ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
формулой Остроградского – Грина. Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области, т.е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров 116 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” интегрируется в таком направлении, чтобы область Δ все время оставалась по левую сторону линии обхода. Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского – Грина. ( ) 35 6 5 1 7 2 2 5 7 2 2 ) ( 2 2 2 3 1 0 5 2 7 1 0 4 2 5 1 0 2 2 2 2 3 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = − = = = − = + ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ Δ Δ x x dx x x dx y x dydx x dydx x x dy x ydx x x x L Формула Остроградского – Грина позволяет значительно упростить вычисление криволинейного интеграла. Криволинейный интеграл не зависит от формы пути, если он вдоль всех путей, соединяющих начальную и конечную точку, имеет одну и ту же величину. Условием независимости криволинейного интеграла от формы пути равносильно равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру, содержащему начальную и конечную точки. Это условие будет выполняться, если подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, т.е. выполняется условие тотальности. x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ Поверхностные интегралы первого рода. z ΔS i 0 y Δ x Поверхностный интеграл является таким же обобщением двойного интеграла, каким криволинейный интеграл является по отношению к определенному интегралу. Рассмотрим поверхность в пространстве, которая произвольно разбита на n частей. Рассмотрим произведение значения некоторой функции F в произвольной точке с координатами ( α, β, γ) на площадь частичного участка ΔS i , содержащего эту точку. i S F Δ γ β α ) , , ( Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения λ поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности. ∑ ∫∫ = → λ Δ γ β α = n i i i i i S S F dS z y x F 1 0 ) , , ( lim ) , , ( 117 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Свойства поверхностного интеграла первого рода. Поверхностные интегралы первого рода обладают следующими свойствами: 1) S – площадь поверхности. S dS S = ∫∫ 2) ∫∫ ∫∫ = = S S const k dS z y x F k dS z y x kF ; ) , , ( ) , , ( 3) [ ] ∫∫ ∫∫ ∫∫ + = + S S S dS z y x F dS z y x F dS z y x F z y x F ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 1 2 1 4) Если поверхность разделена на части S 1 и S 2 , то ∫∫ ∫∫ ∫∫ + = 2 1 ) , , ( ) , , ( ) , , ( S S S dS z y x F dS z y x F dS z y x F 5) Если , то ) , , ( ) , , ( 2 1 z y x F z y x F ≤ ∫∫ ∫∫ ≤ S S dS z y x F dS z y x F ) , , ( ) , , ( 2 1 6) ∫∫ ∫∫ ≤ S S dS z y x F dS z y x F ) , , ( ) , , ( 7) Теорема о среднем. Если функция F(x, y, z) непрерывна в любой точке поверхности S, то существует точка ( α , β , γ ) такая, что S F dS z y x F S ⋅ γ β α = ∫∫ ) , , ( ) , , ( S – площадь поверхности. Проведя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при нахождении криволинейного интеграла, получим формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода через двойной интеграл по по площади проекции поверхности на плоскость XOY. ∫∫ ∫∫ Δ ′ + ′ + = S y x dxdy y x f y x f y x f y x F dS z y x F ) , ( ) , ( 1 )) , ( , , ( ) , , ( 2 2 Поверхностные интегралы второго рода. Если на поверхности S есть хотя бы одна точка и хотя бы один не пересекающий границу поверхности контур, при обходе по которому направление нормали в точке меняется на противоположное, то такая поверхность называется односторонней. Если при этих условиях направление нормали не меняется, то поверхность называется двухсторонней. Будем считать положительным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остается слева. 118 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Двухсторонняя поверхность с установленным положительным направлением обхода называется ориентированной поверхностью. Рассмотрим в пространстве XYZ ограниченную двухстороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан либо уравнением вида z = f(x, y), либо является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ. Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода. ∑ ∫∫ = → λ Δ γ β α = n i xy i i i i S S R dxdy z y x R 1 0 ) )( , , ( lim ) , , ( ∑ ∫∫ = → λ Δ γ β α = n i yz i i i i S S P dydz z y x P 1 0 ) )( , , ( lim ) , , ( ∑ ∫∫ = → λ Δ γ β α = n i zx i i i i S S Q dzdx z y x Q 1 0 ) )( , , ( lim ) , , ( ∫∫ + + S dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ) , , ( ) , , ( ) , , ( - поверхностный интеграл второго рода. Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны уже рассмотренным нами свойствам поверхностного интеграла первого рода. Т.