Методичка. Олимпиада х
 Скачать 1.21 Mb.
|
|
Малые интервалы времени Работа 12. Измерение малых интервалов времени Оборудование: электромагнитное реле с контактом «на переключение» или с одним на замыкание и одним на раз- мыкание, конденсатор известной (большой) ёмкости — 200— 500 мкФ, резисторы с известным сопротивлением 20 кОм, 100 кОм, источник постоянного напряжения с известным напряжением, диод полупроводниковый, микроамперметр. Задание: измерить интервал времени между подачей на- пряжения на обмотку реле и срабатыванием реле — отклю- 36 Часть 1 чением нормально замкнутого контакта. То же — между под- ключением обмотки реле и включением нормально разо- мкнутого контакта. И более сложное задание — измерить интервал времени между отключением нормально разомкну- того и включением нормально замкнутого контакта (для реле с контактом «на переключение»!). Для выполнения работы от учащихся потребуется неко- торая изобретательность в придумывании нужных электри- ческих схем — особенно в последнем случае. Главная идея — находить отрезок времени, заряжая в течение этого времени конденсатор от источника через известный резистор и из- меряя его заряд баллистическим методом. Итак, в первом случае всё совсем просто: параллельно обмотке реле подклю- чаем последовательную цепочку из резистора, конденсатора и нормально замкнутого контакта реле. Пока мы не под- ключили источник, конденсатор будет разряжен. Подключим источник — конденсатор начнёт заряжаться, и это продол- жится до того момента, когда контакт реле отключит цепочку резистор-конденсатор от источника, т. е. конденсатор будет заряжаться как раз в течение того отрезка времени, который мы хотим измерить (рис. 7). Рис. 7 Подключая микроамперметр параллельно заряженному конденсатору, измерим величину отброса стрелки и сравним его с отбросом при полностью заряженном конденсаторе. Наличие двух (а лучше — больше) различных резисторов с известным сопротивлением позволяет выбрать среди них наиболее подходящий — не слишком большой, иначе заряд окажется слишком малым для измерения, — и не слишком малый — иначе мы не увидим разницы между полностью за- ряженным конденсатором и заряженным частично — в нашем Электрические измерения на постоянном токе 37 опыте, а из-за этого не сможем найти время заряда. Впрочем, если заряд окажется слишком малым — это не беда, можно заряжать конденсатор за несколько раз, только тогда после- довательно с резистором нужно включить ещё диод — при этом накопленный заряд не будет «утекать» через замкнутую контактом цепь. Немного сложнее цепь для контакта, который нормально разомкнут, а замыкается при срабатывании реле. Параллель- но обмотке реле мы теперь подключим цепь, состоящую из последовательно включённых (внимание, тут нужно подклю- чать именно так) резистора, ещё одного резистора, диода и конденсатора. «Свободный» конец конденсатора подключён к нижнему концу обмотки реле, между этой точкой и точ- кой соединения резисторов включён нормально разомкнутый контакт реле (рис. 8). Таким образом, пока реле не срабо- тало, этот контакт разомкнут, и после подачи напряжения на обмотку реле конденсатор начинает заряжаться через по- следовательно включённые резисторы. В тот момент, когда контакт реле замкнётся, процесс заряда конденсатора прекра- тится — напряжение между концами цепочки, состоящей из конденсатора, диода и одного резистора, обратится в ноль, диод окажется запертым — значит, конденсатор и разряжать- ся не будет. Рис. 8 Тут-то мы и подключим к нему микроамперметр! Для случая нахождения времени между размыканием замкнутого контакта и замыканием разомкнутого — времени «пролёта» контакта от одного вывода до другого (это время образно называют «мёртвым») — последнюю схему нужно немного усовершенствовать: нам нужно, чтобы конденсатор начал заряжаться в тот момент, когда нарушится один кон- такт, и закончил процесс — когда восстановится второй. Зна- чит, наличие хотя бы одного замкнутого контакта не должно 38 Часть 1 позволять конденсатору заряжаться. Выход: подключим па- раллельно два контакта реле, а вторым выводом сделаем вывод подвижного контакта — того, который поочерёдно ка- сается двух других контактов (их мы и замкнули). При этом получится как раз то, чего мы добивались: пока нормально замкнутый контакт не разомкнётся, конденсатор не заряжа- ется, и после его размыкания цепь заряда будет существовать до момента замыкания нормально разомкнутого контакта. Диод в цепи препятствует разряду конденсатора (рис. 9). Рис. 9 Для справки: измеряемые времена для различных реле могут колебаться от 1—2 миллисекунд до 20—50 миллисе- кунд (последнее характерно для солидных старинных реле — не стоит иметь с ними дело). Эти времена сильно увели- чиваются при уменьшении напряжения источника — если это напряжение немногим выше напряжения срабатывания реле, то все процессы замедляются. Погрешности При измерениях физических величин возникает множе- ство проблем. Некоторые измерения можно делать «напря- мую» — измерение температуры воды в стакане термометром, измерение напряжения батарейки вольтметром, измерение длины карандаша линейкой, измерение длительности урока секундомером. Такие измерения называют прямыми, они достаточно просты. Впрочем, трудности могут появиться и в этих случаях — при попытке измерить маленький интервал времени (например, время падения шарика с высоты 20 см), при измерении диаметра шара — не так просто приложить к нему линейку, при измерении напряжения в высокоомной цепи (подключение вольтметра может сильно изменить эту величину). Похожая ситуация возникает, когда мы пытаем- Погрешности 39 ся измерить температуру маленькой порции горячей воды в сосуде при помощи здоровенного термометра: он покажет нам температуру, даже довольно точно, если это точный термометр, но совсем не ту, что была у воды в пробирке до нашего измерения. Но чаще приходится иметь дело с измере- ниями, в которых результат получается при комбинировании напрямую измеренных величин. Например, при нахождении плотности материала, из которого сделан данный предмет, придётся измерить его массу и размеры, после чего мы сможем посчитать плотность. Такие измерения называют «косвенными». Кстати, не всегда удаётся чётко определить, имеем ли мы дело с прямым или косвенным измерением — например, при измерении температуры обычным термометром мы наблю- даем изменение объёма жидкости при нагревании, точнее — разницу изменения внутреннего объёма сосудика, в который налита жидкость, и самой жидкости, просто термометр зара- нее «отградуирован» в единицах измеряемой температуры. Получается, что прямое измерение имеет место в случае, когда у нас есть специальный прибор для измерения данной величины. Впрочем, дело тут не в определениях, важно по- нять, как можно оценить погрешность измерений — возмож- ную неточность полученного нами результата. Разберёмся с погрешностями на простом примере. Итак, мы хотим измерить плотность материала, из кото- рого сделан выданный нам брусок, пусть это будет метал- лический сплошной брусок прямоугольной формы. Взвесив брусок на весах, получим его массу. Пусть в нашем слу- чае получилось 74,3 г. Предположим, что мы измерили его длину, ширину и высоту при помощи обычной деревянной линейки и получили для них значения 32, 25 и 12 милли- метров соответственно. Какую точность следует приписать полученным числам? Если бы мы измеряли при помощи этой линейки расстояние между двумя чётко обозначенными точками на плоскости (поставленными твёрдым и хорошо заточенным карандашом или, что лучше, наколотыми тонкой иглой), мы могли бы считать, что погрешность определяется только точностью измерительного прибора — линейки, тогда можно взять «полделения» в качестве разумной оценки по- 40 Часть 1 грешности. Такой выбор не так уж плох — если изготовитель линейки разумен, он не станет увеличивать цену простого измерителя, нанося на него больше делений, чем необходимо для реализации его точности (размеры линейки из дерева изменяются со временем — она разбухает при увеличенной влажности, деформируется при высыхании, просто меняется со временем; металлические линейки лучше, однако и их раз- меры через некоторое время после изготовления становятся не очень точными, кроме того, толщина штриха на линейке не так мала, как хотелось бы. В том случае, когда размеры для измерения не так хорошо определены, — а в нашем случае это именно так, — погрешность получится выше, даже если форма тела очень близка к правильной, прямоугольной и мы расположили линейку точно вдоль граней. В общем, если отнестись к точности наших измерений с некоторым оптимизмом, можно взять такие значения: дли- на 31—33 мм, ширина 24—26 мм, высота 11—13 мм. Для нахождения погрешности определения объёма воспользуем- ся так называемым «методом границ» — смысл его вполне ясен из названия. Минимальное значение объёма определя- ется произведением наименьших величин, максимальное — наибольших: V мин = 31 ·24·11=8184 мм 3 , V макс = 33 ·26·13= = 11154 мм 3 . Тогда V = (9669 ±1485) мм 3 , хотя лучше округ- лить и написать V = (9,7 ±1,5)·10 3 мм 3 . Считая измеренное значение массы бруска 74,3 г точным (даже простые школь- ные весы обеспечивают очень высокую точность измерения массы, неточность измерения при аккуратном подходе не превысит 20—30 мг, что составляет 30 ·10 −3 /75 ≈4·10 −4 < < 0,05%, что во много раз меньше ошибок при измерении раз- меров), мы получим верхнее значение плотности, разделив массу на наименьшее возможное значение объёма — нижнюю границу для измеренной нами величины, а нижнее значение плотности — разделив массу на наибольшее значение объёма. Дальше всё просто — в качестве измеренного значения разумно взять полусумму полученных значений, а в каче- стве погрешности измерений — полуразность. Нужно сказать вполне определённо —никакого более разумного способа, чем описанный, просто нет! Никакие изощрённые математиче- ские методы не могут улучшить точность грубых измерений! Погрешности 41 Мы можем, конечно, сделать более оптимистическую оценку точности наших измерений. Эта оценка может опираться на предположение о том, что не стоит брать самые крайние вы- численные значения объёма, можно вместо них попробовать «наиболее вероятные» значения (обычно в таких случаях экс- периментатор начинает быстро и убедительно говорить о том, что измерения длины, ширины и высоты — независимые, вряд ли ошибки получатся «в одну сторону» и т. п.). В общем, трудно помешать экспериментатору обманывать себя самого, если он стесняется своих грубых измерений и хочет получить результаты «поточнее»... Но в таких случаях уже нельзя гарантировать «попадание» истинного значения измеряемой величины в указанный диапазон, а это плохо — выводы на основе наших измерений могут быть сомнительными. В нашем случае после небольшого округления получим r = (7,8 ± 1,2) г/см 3 . Именно в таких границах лежит пра- вильное значение измеренной нами величины. Точность по- лучилась довольно плохой — с такими измерениями отличить даже один металл или сплав от другого можно не слишком уверенно. Главный вклад в погрешность дают измерения раз- меров — можно попробовать использовать штангенциркуль или микрометр, это позволило бы улучшить результат для тел правильной формы, хотя даже для цилиндрического тела измерить диаметр не так уж просто... Кстати, в тех случаях, когда точность измерительного прибора превышает возмож- ность отсчёта по его грубой миллиметровой шкале, можно воспользоваться «нониусом», который есть и на штангенцир- куле, и на микрометре. Дело усложняется, если объём не удаётся определить прямыми измерениями размеров тела, например, для тела неправильной формы. В этом случае рекомендуют измерять объём, погружая тело в измерительную кювету с водой, — по повышению уровня воды. Эти измерения тоже не слишком точны. Главная проблема всё равно остаётся — мы определя- ем плотность по нескольким величинам, которые измерены с очень различающейся точностью. Известен способ намного более точного определения плотности тел произвольной фор- мы — при помощи «гидростатического взвешивания». Метод сводится к двукратному взвешиванию тела — один раз в воз- 42 Часть 1 духе, другой — при погружении тела в воду целиком (в этом варианте можно определять плотность только у «тонущих» тел, а для определения плотностей, меньших, чем у воды, способ нужно немного усложнить, привязав к лёгкому телу гирьку). Чашка школьных весов легко поворачивается на 90 ◦ вокруг горизонтальной оси и в этом положении позво- ляет привязать тело нитью к весам. По результатам двух измерений легко определить плотность — точнее говоря, от- ношение плотности тела к плотности воды, а плотность воды известна довольно точно. При таких измерениях объём тела определять не нужно, поэтому и дополнительного ухудшения точности из-за неточно известных размеров тела не будет. Впрочем, грамотно провести измерения не так просто — нужно позаботиться о том, чтобы нитка, на которой тело подвешено, не намокла, чтобы не пришлось учитывать не такой уж малый добавленный вес воды, с поверхности тела придётся тщательно удалить прилипшие пузырьки воздуха — для грубых измерений всё это несущественно, а в нашем случае жалко терять точность из-за факторов, о которых легко заранее позаботиться. Для специальных случаев, например для определения плотности тел чуть тяжелее воды, можно придумать специ- альные способы: растворить в известном объёме воды извест- ное количество соли, подобранное так, чтобы тело не тонуло и не всплывало, — таким образом можно довольно точно из- мерить небольшие отклонения плотности от плотности воды. А если предмет чуть легче воды, можно прикрепить к нему несколько маленьких гирек — пока не начнёт тонуть. В этих случаях можно даже не взвешивать тело. Очень полезно соорудить из пробирки, нескольких дробинок и пластилина простой ареометр для нахождения плотности жидкости — по- лучившийся прибор можно проградуировать по нескольким растворам, а затем сравнить результаты с расчётными. Скажем ещё несколько слов о применении жидкостей: при помощи обычной ванны можно взвешивать довольно точно громоздкие и тяжёлые предметы (для тел поменьше годится не ванна, а большая кастрюля). В специально приготовлен- ную «лодочку» помещают взвешиваемый предмет и отмечают на боковой стенке уровень воды. Вынув предмет из лодочки Погрешности 43 (ясно, что он должен был плавать с лодочкой, а не тонуть!), будем доливать воду мерным стаканом — пока уровень не ста- нет равен отмеченному. Масса влитой воды равна массе вы- нутого из лодочки предмета. Обратим внимание на то, что это измерение проводится «методом замещения» — влитая вода «замещает» интересующий нас предмет, точность измерений определяется точностью отсчёта уровня воды, форма ванны (кастрюли) роли не играет. Кстати, тут возможен и ещё один хороший способ — не доливать в ванну воду, а замещать взвешиваемый предмет гирями, если их будет достаточно. На этих примерах видно, как анализ погрешностей может подсказать необходимость изменить метод измерений; иногда этот анализ помогает и при выборе конкретной методики измерений. На практике разброс результатов при нескольких изме- рениях может существенно превышать вычисленную «при- борную» ошибку. В этих случаях можно утверждать, что в процесс измерений вторгается неучтённый дополнительный фактор, который неизвестным для нас способом то увеличи- вает, то уменьшает (или — по-другому увеличивает) измеряе- мую величину. Собственно, именно по наличию разброса мы можем этот фактор увидеть — если бы он просто увеличивал измеренную нами плотность, скажем, на 2 г/см 3 , мы могли бы его влияния и не заметить... Как же поступать в та- ких случаях, когда мы фиксируем разброс результатов при нескольких измерениях? Если этот разброс находится в пре- делах приборных ошибок, на него можно просто не обращать внимания. Но часто он получается довольно большим. Конечно, лучше всего проанализировать ситуацию, найти причину разброса и устранить её. Например, каждое следую- щее измерение длины проволочки линейкой даёт результат больше предыдущего — тут всё понятно, не надо было так сильно тянуть, выбросьте этот кусок проволоки и повторите измерения — только аккуратнее. Или другой случай: при измерениях силы трения, действующей на деревянный кубик со стороны стола, разброс может быть связан с тем, что в процессе измерений кубик опирался на стол то одной, то другой гранью или двигался иногда «вдоль волокон», а иногда поперёк. В этом случае достаточно сделать процесс 44 Часть 1 измерений единообразным (ещё лучше — исследовать зависи- мость силы трения от ориентации волокон). Но чаще всего в условиях нехватки времени причину установить не удаётся либо её не удаётся устранить. Что делать в таких случаях? Можно провести статистическую обработку результатов изме- рений. Представим себе, что мы каждый раз получаем точ- ный результат, но по причине постороннего вмешательства результат искажается — к нему то прибавляется значение некоторой случайной величины, то ещё одно значение вычи- тается. Можно ли по результатам нескольких независимых измерений (нужно и в самом деле проводить измерения снова и снова, а не просто несколько раз смотреть на шкалу амперметра) оценить эту добавку, затем каким-то образом уменьшить её влияние и, наконец, грамотно записать ответ? Можно, и в большинстве случаев физики-экспериментаторы так и поступают. Итак, алгоритм наших действий таков: производим экс- перимент несколько раз — если разброс мал, то всё хорошо и ничего больше делать не надо. Если разброс велик — тут всё и начинается. Вычислим среднее значение измеренного параметра и найдём для каждого результата измерений «от- клонение от среднего». Оценим такое отклонение — это как раз та самая «прибавляемая величина». Считать среднее зна- чение этой величины бессмысленно — непременно получится нуль! Приходится поступать иначе — ведь для нас одинако- во важны и отрицательные, и положительные отклонения. Найдём «среднеквадратическое» значение этих отклонений: вначале возведём разности во вторую степень, просуммируем их и разделим сумму на число слагаемых. Осталось вычис- лить квадратный корень из этой величины, и мы получим разумную оценку того случайного влияния на результаты, о котором шла речь. Например: результаты измерения роста трёх школьников 1 м, 2 м и 3 м. Среднее значение получается (1 + 2 + 3)/3 = 2 м. Теперь найдём разности: −1, 0, +1, среднее значение квад- ратов этих величин (1 2 + 0 + (−1) 2 )/3 = 2/3. Квадратный ко- рень составляет 0,83 (точные вычисления тут не нужны, мы подсчитываем не слишком чётко определённую величину). Означает ли это, что наша «случайная погрешность» равна Погрешности 45 этой величине? Нет, ведь это ошибка для одного измерения, а мы в качестве ответа выбрали среднее значение нескольких измерений, ошибка этой величины явно меньше, ведь при усреднении отклонения суммировались, часть отклонений были положительными, часть — отрицательным, они должны были хоть как-то скомпенсироваться. Так и должно быть. Вопросы эти многократно исследовались математиками, их выводы таковы: если разброс результатов измерений связан с общим действием множества факторов примерно одина- ковой интенсивности, то ошибка среднего меньше ошибки одиночного измерения примерно в «корень из n» раз, то есть, проведя сотню измерений, мы могли бы изрядно снизить влияние факторов разброса — примерно в √ 100= 10 раз. Правда, в этом случае можно получить и более точную оценку для «погрешности однократного измерения» — оказы- вается, при её нахождении делить сумму квадратов нужно не на число измерений N, а на величину N −1, и при этом получается более точная (так называемая «несмещённая») оценка. В нашем случае погрешность одного измерения будет равна p(1 2 + 0 + (−1) 2 )/2 = 1 и погрешность среднего составит 1/ √ 3≈0,6. Мы могли бы теперь записать: средний рост H ср = (2 ±0,6) м. Пример не слишком хорош — числа взяты «с потолка», но зато понятно, как нужно считать. Разумеется, для получения хорошего результата в условиях «случайных помех» нужно проводить побольше независимых измерений, но на прак- тике может просто не хватить отведённого на эксперимент времени. Нам придётся в самом начале измерений оценить приборную ошибку и провести два—три независимых изме- рения, чтобы грубо оценить разброс. Теперь нужно сравнить эти величины и принять решение — следует ли проводить длинную серию измерений, или разброс поглощается при- борной ошибкой. Например, для случая приборной ошибки 5% и разброса 2% серия измерений не понадобится, а при разбросе 20% нужно статистической обработкой эту величину уменьшать. Хорошо бы провести такую длинную серию, что- бы «пересчитанный» разброс оказался хотя бы вдвое меньше приборной погрешности; в нашем случае для этого будет нужна серия длины (20/(0,5 ·5)) 2 = 64. Конечно, это очень 46 Часть 1 много — можно не успеть. Зато понятно, к чему следует стре- миться. И если мы успели провести только 10 измерений, то мы не добились поглощения ошибок разброса — «случайных ошибок», поэтому придётся в общей оценке погрешностей учесть как приборную, так и случайную ошибки. Обычно это делают по формуле D общ = q D 2 приб + D 2 разбр = q 0,05 2 + (0, 2 2 /10) ≈0,08=8%. (Можно было считать и прямо «в процентах»: p5 2 + (20 2 /10) = = √ 25 + 40≈8%.) Хочется привести интересный пример: в работе «Измере- ние периода колебаний математического маятника» юноша измерил период колебаний при длине нити 40 см, затем — при длине 60 см и, наконец, при длине нити 80 см. Полу- ченные результаты (0,9 сек, 1,1 сек и 1,8 сек) отличались друг от друга (разумеется!), далее он нашёл среднее значе- ние периода 1,27 сек, а по приведённым выше формулам посчитал «разброс среднего значения». После этого он за- писал ответ: «Период колебаний математического маятника T = (1,27 ±0,14) сек». Понятно, что это чушь! Ну а что тут неправильно? Вме- сто того чтобы (как и полагалось) исследовать зависимость периода колебаний маятника от длины нити, эксперимента- тор счёл эту зависимость результатом действия посторонних, мешающих факторов — и