Методичка. Олимпиада х
 Скачать 1.21 Mb.
|
|
Маятник Работа 5. Исследование маятника Исследование математического и не вполне математиче- ского маятников. Задача состоит из нескольких отдельных маленьких исследований: какие факторы влияют на скорость затухания колебаний, как меняется период колебаний при увеличении угловой амплитуды, как можно получить харак- тер зависимости периода от длины нити, если не разрешается пользоваться секундомером. Математический маятник — это абстракция, модель. При- близиться к этой модели можно, уменьшая размеры тела на конце нити, уменьшая массу нити по сравнению с массой тела, снижая затухание колебаний. Менее массивная нить сильнее растягивается в сравнении с толстой нитью из того 14 Часть 1 же материала. Удлинение нити меняется во время колеба- ний. При проходе грузом нижнего положения (положения равновесия) длина нити наибольшая, а при максимальном отклонении от положения равновесия нить имеет наимень- шую длину. Период колебаний (время между двумя после- довательными прохождениями груза положения равновесия в одну сторону) при увеличении угловой амплитуды коле- баний увеличивается как для идеального математического маятника, так и для реального маятника. Дополнительное увеличение периода реального маятника происходит за счёт растяжения нити, поэтому экспериментально полученная за- висимость периода колебаний от амплитуды не вполне совпа- дает с известной зависимостью, описываемой чисто кинема- тической формулой. На периоде колебаний сказывается и трение. Причин для затухания колебаний несколько — сопротивление воздуха обычно даёт наибольший вклад. Ещё одной причиной увели- чения затухания является «ёрзание» нити в точке подвеса — укреплять нить следует аккуратно, добиваясь подвеса в точ- ке. Важно и то, как прикреплён к нити грузик, — и в этом месте может выделяться тепло. Но есть и другие причины. Как сделать маятник из нити и грузика, чтобы затухание получилось поменьше? Поговорим об этом немного подробнее. Роль сопротив- ления воздуха можно снизить, увеличивая кинетическую энергию системы за счёт утяжеления грузика и выбирая нить потоньше, чтобы снизить лобовое сопротивление. Одна- ко при этом сильнее выражен ещё один фактор — тяжёлый груз заметно растягивает тонкую нить. Растяжение нити при раскачивании груза периодически увеличивается и уменьша- ется, и при этом выделяется теплота. Очень интересен вопрос о том, какое отношение к изменению амплитуды имеет такое выделение тепла — вроде бы это всё силы внутренние, и они не должны влиять на колебания. С другой стороны, если тепло выделяется, то амплитуда обязана уменьшаться — это следует из закона сохранения энергии. Как разрешить этот парадокс? Идея понятна: тепло выделяется в нити при наличии от- носительного движения закреплённого конца нити и грузика Работы по механике 15 (в идеальном маятнике расстояние между ними не должно изменяться!). Если принять за начало отсчёта расстояние между точкой закрепления нити и грузом в том случае, когда колебания отсутствуют, то при колебаниях расстояние между ними растёт, когда нить натянута с силой, большей mg, и укорачивается, когда сила натяжения нити меньше mg. При этом груз движется, и вектор его скорости – v составляет с направлением действующей на него со стороны нити силы – F угол, не равный 90 ◦ , то есть мощность, развиваемая этой силой ( – F– v), не равна нулю. В среднем за период работа этой силы отрицательна, то есть запас механической энергии маятника с каждым периодом уменьшается. Аккуратное рас- смотрение довольно сложно — лучше остановиться вовремя, пока в этом вопросе почти всё ясно. При тщательном изготовлении такого маятника затухание получается небольшим — амплитуда уменьшается вдвое за 20—30 колебаний. Тут можно устроить забавное соревнова- ние — кто из ребят сделает маятник с наименьшим затуха- нием. Результаты легко наблюдать при прямом сравнении сделанных маятников (стоит заранее оговорить приблизи- тельную величину периода). Точные измерения можно проводить только с таким ма- ятником, у которого затухание мало. Для измерений необхо- димо использовать секундомер. Точность измерений периода колебаний при использовании одного-двух десятков колеба- ний