Методичка. Олимпиада х
 Скачать 1.21 Mb.
|
|
Приборы и способы измерений физических величин Приборы, с помощью которых можно проводить измере- ния, характеризуются точностью. Если измеряемая величи- на «считывается» со шкалы прибора, то расстояния между двумя соседними метками (штрихами) на шкале прибора определяют максимальную точность, которую «обеспечива- Погрешности 49 ет» данный прибор. Например, миллиметровые деления на шкале металлической линейки или рулетки ограничивают точность измерений величиной примерно 0,5 мм. Можно пытаться уверять себя, что «на глаз» видно и 1/5 расстояния между делениями шкалы, но это, как говорится, самообман. «Я сам обманываться рад» — эта строка А. С. Пушкина подходит для таких экспериментаторов. Истинное значение измеряемой величины и значение, которое экспериментатор считал со шкалы прибора, могут отличаться. Различие этих величин экспериментатору неиз- вестно, но оно меньше, чем точность измерений, которую мо- жет обеспечить данный прибор при правильно проведённом измерении. Соответствующее отличие называется приборной погрешностью измерений. Обычно прибор, например стрелочный прибор для изме- рения тока, снабжается меткой, которая несёт информацию о «классе точности» прибора, измеряемой в процентах. Если прибор имеет класс точности 1, то это означает, что точ- ность измерения соответствующей величины не лучше 1% от максимального показания прибора на данном пределе измерений. Для приборов с числовой индикацией имеются свои огра- ничения точности. В частности, для таких приборов важно количество выводимых на индикаторную панель цифр. Чис- ло, представляемое в виде ограниченного количества цифр, может отличаться от истинного значения измеряемой вели- чины «на пределе возможностей» прибора в «последнем зна- ке» на +1 или −1. Это так называемая ошибка «округления», или ошибка «дискретизации» числового прибора. Для таких приборов важны и ошибки, возникающие при сравнении неких электрических параметров, в которые преобразованы измеряемые физические величины. Ошибки преобразования носят систематический характер. Различные электрические помехи вносят свой вклад в ошибку измерений, и соответ- ствующий вклад может иметь случайный непредсказуемый характер. Приборная погрешность складывается в этом слу- чае из погрешностей преобразования и «дискретизации». Числовые (или, как их ещё называют, цифровые) приборы тоже характеризуются классом точности. Соответствующие 50 Часть 1 процедуры расчёта погрешностей приборов с числовой инди- кацией обычно даются в описании к прибору. Измеряемая величина может от измерения к измерению принимать разные значения. Например, нужно установить дальность полётов пуль, выпущенных с определённой высоты в горизонтальном направлении из данного орудия. Понят- но, что от выстрела к выстрелу немного меняются условия внутри ствола орудия, там появляется и счищается нагар, стенки ствола орудия изнашиваются. Заряды пороха и массы пуль в разных патронах немного отличаются, даже если все патроны были выпущены одним и тем же заводом в одну и ту же смену одним и тем же мастером. Крепление орудия от выстрела к выстрелу меняется, по- этому лишь с некоторой погрешностью можно устанавли- вать горизонтальность оси симметрии ствола орудия. И тому подобное. Таким образом, существует множество факторов, которые невозможно учесть, но которые влияют на результат, причём могут изменить его как в б´ольшую, так и в меньшую сторону. Изменения дальности полёта от выстрела к вы- стрелу принимают разные значения, которые предсказать невозможно, —они носят случайный характер. При этом при- борная ошибка измерений гораздо меньше, чем среднее по величине значение отклонения дальности полёта пули в од- ном выстреле от результата, полученного в другом выстреле. В таких случаях говорят, что имеется непредсказуемый слу- чайный разброс измеряемых значений от опыта к опыту. Чтобы охарактеризовать измеряемую величину, нужно найти (вычислить по результатам многих выстрелов) некое среднее её значение и указать среднюю величину разброса значений вблизи этого среднего значения. Этих сведений будет достаточно, чтобы в технических документах орудия данного типа указать для него дальность стрельбы «прямой наводкой». Какое разумное число измерений нужно провести, чтобы найти это среднее значение с максимальной возможной точ- ностью? Если предположить, что от измерения к измерению слу- чайные отклонения никак не связаны друг с другом, то максимальная точность ограничивается приборной погреш- Погрешности 51 ностью d используемого для измерения расстояния прибора. Если уже проведены N измерений и средний разброс от одного измерения к другому составляет D, то при очередном измерении и вычислении «среднего» значение этого нового среднего может измениться по сравнению с предыдущим вычисленным значением на величину D/(N + 1). Если эта величина изменения меньше d, то проведение ещё большего количества измерений не имеет смысла, так как прибор- ная погрешность больше, чем изменение среднего значе- ния, получаемое в результате дополнительных измерений. Итак, минимальное количество измерений, которое следует провести, равно примерно D/d −1. Единицей в полученной формуле можно пренебречь и ориентироваться на число из- мерений D/d. Правила записи измеренных величин с указанием ошибок При измерении длин черенков лопат были получены сле- дующие значения 120,3 см, 130,0 см, 127,5 см и т. д. При вычислениях с помощью калькулятора получилось среднее значение X средн = 123,045678 см и средний модуль отклоне- ния от среднего значения DX =6,789123 см. Как правильно записать полученный результат? У всех измеренных величин обязательно сохраняются числа 1 — в сотнях, 2 — в десятках, а число единиц меняется от одного значения к другому. Значит, в среднем значении следует сохранить только 123, а все остальные цифры (начиная с десятых долей) отбросить. Величина отклонения от среднего значения записывается так, чтобы осталась одна значащая цифра, если она больше 1, и две, если первая цифра равна 1. Значит, в нашем случае следует округлить 6,789 до ближайшего числа с одной знача- щей цифрой: 6,789 ≈7. Таким образом, правильная запись полученного результа- та такова: X средн ± DX = 123 ± 7 (см). Вероятности осуществления событий У пустого коробка центр масс смещён относительно его геометрического центра. Центр масс смещён в сторону той 52 Часть 1 большой грани коробка (№ 1), к которой прилегает дно пу- стого лотка для спичек, и удалён от той большой по площади грани (№ 2), к которой обращена ёмкость лотка. Он также смещён в сторону той средней по площади грани коробка (№ 3), на которой оболочка вдвое толще, чем на другой такой же по площади стороне (№ 4). На этой толстой грани картонная оболочка склеивается. Две самые маленькие по площади грани коробка (№ 5 и № 6) ничем друг от друга не отличаются, по отношению к ним центр масс располагается симметрично. На приведённой фотографии спичечного коробка можно указать, какие номера будут иметь грани параллелепипеда (после закрывания коробка). Грань № 1 самая дальняя от нас. Грань № 2 — сверху (ближайшая к нам), № 3 — нижняя, № 4 — верхняя, и № 5 и № 6 — грани справа и слева. Задание: провести много (больше 100) испытаний с под- брасыванием щелчком пальцев пустого спичечного коробка. Грани коробка нужно пометить в соответствии с данным выше описанием. Привести числа остановок коробка после падений на гранях с разными номерами. Выразить в про- центах вероятности осуществления того или иного исхода броска. Обработка 3500 бросков спичечного коробка (такие экспе- рименты проводили дома ученики двух классов) дала следу- ющие результаты: грань № 1: 50,1 ±0,6%; грань № 2: 42,2 ±0,5%. Сумма вероятностей остановки коробка после падения на больших по площади гранях равна 92,3 ±0,6%. Погрешности 53 Средние по площади грани (№ 3 и № 4, сумма): 5,7 ±0,4%. Маленькие грани (№ 5 и № 6, сумма): 2,0 ±0,3%. Итак, хорошо заметно, что смещение центра тяжести от геометрического центра привело к изменению вероятностей для двух разных самых больших по площади граней! Размеры коробка 50 мм ×37 мм×15 мм. Вероятности оста- новки коробка после падения на разных гранях отнюдь не пропорциональны площадям граней «больших: средних: ма- леньких». Площади относятся примерно как 10 : 5 : 3, а веро- ятности падений на большие, средние и малые по площади грани относятся как 46 : 3 : 1. Вероятность остановки коробка после падения на малень- кой грани измерена с относительной точностью 15%. Для того чтобы повысить точность измерения вероятности паде- ния коробка на маленькую грань в 10 раз, то есть измерить её с относительной точностью 1,5%, нужно произвести в сто раз больше