устранил влияние этих факторов статистической обработкой. В результате он нашёл значение периода для некоторой «средней» длины нити, при этом эта самая длина вовсе не равна среднему значению длин в эксперименте, она остаётся неизвестной. Мораль: прежде чем применять серьёзные математические методы, следует подумать — а что, собственно, мы собираемся считать? Скажем несколько слов о приборных ошибках обычных измерителей. Линейка даёт погрешность порядка половины деления шкалы — но только в случае измерения расстояния между чётко обозначенными точками. Если сама «точка» представляет собой кляксу размером 3 мм, ожидать объ- явленной точности не приходится. Погрешность обычного термометра тоже можно считать равной половине деления, но Погрешности 47 есть и дополнительные источники ошибок измерения темпе- ратуры — термометр показывает свою температуру, а она мо- жет отличаться от температуры исследуемого тела (не успел установиться режим равновесия — нужно анализировать вре- мя установления теплового равновесия в системе, при из- мерении температуры куска металла или дерева термометр вообще может показывать что угодно), есть и другие причи- ны грубых ошибок измерения температуры (вспомним про «температуру воздуха в тени»). Время измеряется секундо- мером довольно точно, но само нажатие кнопки всегда за- паздывает (попытки нажать кнопку пораньше, чтобы «ском- пенсировать время реакции», дают вообще непредсказуемые результаты). Но для периодических процессов всё сильно упрощает- ся — измерять нужно время не одного периода, а, скажем, 20 — время реакции можно при этом «разложить» на множе- ство периодов и в несколько раз уменьшить соответствующую погрешность. Использующие этот принцип электронные ча- стотомеры (измеряющие огромное — миллионы — число пе- риодов), позволяют получить ошибки измерения периода (или частоты) быстропротекающих периодических процессов всего порядка тысячных, а то и десятитысячных долей про- цента. Погрешность обычного, стрелочного вольтметра может доходить до 4% (для школьных измерительных приборов), причём эти проценты нужно считать не от измеряемой ве- личины, а от максимального значения шкалы. Это означает, что, измерив обычным вольтметром (максимальное значение на шкале 6 В) напряжение батарейки и получив результат 1,5 В, следует записать ответ: U = (1,5 ±0,24) В, погрешность при этом достигает 16% ! Цифровые измерительные приборы обеспечивают куда лучшую точность, погрешность обычного «китайского мультиметра» при измерении напряжений со- ставляет примерно полпроцента плюс дополнительная ошиб- ка при отображении результата на дисплее прибора (обычно её оценивают как плюс-минус две—три единицы младшего отображаемого разряда, то есть при показаниях вольтметра 12,06 В указанная неточность может составить дополнитель- но ±0,03 В. В этом случае погрешность 0,5% от измеряемой величины составит примерно ±0,06 В и практически опре- 48 Часть 1 делит точность измерений. Но при измерении токов или сопротивлений такой мультиметр может давать куда большие погрешности и первого (до 2—3%) вида, и второго (в неко- торых случаях до 10—15 единиц младшего разряда) — для уточнения стоит прочитать подробное описание конкретного прибора. Разумеется, приведённые рецепты не слишком обосно- ванны и строги, в многочисленных пособиях даются самые разные советы по поводу оценки приборных ошибок, рас- чётов погрешностей косвенных измерений и статистической обработки результатов измерений. Не следует думать, что правильными могут быть только те варианты, в которых применяют непонятные математические методы (и чем непо- нятнее — тем правильнее), проблемы тут не столько в спо- собах счёта, сколько в анализе причин как приборного, так и «случайного» разброса. Выдержка из программы курса физики 7—8 «Способы измерений. Прямые и косвенные измерения. Точность измерений. Цена деления шкалы прибора. Класс точности прибора. Ошибки измерений систематические и слу- чайные. Способы уменьшения ошибок. Статистические спо- собы повышения точности в том случае, если случайная ошибка больше предельной точности прибора». Выдержка приведена для того, чтобы напомнить, что основные понятия, используемые для характеристики изме- рений, вводились ещё в 7—8 классе. Однако нелишним будет повторить эту тему и с учениками старших классов, которые большую часть того, что было изучено в 7—8 классах (если не всё), успели позабыть. |