е. ; 1 B Ax y + = ; 0 ; 1 ; ; 0 ; 1 1 = = = + = ″ = ′ B A x B Ax y A y Итого: ; 1 x y = 2. Для функции f 2 (x) решение ищем в виде: ) sin ) ( cos ) ( ( 2 1 2 x x Q x x Q e x y x r β + β = α Анализируя функцию f 2 (x), получаем: ; 0 ; 2 ; 0 ; 1 ) ( ; 0 ) ( 2 1 = = β = α − = = r x P x P Таким образом, ; 2 sin 2 cos 2 x D x C y + = 50 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” ; 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 4 2 cos 4 ; 2 sin 4 cos 2 4 ; 2 cos 2 2 sin 2 2 2 x x D x C x D x C x D x C y x D x C y − = + + − − − − = ″ + − = ′ x x D x C 2 sin 2 sin 3 2 cos 3 − = − − ; 3 1 ; 0 = = B A Итого: ; 2 sin 3 1 2 x y = Т.е. искомое частное решение имеет вид: ; 2 sin 3 1 2 1 x x y y y + = + = Общее решение неоднородного дифференциального уравнения: ; sin cos 2 sin 3 1 2 1 x C x C x x y + + + = Рассмотрим примеры применения описанных методов. Пример. Решить уравнение 3 2 x e y y y = + ′ − ′′ Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения: ; 1 ; 0 1 2 2 1 2 = = − + − k k k k Общее решение однородного уравнения: 2 1 x x xe C e C y + = Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде: ) (x Q e x y x r α = ; ) ( ; 2 ; 1 C x Q r = = = α 2 x e Cx y = Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. 2 2 2 ; 2 2 2 x x x x x x e Cx Cxe Cxe Ce y e Cx Cxe y + + + = ′′ + = ′ Подставляя в исходное уравнение, получаем: 3 2 4 4 2 2 2 2 x x x x x x x e e Cx e Cx Cxe e Cx Cxe Ce = + − − + + 2 3 ; 3 2 = = C C Частное решение имеет вид: 2 3 2 x e x y = Общее решение линейного неоднородного уравнения: 2 3 2 2 1 x x x e x xe C e C y + + = Пример. Решить уравнение 1 2 − = ′ − ′′′ x y y Характеристическое уравнение: k ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ) 1 ( ; 0 3 2 1 2 3 − = = = = − = − k k k k k k 51 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Общее решение однородного уравнения: 3 2 1 x x e C e C C y − + + = Частное решение неоднородного уравнения: . ) (x Q e x y x r α = ) ( ; 1 ; 0 2 C Bx Ax x Q r + + = = = α Cx Bx Ax y + + = 2 3 Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение: ; 6 ; 2 6 ; 2 3 2 A y B Ax y C Bx Ax y = ′′′ + = ′′ + + = ′ ; 1 2 3 6 2 2 − = − − − x C Bx Ax A ; 1 6 ; 0 2 ; 1 3 − = − = − = − C A B A ; 1 ; 0 ; 3 1 − = = − = C B A Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения: 3 1 3 3 2 1 x x e C e C C y x x − − + + = − Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Определение.__Общим_решением'>Определение.'>Определение. Совокупность соотношений вида: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ′ ′ ′ = ′ ′ ′ = ′ ′ ′ 0 ) ,..., , , ,..., , , ( 0 ) ,..., , , ,..., , , ( 0 ) ,..., , , ,..., , , ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 n n n n n n n y y y y y y x F y y y y y y x F y y y y y y x F где х- независимая переменная, у 1 , у 2 ,…,у n – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений Такая система имеет вид: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ) ,..., , , ( ) ,..., , , ( ) ,..., , , ( 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy (1) Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве. Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции ), ,..., , , ( 2 1 1 n y y y x f ), ,..., , , ( 2 1 2 n y y y x f … ) ,..., , , ( 2 1 n n y y y x f 52 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки этой области существует единственное решение n y y y ,..., , 2 1 ) (x ) ,..., , ( 0 20 10 0 n y y y x y ), ( ), ( 2 2 1 1 y x y x n n ϕ = ϕ = ϕ = системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х 0 и удовлетворяющее начальным условиям ,..., 0 n y , 20 10 0 y y x Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций ) ,..., , , ( 2 1 1 1 n C C C x y ϕ = , ) ,..., 2 n C C , , ( 1 2 2 C x y ϕ = , … , которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество. ) ,..., , , ( 2 1 n n n C C C x y ϕ = Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка. Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + = + + = + + = u a z a y a dx du u a z a y a dx dz u a z a y a dx dy 33 32 31 23 22 21 13 12 11 (2) Решения системы (2) обладают следующими свойствами: 1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются решениями этой системы. 2) Если y 1 , z 1 , u 1 и y 2 , z 2 , u 2 – решения системы, то y 1 + y 2 , z 1 + z 2 , u 1 + u 2 – тоже являются решениями системы. Решения системы ищутся в виде: const k e u e z e y kx kx kx = γ β α γ = β = α = , , , , ; ; Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на e kx , получаем: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = γ − + β + α = γ + β − + α = γ + β + α − 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 33 32 31 23 22 21 13 12 11 k a a a a k a a a a k a Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.: 53 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” 0 33 32 31 23 22 21 13 12 11 = − − − k a a a a k a a a a k a В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k 1 , k 2 , k 3 . Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2): , , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x k x k x k e u e z e y γ = β = α = , , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x k x k x k e u e z e y γ = β = α = , , 3 3 3 3 3 3 3 3 3 x k x k x k e u e z e y γ = β = α = Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2): ; 3 2 1 3 3 2 2 1 1 x k x k x k e C e C e C y α + α + α = ; 3 2 1 3 3 2 2 1 1 x k x k x k e C e C e C z β + β + β = 3 2 1 3 3 2 2 1 1 x k x k x k e C e C e C u γ + γ + γ = Пример. Найти общее решение системы уравнений: ⎩ ⎨ ⎧ + = ′ + = ′ y x y y x x 2 2 2 5 Составим характеристическое уравнение: ; 0 4 2 5 10 ; 0 4 ) 2 )( 5 ( ; 0 2 2 2 5 2 = − + − − = − − − = − − k k k k k k k ; 6 ; 1 ; 0 6 7 2 1 2 = = = + − k k k k Решим систему уравнений: ⎩ ⎨ ⎧ = β − + α = β + α − 0 ) ( 0 ) ( 22 21 12 11 k a a a k a Для k 1 : ⎩ ⎨ ⎧ = β + α = β + α ⎩ ⎨ ⎧ = β − + α = β + α − 0 2 0 2 4 0 ) 1 2 ( 2 0 2 ) 1 5 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 Полагая (принимается любое значение), получаем: 1 1 = α 2 1 − = β Для k 2 : ⎩ ⎨ ⎧ = β − α = β + α − ⎩ ⎨ ⎧ = β − + α = β + α − 0 4 2 0 2 1 0 ) 6 2 ( 2 0 2 ) 6 5 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 Полагая (принимается любое значение), получаем: 2 2 = α 1 2 = β Общее решение системы: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + = t t t t e C e C y e C e C x 6 2 1 6 2 1 2 2 Этот пример может быть решен другим способом: Продифференцируем первое уравнение: ; 2 5 y x x ′ + ′ = ′′ Подставим в это выражение производную у ′ = 2x + 2y из второго уравнения. ; 4 4 5 y x x x + + ′ = ′′ Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения: 54 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” x x x x x 10 2 4 5 − ′ + + ′ = ′′ 0 6 7 = + ′ − ′′ x x x 1 ; 6 2 1 = = k k ; 6 ; 6 6 t t t t Be Ae x Be Ae x + = ′ + = ; 5 5 6 5 2 6 6 t t t t Be Ae Be Ae x x y − − + = − ′ = ; 2 1 2 6 t t Be Ae y + − = Обозначив 2 1 2 1 ; C B C A = = , получаем решение системы: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + = t t t t e C e C y e C e C x 6 2 1 6 2 1 2 2 Пример. Найти решение системы уравнений ⎩ ⎨ ⎧ + + = ′ + = ′ x z y z z y y Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х). Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем: z y y ′ + ′ = ′′ Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: x z y y y + + + ′ = ′′ С учетом первого уравнения, получаем: 2 x y y + ′ = ′′ Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка. 2 ; 0 ; 0 2 ; 0 2 ; 2 2 1 2 = = = − = ′ − ′′ = ′ − ′′ k k k k y y x y y Общее решение однородного уравнения: 2 2 1 x e C C y + = Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле ; ) ( ; 1 ; 0 ); ( B Ax x Q r x Q e x y x r + = = = α = α ; 2 ; 2 ; 2 A y B Ax y Bx Ax y = ′′ + = ′ + = ; 4 1 ; 4 1 ; 2 4 2 − = − = = − − B A x B Ax A Общее решение неоднородного уравнения: ). 1 ( 4 1 2 2 1 + − + = x x e C C y x Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем: ). 1 ( 4 1 2 2 2 1 − − + + − = x x e C C z x Пример. Найти решение системы уравнений: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = ′ + = ′ + = ′ z y w w y z w z y 3 3 55 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Составим характеристическое уравнение: ; 0 1 3 3 3 1 3 1 1 ; 0 1 3 1 3 1 1 = − + − − − − − = − − − k k k k k k k k ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 6 7 ; 0 3 3 3 3 ) 1 ( 3 2 1 3 2 = − = − = = − − = + + + + − − k k k k k k k k k 1) k = -1. ; ; 0 ; 0 3 0 3 0 γ − = β = α ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = γ + β + α = γ + β + α = γ + β + α Если принять γ = 1, то решения в этом случае получаем: ; ; ; 0 1 1 1 x x e w e z y − − = − = = 2) k 2 = -2. ; ; ; 0 2 3 0 2 3 0 2 γ = β γ − = α ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = γ + β + α = γ + β + α = γ + β + α Если принять γ = 1, то получаем: ; ; ; 2 2 2 2 2 2 x x x e w e z e y − − − = = − = 3) k 3 = 3. ; ; 3 2 ; 0 3 3 0 3 3 0 3 γ = β γ = α ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = γ − β + α = γ + β − α = γ + β + α − Если принять γ = 3, то получаем: ; 3 ; 3 ; 2 3 3 3 3 3 3 x x x e w e z e y = = = Общее решение имеет вид: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = + + − = + − = − − − − − x x x x x x x x e C e C e C w e C e C e C z e C e C y 3 3 2 2 1 3 3 2 2 1 3 3 2 2 3 3 2 Элементы теории устойчивости. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов |