ду. ДУ много решенных. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z называется предел: dz dw z f z z f z z f z w z z = ′ = Δ − Δ + = Δ Δ → Δ → Δ ) ( ) ( ) ( lim lim 0 0 Определение. Функция f(z), имеющая непрерывную производную в любой точке области D называется аналитической функцией на этой области. Правила дифференцирования функций комплексного аргумента не отличаются от правил дифференцирования функций действительной переменной. Аналогично определяются производные основных функций таких как синус, косинус, тангенс и котангенс, степенная функция и т.д. Производные гиперболических функций определяются по формулам: ; ) ( ; ) ( shz chz chz shz = ′ = ′ ; 1 ) ( 2 z ch thz = ′ Вывод правил интегрирования, значений производных основных функций ничем не отличается от аналогичных операций с функциями действительного аргумента, поэтому подробно рассматривать их не будем. Условия Коши – Римана. (Бернхард Риман (1826 – 1866) – немецкий математик) Рассмотрим функцию комплексной переменной ) , ( ) , ( ) ( y x iv y x u z f w + = = , определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную z w z f z Δ Δ = ′ → Δ 0 lim ) ( Стремление к нулю Δz→0 может осуществляться в следующих случаях: 1) ; 0 ; 0 → Δ Δ = + Δ = Δ x x i x z 2) ; 0 ; 0 → Δ Δ + = Δ y y i z В первом случае: = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Δ − Δ + + Δ − Δ + = Δ Δ = ′ → Δ → Δ x y x v y x x v i x y x u y x x u z w z f x z ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( lim lim ) ( 0 0 ) , ( ) , ( lim ) , ( ) , ( lim 0 0 x v i x u x y x v y x x v i x y x u y x x u x x ∂ ∂ + ∂ ∂ = Δ − Δ + + Δ − Δ + = → Δ → Δ Во втором случае: 97 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ − Δ + + Δ − Δ + = Δ Δ = ′ → Δ → Δ y y x v y y x v i y i y x u y y x u z w z f y z ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( lim lim ) ( 0 0 ) , ( ) , ( lim ) , ( ) , ( lim 0 0 y v y u i y y x v y y x v y y x u y y x u i y y ∂ ∂ + ∂ ∂ − = Δ − Δ + + Δ − Δ + − = → Δ → Δ Тогда должны выполняться равенства: ; ; x v y u y v x u ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером. Теорема. Если функция ) , ( ) , ( ) ( y x iv y x u z f w + = = имеет производную в точке z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши – Римана. Также справедлива и обратная теорема. На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции. Теорема. Для того, чтобы функция ) , ( ) , ( ) ( y x iv y x u z f w + = = была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана. Интегрирование функций комплексной переменной. Пусть ) - непрерывная функция комплексного переменного z, определенная в некоторой области и L – кривая, лежащая в этой области. , ( ) , ( ) ( y x iv y x u z f w + = = у В L А х Кривая L задана уравнением β ≤ ≤ α + = = t t iy t x t z z ); ( ) ( ) ( Определение. Интеграл от функции f(z) вдоль кривой L определяется следующим образом: = + + − = + + = ∫ ∫ ∫ ∫ L L L L udy vdx i vdy udx idy dx iv u dz z f ) ( ) ( ) )( ( ) ( i dt t y t y t x v t x t y t x u + ′ − ′ = ∫ β α )] ( )) ( ), ( ( ) ( )) ( ), ( ( [ ∫ β α ′ + ′ dt t y t y t x u t x t y t x v )] ( )) ( ), ( ( ) ( )) ( ), ( ( [ 98 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Если учесть, что )) ( ( )) ( ), ( ( ); ( ) ( ) ( t z u t y t x u t y i t x t z = ′ + ′ = ′ , то ∫ ∫ β α ′ = dt t z t z f dz z f L ) ( )] ( [ ) ( Теорема. (Теорема Коши) Если f(z) - аналитическая функция на некоторой области, то интеграл от f(z) по любому кусочно – гладкому контуру, принадлежащему этой области равен нулю. ∫ = L dz z f 0 ) ( Интегральная формула Коши. Если функция f(z) – аналитическая в односвязной замкнутой области с кусочно – гладкой границей L. D ρ z 0 Тогда справедлива формула Коши: ∫ − π = L dz z z z f i z f 0 0 ) ( 2 1 ) ( где z 0 – любая точка внутри контура L, интегрирование по контуру производится в положительном направлении (против часовой стрелки). Эта формула также называется интегралом Коши. Ряды Тейлора и Лорана. (Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик) Функция f(z), аналитическая в круге R z z < − 0 , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z 0 ). Коэффициенты ряда вычисляются по формулам: ,... 2 , 1 , 0 ; ) ( ) ( 2 1 ! ) ( 1 0 0 ) ( = − π = = ∫ + k z z dz z f i k z f c L k k k Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора. 99 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце R z z r < − < 0 . Эта функция может быть представлена в виде сходящегося ряда: ∑ ∑ ∑ ∞ −∞ = ∞ = − ∞ = − + − = − = n n n n n n n n n z z c z z c z z c z f 1 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ,... 2 , 1 , 0 ; ) ( ) ( 2 1 1 0 ± ± = − π = ∫ γ + n z t dt t f i c n n Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть представлена в виде суммы: ∑ ∑ ∞ = − ∞ = − = − = + = 1 0 2 0 0 1 2 1 ; ) ( ) ( ; ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( n n n n n n z z c z f z z c z f z f z f z f Ряд, определяющий функцию f 1 (x), называется правильной частью ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию f 2 (x), называется главной частью ряда Лорана. Если предположить, что r = 0, то можно считать, что функция аналитична в открытом круге R z z < − < 0 0 за исключением центральной точки z 0 . Как правило, в этой точке функция бывает не определена. Тогда точка z 0 называется изолированной особой точкой функции f. Рассмотрим следующие частные случаи: 1) Функция f(x) имеет вид: . Т.к. степенной ряд сходится во всех точках внутри круга, то его сумма f 1 (x) определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга, а, следовательно, и в центре круга z 0 ∑ ∞ = − = = 0 0 1 ) ( ) ( ) ( k k k z z c z f z f В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z 0 устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z 0 ) = c 0 ) и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом центре. В этом случае для любого контура L, содержащего точку z 0 и принадлежащего к кругу ∫ = L dz z f 0 ) ( R z z < − 0 2) Функция f(x) имеет вид: ∑ ∑ ∞ − = = − − = − + = m k k k m k k k z z c z z c z f z f ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 0 1 В этом случае точка z 0 называется полюсом функции f(z) порядка (кратности) m. При m = 1 точку z 0 называют еще простым полюсом. Порядок полюса может быть определен по формуле: 0 ) ( ) ( lim 0 0 ≠ = − → c z f z z m z z z 0 – полюс порядка т. 100 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” 3) Функция f(z) имеет вид ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 0 0 0 z f z f z z c z z c z f m k k k k k k + = − + − = ∑ ∑ = − ∞ = , где в ряду ∑ ∞ = − − = 1 0 2 ) ( ) ( k k k z z c z f не равно нулю бесконечное количество коэффициентов с -k В этом случае говорят, что функция f(z) имеет в точке z 0 существенно особую точку. Определение. Пусть z 0 – изолированная особая точка функция f(z), т.е. пусть функция f(z) – аналитическая в некотором круге R z z < − 0 из которого исключена точка z 0 . Тогда интеграл ) ( ) ( 2 1 0 z f Выч dz z f i z z L = = π ∫ называется вычетом функции f(z) в точке z 0 , где L – контур в круге R z z < − 0 , ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе точку z 0 Вычет также обозначают иногда ) ( Re 0 z f s z Если ; 0 ; ) ( ) ( 0 0 R z z z z c z f k k k < − < − = ∑ ∞ −∞ = есть ряд Лорана функции f в точке z 0 , то 1 ) ( 0 − = = c z f Выч z z Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то вычет легко может быть найден в случае любой особой точки. В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд Лорана. Например, если функция 0 ) ( , ) ( ) ( ) ( 0 ≠ ϕ ψ ϕ = z z z z f , а ) (z ψ имеет простой нуль при z = z 0 ) , то z = z 0 является простым полюсом функции f(z). 0 ) ( , 0 ) ( ( 0 0 ≠ ψ′ = ψ z z Тогда можно показать, что вычет находится по формуле ) ( ) ( 0 0 1 0 z z c Выч z z ψ′ ϕ = = − = Если z = z 0 – полюс порядка m ≥ 1, то вычет может быть найден по формуле: 1 0 1 1 )] ( ) [( lim )! 1 ( 1 ) ( 0 0 − − → − = − − = = m m m z z z z dz z f z z d m c z f Выч Пример. Найти вычет функции ) 3 ( ) 2 ( 1 ) ( 2 − − = z z z f относительно точки z = 2. Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем: 101 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” 1 ) 3 ( 1 lim 3 1 lim )] ( ) 2 [( lim 2 2 2 2 2 2 − = − = − = − = → → → = z z dz d z f z dz d Выч z z z z Теорема о вычетах. Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z 1 , z 2 , …, z N . Тогда верно равенство: 0 ) ( ) ( 1 = + ∞ = = = ∑ z f Выч z f Выч z N k z z k А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен ) ( 2 ) ( 1 z f Выч i dz z f N j z z L j ∑ ∫ = = π = Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула ) ( 2 ) ( 1 z f Выч i dx x f N j z z j ∑ ∫ = = ∞ ∞ − π = Пример. Вычислить определенный интеграл ∫ ∞ ∞ − + 2 2 ) 4 (x dx Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки 2i. Эта точка является полюсом второго порядка. Найдем вычет функции = + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = + → → = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 ( 1 lim ) 4 ( ) 2 ( lim ) 4 ( 1 i z dz d z i z dz d z Выч i z i z i z ; 32 1 ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 lim 3 3 2 i i i z i z = − = + − = → Получаем ∫ ∞ ∞ − π = ⋅ π = + 16 32 1 2 ) 4 ( 2 2 i i x dx Пример. Вычислить определенный интеграл ∫ ∞ ∞ − + ) 1 ( 3 2 x dx Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки i. Эта точка является полюсом второго порядка. Найдем вычет функции 16 3 32 6 ) 2 ( 1 6 ) ( 12 lim 2 1 ) ( 3 lim 2 1 ) ( 1 lim 2 1 ) 1 ( ) ( lim 2 1 ) 1 ( 1 5 5 4 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 i i i i z i z dz d i z dz d z i z dz d z Выч i z i z i z i z i z = = ⋅ = = + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = + → → → → = 102 Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.” Получаем 8 3 16 3 2 ) 1 ( 3 2 π = ⋅ π = + ∫ ∞ ∞ − i i x dx При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая находит вычеты задаваемой функции. Для запуска программы дважды щелкните на значке Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( © Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4. Операционное исчисление. Преобразование Лапласа. (Пьер Симон Лаплас (1749 – 1825) – французский математик) Рассмотрим функцию действительного переменного t, определенную при t ≥ 0. Будем также считать, что функция f(t)- кусочно - непрерывная, т.е. в любом конечном интервале она имеет конечное число точек разрыва первого рода, и определена на бесконечном интервале (- ∞, ∞), но f(t) = 0 при t < 0. Будем считать, что функция ограничена условием: st Me t f < ) ( Рассмотрим функцию ∫ ∞ − = 0 ) ( ) ( dt t f e p F pt где p = a + ib – комплексное число. |