получится хорошей, если разумно проделать измерения. Чтобы скомпенсировать ошибки «нажатия», придётся отве- сти маятник и отпустить его, после этого нажать секундомер в момент прохождения нижней точки (в этом положении ско- рость максимальна и точность фиксации момента получается наилучшей), после чего выждать заданное число периодов и остановить секундомер точно в той же фазе колебаний. В этом случае частично компенсируется ошибка, связанная с временем реакции наблюдателя. Кроме того, ошибки будут «разложены» на несколько периодов. Если же нас интересует не точное значение периода, а влияние параметров маятника на период, тут возможны измерения и без использования секундомера. Способ таких измерений не очевиден, однако вполне доступен разумному 16 Часть 1 школьнику (в том смысле, что он сможет не только его использовать, но и самостоятельно до него додуматься, воз- можно, с небольшими подсказками). Идею способа проще всего рассмотреть на конкретном примере. Предположим, что нам нужно узнать, во сколько раз от- личаются периоды колебаний маятников при различии длин нитей на 10%. Один из маятников будем считать опорным. Маятник с длинной нитью при колебаниях отстаёт от маят- ника с короткой нитью. Начнём счёт колебаний в тот момент, когда, например, оба маятника проходят свои положения равновесия в одной фазе, — считаем колебания опорного ма- ятника до тех пор, пока фазы колебаний снова не совпадут. При этом число периодов колебаний короткого маятника окажется на единицу меньше и отношение периодов сразу найдётся. Кстати, не обязательно ограничиваться разностью в один период — можно взять и больше, тут всё ограничено только затуханием колебаний. Этот способ обеспечивает очень хорошую точность — и без всяких секундомеров. С его помощью можно выяснить и вли- яние увеличения амплитуды на период (малые колебания маятника изохронны, при увеличении угловой амплитуды период увеличивается, хотя и ненамного — для измерения малых изменений периода понадобятся точные измерения). Сделаем вначале два одинаковых маятника и добьёмся хо- рошего совпадения периодов при одинаковых начальных амплитудах отклонения нитей от положений равновесия. Немного изменяя длину нити одного из них, будем отводить их от положения равновесия и отпускать одновременно. Если один маятник отстаёт от другого, немного укоротим его нить, и т. д. После того как получено хорошее совпадение периодов при одинаковых начальных амплитудах колебаний, можно один из маятников использовать в качестве опорного — он будет совершать колебания с небольшими амплитудами. Ам- плитуду колебаний второго маятника можно устанавливать произвольной (в разумных пределах — не следует отклонять нить от вертикали на тупой угол, так как в этом случае неизбежны рывки нити). Учёное название такого способа измерений — измерения по «биениям», разные варианты таких измерений описаны в литературе. Электрические измерения на постоянном токе 17 Электрические измерения на постоянном токе Для описанных ниже работ понадобится небольшой набор приборов и приспособлений, ничего экзотического или дефи- цитного там нет. Вам придётся, возможно, немного пограбить какого-нибудь радиолюбителя, чтобы найти несколько нуж- ных резисторов, пару самых обычных полупроводниковых диодов и полупроводниковый стабилитрон. Провод из сплава с высоким удельным сопротивлением — лучше всего, если это будет нихром 1 , — содержится в обычной электроплитке. Если вам жаль рабочей спирали — поищите запасную, она часто просто лежит в отдельном пакетике. В конце концов, можно размотать сломанный реостат. В качестве источника питания удобнее всего использовать обычную плоскую батарейку на 4,5 В, вполне подойдёт и обычный школьный выпрямитель на такое же напряжение. У таких выпрямителей часто бы- вают большие пульсации напряжения на выходе — в таких случаях полезно подключить на выход конденсатор ёмко- стью несколько сотен микрофарад (а лучше взять ёмкость побольше — порядка 1—2 тысяч микрофарад), максималь- ное рабочее напряжение конденсатора должно быть выбрано «с запасом» — для выпрямителя на 5 В на практике ну- жен конденсатор на 10—15 В. Необходимы миллиамперметр постоянного тока на 5 миллиампер, вольтметр на 6 В, микро- амперметр на 100 микроампер — это могут быть и обычные «школьные» приборы, лучше всего взять стандартный набор, выпускаемый для школ последние несколько лет, — приборы эти обладают неплохой точностью, у них удобно проградуи- рованы шкалы и сами приборы выглядят приятно, что для успеха эксперимента тоже немаловажно. Очень полезен «магазин сопротивлений» — если он есть, то можно делать очень точные измерения даже с довольно 1 Главное достоинство нихрома не в том, что у него высокое удельное сопротивление, а в том, что оно весьма слабо зависит от температуры. При увеличении температуры от 20 ◦ C до 1150 ◦ C удельное сопротивление нихрома увеличивается всего на 6%. При таком же изменении темпера- туры удельное сопротивление вольфрама увеличивается почти в 5 раз. Таким образом, любой нагревательный прибор с нихромовой спиралью можно использовать в качестве резистора, сопротивление которого почти не зависит от протекающего по нему тока. 18 Часть 1 грубыми приборами. Непременно постарайтесь его найти — при грамотной постановке опытов можно получить точность, определяемую самым точным из ваших приборов, — а да- же простой и дешёвый магазин сопротивлений обеспечивает точность установки сопротивления не хуже десятых долей процента. Для проверки полученных в эксперименте резуль- татов полезно иметь хотя бы простой цифровой тестер, но для самих экспериментов он не нужен. Резисторы Работа 6. Измерение сопротивлений резисторов В работе требуется измерить с максимально возможной точностью сопротивления нескольких выданных резисторов. Проблема — в скудном наборе измерительных приборов. Ис- пользуются: источник питания 4 В или батарейка 4,5 В (на- пряжение считается неизвестным — разве что очень пример- ная величина), миллиамперметр с током полного отклонения 5 мА (для полноты картины можно и эту величину не зада- вать — сказать, например, что это не миллиамперы на шкале, а условные единицы), два резистора с точно известными сопротивлениями (например, 2450 Ом и 4640 Ом — их можно заранее померить цифровым прибором), ограничительный резистор приблизительно 100—200 Ом — укажите строго-на- строго, что его используют для ограничения тока в цепи, чтобы миллиамперметр остался цел и не был повреждён источник питания. Разумеется, провода. И сами резисторы, которые нужно померить: 1 кОм, 10 кОм, 50 кОм и 200 Ом. Эти величины заданы тут очень примерно — возьмите то, что сумеете подобрать. Указания по проведению работы. Ничего не подсказы- вайте — смысл работы именно в том, чтобы придумать способ измерений «без ничего» — ни напряжения, ни тока изме- рить нельзя (напомним, что приборы очень неидеальные и полное сопротивление цепи неизвестно). Выданные два резистора позволяют проградуировать шкалу импровизиро- ванного омметра — соединяем последовательно «в кольцо» источник питания, ограничительный резистор, миллиампер- Электрические измерения на постоянном токе 19 метр и известный резистор и отмечаем на шкале прибора ток, который соответствует сопротивлению этого резистора. Удобно на миллиметровой бумаге нарисовать отдельно от миллиамперметра шкалу и отметки делать именно на ней — у самого прибора стекло мешает. Выданные два резистора позволяют получить четыре отметки: каждый резистор от- дельно, параллельно соединённые резисторы (сопротивление рассчитываем по известной формуле), последовательно со- единённые резисторы. Величины сопротивлений выданных резисторов выбраны так, чтобы все четыре отметки попали на шкалу (возможно, было бы и «зашкаливание» при парал- лельном соединении). Теперь можно подключать неизвестные резисторы и смот- реть на нашу шкалу. При величинах 1 и 10 кОм мы попадём недалеко от известных отметок, и можно будет «в уме» сделать интерполяцию или экстраполяцию. Это вполне ра- зумный, хотя и неточный способ — его можно улучшить, сделав дополнительные отметки на шкале при помощи понят- ной формулы I = U R общ = U R о + R доп По известным двум точкам легко рассчитать не заданные нам U и R о — сопротивление «остальной» цепи, которое включает внутреннее сопротивление источника, ограничи- тельный резистор, сопротивление проводов и собственное сопротивление миллиамперметра. После этого можно изме- рять. Отдельно нужно обсудить измерения с резисторами 200 Ом и 50 кОм — первый вызовет отклонение за пределы шкалы, второй даст совсем малое отклонение стрелки в начале шка- лы, и ничего определённого сказать будет нельзя. Выйти из затруднительного положения и попасть на известный участок шкалы можно так: для измерения малого сопротивления мы соединим его последовательно с резистором 2450 Ом и получим новую отметку на шкале, большой же резистор подключим параллельно к соединённым последовательно из- вестным резисторам. Для увеличения точности и получения более определённых отсчётов можно провести одно за другим два измерения — присоединяя неизвестный резистор и не 20 Часть 1 присоединяя, при этом лучше видна небольшая разница в от- счётах. Интересно обсудить с учащимися вопрос о точности полученных результатов — различные резисторы из набора неизвестных могут быть измерены в нашем случае с очень различной точностью. Ещё один важный момент в этой работе — тут виден смысл в параллельном, последовательном и комбинированном со- единении резисторов, это и в самом деле используется для получения практических результатов. И ещё: на этой простой работе видно, как сильно отличаются друг от друга точность конкретного измерения (и пределы погрешности) и разреша- ющая способность прибора — погрешность ±5% полностью поглощает разницу результатов при последовательном под- ключении маленького резистора 200 Ом в собранную цепь, но разница видна, и она воспроизводима — это позволяет всё же найти величину сопротивления. В нашем эксперименте мы не используем миллиампер- метр на 5 миллиампер — это как бы совершенно новый при- бор, который мы тут же калибруем по известным резисто- рам, и точность измерений определяется именно воспроиз- водимостью результатов. Если бы погрешность измерений определялась трением в упорах (как и было в приборах старых конструкций), то стрелка при каждом измерении могла застыть где угодно в пределах некоторой области (её называли «застойной»), и это совершенно испортило бы нам всю выбранную методику. В современных стрелочных при- борах рамка со стрелкой «подвешивается» на растянутых ленточках, поэтому сухое трение в упорах просто отсутствует и результаты нескольких измерений почти не отличаются друг от друга (причиной отличия может быть постепенное ухудшение свойств используемой батарейки или плохие кон- такты соединительных проводов). Большие сопротивления Работа 7. Измерение больших сопротивлений Обычными способами (например, методом вольтметра-ам- перметра) трудно измерять сопротивления, величины ко- Электрические измерения на постоянном токе 21 торых превышают десятки миллионов ом либо составляют доли ома — единицы ом. Тут нужно либо применять очень чувствительные приборы (а где их взять?), либо что-нибудь придумать. Попробуем второе. Поставим задачу конкретнее: имеется в наличии резистор очень большой величины — предположительно несколько сотен мегаом. При подключе- нии его последовательно с самым чувствительным нашим прибором к источнику ток измерить не удаётся. Можно было бы увеличить напряжение источника до нескольких сотен вольт, однако тут нас может подстерегать крайне неприят- ный сюрприз — наш резистор может не выдержать такого высокого напряжения и «пробиться», т. е. стать на вре- мя — или навсегда — очень небольшим по величине, со всеми вытекающими последствиями для измерительного прибора, источника питания и самого экспериментатора. На практике для таких измерений используют специальные источники — очень маломощные, не умеющие развивать сколько-нибудь заметный ток в нагрузке (ручные электрогенераторы — «ин- дукторы»), на их основе и делают приборы для измерения больших сопротивлений (мегаомметры), используемые обыч- но для измерений сопротивления изоляции, которое в идеале вообще должно быть бесконечным. Если у нас в физическом кабинете таких приборов нет, нужно придумать что-нибудь другое. Используем для измерений конденсатор. Возьмём конден- сатор с достаточно большой ёмкостью и хорошим качеством диэлектрика — вполне подойдёт керамический или «металло- бумажный» (самый обычный!) конденсатор на 1—2 микро- фарады. Зарядим его от батарейки, отключим от неё и под- 22 Часть 1 ключим к нему чувствительный микроамперметр. Стрелка микроамперметра отклонится и быстро вернётся на место. Оказывается, «отброс» стрелки определяется протёкшим по цепи зарядом («баллистический» режим прибора — мы его толкнули, а дальше стрелка движется по инерции), если толчок был очень кратковременным и движение происходило в основном по инерции. Теория такого режима очень поучи- тельна, однако мы об этом говорить не будем — нам вполне достаточно того, что мы сможем получить в простом экспери- менте: заряжая конденсатор до разных напряжений, сравним величину отброса стрелки и убедимся в пропорциональности этих величин. Для таких измерений делают специальные приборы — баллистические гальванометры — у них стрелка (часто у них стрелки нет, а для отсчёта используется световой «зайчик») возвращается на место очень медленно, и отсчёт легко произвести. Для обычных микроамперметров это не так, приходится применять специальные меры — например, загораживая часть шкалы бумажкой, добиться того, чтобы стрелка только-только выпрыгивала из-за неё; при этом мы видим именно полезный результат, измерений придётся про- вести несколько, что и само по себе очень полезно. Очень полезно убедиться в том, что отброс стрелки про- порционален именно заряду конденсатора, а не просто напря- жению, до которого он заряжён. Для этого можно использо- вать ещё один конденсатор — лучше, если его ёмкость будет раза в два больше, чем у первого. Нужно сравнить отбросы стрелки при разрядке каждого конденсатора в отдельности и при параллельном их соединении — если всё правильно, то отброс в этом случае будет с разумной точностью равен сумме отбросов для каждого из конденсаторов. Внимание! Очень полезно поговорить про баллистический метод заранее — он будет очень полезен позже, с его помощью можно измерять не только ёмкость конденсатора, но и ин- дуктивность катушки, индукцию магнитного поля и другие интересные величины. А теперь про сами измерения. Зарядим конденсатор не- сколько раз и проверим, что отбросы стрелки одинаковы. Теперь очень важная часть работы — зарядим конденсатор и оставим его в покое на несколько минут, а после этого Электрические измерения на постоянном токе 23 измерим оставшийся заряд. У хорошего конденсатора заряд меняется меньше чем на 1—2% за 100 секунд. Если ваш конденсатор заметно хуже, лучше взять другой, приведён- ные выше числа вполне типичны для обычных «бумажных» и керамических конденсаторов (обычных — потому что есть и необычные, с очень хорошим диэлектриком, например на основе фторопласта, которые «держат» заряд месяцами — если воздух сухой). И наконец, зарядим конденсатор, затем дадим ему перед измерением разряжаться несколько секунд (время измеряем обычным способом) через наш резистор и посмотрим на результат. Время разряда подберём мето- дом проб таким образом, чтобы конденсатор за это время разряжался на 30—50% (слишком мало — плохо для точ- ности и слишком много — тоже). Теперь можно рассчитать сопротивление: пусть для определённости конденсатор 2 мкФ разрядился на 40% за 50 секунд. Тогда средний ток разряда определяется примерно через полусумму начального и конеч- ного напряжений конденсатора: I ср = U ср R = 0,8 ·U 0 R , DQ = I ·Dt = 0,8 ·U 0 · Dt R = 0,4 ·C·U 0 Отсюда определим величину R = 2 ·Dt/C=50 МОм. Расчёт этот приближённый — через средний ток разряда. Можно посчитать и точнее, но смысла нет — измерения эти высокой точности не дают, поэтому и уточнение расчёта ничего не даст. Разумеется, это справедливо для разряда на небольшую долю: если конденсатор отдаст, скажем, 80% своего заряда, ошибка расчёта станет недопустимо большой. Можно вести расчёт и по точной формуле с логарифмами, если ребята знают, что это такое. Ясно, что такой способ подходит в том случае, когда сопро- тивление изоляции существенно выше измеряемого, однако и в обратном случае возможны (довольно грубые) измерения. Очень хорошо подходит этот способ для измерения «обратно- го тока» полупроводникового диода — ток этот не меняется заметно при существенных изменениях приложенного на- пряжения, и можно считать, что конденсатор разряжается практически постоянным током. Проблема состоит в том, что у современных маломощных кремниевых диодов величина |