е. любой поверхностный интеграл второго рода меняет знак при перемене стороны поверхности, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, поверхностный интеграл от суммы двух и более функций равен сумме поверхностных интегралов от этих функций, если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по частичным поверхностям. Если S- цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси OZ, то 0 . В случае, если образующие поверхности параллельны осям OX и OY, то равны нулю соответствующие составляющие поверхностного интеграла второго рода. ) , , ( = ∫∫ S dxdy z y x R Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению соответствующих двойных интегралов. Рассмотрим это на примере. Пример. Вычислить интеграл по верхней стороне полусферы ∫∫ − S dxdy R z 2 ) ( 2 , 2 2 2 2 R z R Rz z y x ≤ ≤ = + + Преобразуем уравнение поверхности к виду: 0 ) ( 2 2 2 2 = − − + + R R z y x 2 2 2 y x R R z − − + = 119 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -4 -2 0 2 4 Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого: 2 2 2 R y x ≤ + ∫∫ ∫∫ Δ − − = − dxdy y x R dxdy R z S ) ( ) ( 2 2 2 2 Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам: (См. Двойной интеграл в полярных координатах. ) , 2 2 y x + = ρ ∫∫ ∫∫ τ Δ ϕ ρ ρ ϕ ρ = − − d d f dxdy y x R ) , ( ) ( 2 2 2 2 4 4 2 ) ( ) ( 4 2 0 4 2 0 0 4 2 2 0 2 2 2 0 2 R d R d R d R d dxdy R z R R S π = ϕ = ϕ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ρ − ρ = ρ ρ ρ − ϕ = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ π π π Связь поверхностных интегралов первого и второго рода. Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны друг с другом соотношением: ∫∫ ∫∫ γ + β + α = + + S S dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz ) cos cos cos ( В этой формуле cos α, cosβ, cosγ - направляющие косинусы нормали к поверхности S в выбранную сторону поверхности. Формула Гаусса – Остроградского. Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью. 120 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Для вывода формулы Гаусса – Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина – Остроградского. Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными дум доугим координатным осям. После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса – Остроградского: ∫∫∫ ∫∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + V S dxdydz z z y x R y z y x Q x z y x P Rdxdy Qdzdx Pdydz ) , , ( ) , , ( ) , , ( Отметим, что эта формула применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности. На практике формулу Гаусса – Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело. Тиеют место формулы: ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ = = = = V S S S dxdydz zdxdy ydxdz xdydz V Пример. Найти формулу вычисления объема шара. В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности. Уравнение шара имеет вид: 2 2 2 2 R z y x = + + Найти объем шара можно по формуле: = − − = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − − − − − − − − − R x R x R R R x R x R y x R y x R dy y x R dx dzdydx V 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 3 4 3 2 2 2 8 arcsin 2 2 8 3 0 3 2 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R x x R dx x R dx x R y x R y x R y R R R x R π = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − π = π ⋅ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − = ∫ ∫ − Для решения этой же задачи можно воспользоваться преобразованием интеграла к сферическим координатам. (См. Сферическая система координат. ) Это значительно упростит интегрирование. 3 4 2 3 2 sin 3 2 sin 2 3 0 3 0 3 0 0 2 0 0 R d R d R d d d d V R π = θ = ϕ ϕ θ = ρ ϕ ρ ϕ θ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ π π π π π 121 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Элементы теории поля. Определение. Если каждой точке пространства М ставится в соответствие некоторая скалярная величина U, то таким образом задается скалярное поле U(M). Если каждой пространства М ставится в соотвтствие вектор F G , то задается векторное поле F G (М). Пусть в пространстве М задана поверхность Δ. Будем считать, что в каждой точке Р определяется положительное направление нормали единичным вектором ) (P n G В пространстве М зададим векторное поле, постовив в соответствие каждой точке точке пространства вектор, определенный координатами: k z y x R j z y x Q i z y x P F G G G G ) , , ( ) , , ( ) , , ( + + = Если разбить каким – либо образом поверхность на частичные участки Δ i и составить сумму ∑ Δ i i i i P n P F )) ( ) ( ( G G , где n F G G - скалярное произведение, то предел этой суммы при стремлении к нулю площадей частичных участков разбиения (если этот предел существует) будет поверхностным интегралом. ∫∫ Δ Δ d n F G G Определение. Поверхностный интеграл ∫∫ Δ Δ d n F G G называется потоком векторного поля F G через поверхность Δ. Если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, то поток векторного поля через всю поверхность будет равен сумме потоков через частичные поверхности. Если преобразовать скалярное произведение в координатную форму, то получаем соотношение: G Rdxdy Qdzdx Pdydz d R Q P d n F + + = Δ γ + β + α = Δ ∫∫ ∫∫ ∫∫ Δ Δ Δ ] cos cos cos [ G Если на области Δ существует функция f(x, y, z), имеющая непрерывные частные производные, для которых выполняются свойства: ; ; ; R z f Q y f P x f = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ то такую функцию называют потенциальной функцией или потенциалом вектора F G Тогда вектор F G является градиентом функции f. k z f j y f i x f gradf F G G G G ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = Потенциал может быть найден по формуле: ∫ ∫ ∫ + + = x x z z y y dz z y x R dy z y x Q dx z y x P z y x f 0 0 0 ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 0 0 0 122 |