бросков. Как не следует поступать, или гипотетический школьник Представим себе, что школьнику дали задание измерить плотность материала, из которого сделан выданный ему бру- сок. Пусть это будет металлический сплошной брусок прямо- угольной формы. Школьник не знает, что учитель, давший задание, тоже провёл измерения, только использовал гораздо более точные приборы, чем имеются в распоряжении школь- ника. Взвесив брусок на весах, школьник получил 74,3 г (точ- ное значение, полученное при измерении с использованием аналитических весов, составляет 74,321 ±0,001 г). Предполо- жим, что школьник измерил его длину, ширину и высоту при помощи обычной деревянной линейки и получил для длины, ширины и высоты значения 32, 25 и 12 миллиметров (Слу- чайно или нет, но точные значения этих размеров, получен- ные учителем с помощью микрометра, равны 32,000 ±0,001, 25,000 ±0,001 и 12,000±0,001 мм.) Какую точность следует приписать полученным числам школьнику? Воспроизведём возможный ход его рассуждений: «Если бы я измерял при помощи этой линейки расстояние между двумя чётко обозначенными точками на плоскости 54 Часть 1 (поставленными твёрдым и хорошо заточенным карандашом или, что лучше, наколотыми тонкой иглой), то мог бы счи- тать, что погрешность определяется только точностью из- мерительного прибора — линейки, тогда можно взять «пол- деления» в качестве разумной оценки погрешности. Такой выбор не так уж плох — если изготовитель линейки разумен, он не станет увеличивать цену простого измерителя, нанося на него больше делений, чем необходимо для реализации его точности. Размеры линейки из дерева изменяются со временем — она разбухает при увеличенной влажности, де- формируется при высыхании, просто меняется со временем; металлические линейки лучше, однако и их размеры через некоторое время после изготовления становятся не очень точ- ными, кроме того, толщина штриха на линейке не так мала, как хотелось бы. В том случае, когда размеры для измерения не так хорошо определены, а в нашем случае это именно так, погрешность получится выше, даже если форма тела очень близка к правильной, прямоугольной и мы располо- жили линейку точно вдоль граней. В общем, если отнестись к точности измерений с некоторым оптимизмом, можно взять такие значения: длина 31—33 мм, ширина 24—26 мм, вы- сота 11—13 мм. Для нахождения погрешности определения объёма воспользуемся так называемым «методом границ» — смысл его вполне ясен из названия. Минимальное значение объёма определяется произведением наименьших величин, максимальное — наибольших. V мин = 31 ·24·11=8184 мм 3 , V макс = 33 ·26·13=11154 мм 3 Тогда V = 9669 ±1485 мм 3 , хотя лучше округлить и написать V = (9,7 ±1,5)·10 3 мм 3 . Считая измеренное значение массы бруска 74,3 г точным (даже простые школьные весы обес- печивают очень высокую точность измерения массы, неточ- ность измерения массы при аккуратном подходе не превысит 20—30 мг, что составит 30 ·10 −3 /75 ≈4·10 −4 < 0, 05%, что во много раз меньше ошибок при измерении размеров), мы получим верхнее значение плотности, разделив массу на наи- меньшее возможное значение объёма — нижнюю границу для измеренной нами величины, а нижнее значение плотности — разделив массу на наибольшее значение объёма. Дальше всё Погрешности 55 просто — в качестве измеренного значения разумно взять полусумму полученных значений, а в качестве погрешности измерений — полуразность. В нашем случае, немного округ- ляя, получим r= (7,8 ±1,2) г/см 3 .» Значение плотности, вычисленное на основе использова- ния более точных измерений, составляет 7,7418 ±0,0008 г/см 3 ≈ 7,742 ± 0,001 г/см 3 Видно, что более точное значение попадает в интервал, указанный школьником, но «люфт», который он оставил для возможных значений плотности, непомерно велик. Во-первых, рассуждения гипотетического школьника о де- ревянной линейке некорректны. Усыхание и коробление ли- нейки проявляется в направлении, поперечном волокнам, а линейки поперёк волокон не изготавливаются. Даже если намочить деревянную линейку до полного «промокания», её длина изменится менее чем на 1% ! Слова школьника о тол- щине нанесённых на линейку штрихов показывают, что он не умеет пользоваться ею правильно. На точность измерений линейкой толщина штрихов не влияет. Штриховка может быть и такой, что ширина зазора совпадает с шириной штри- хов. Никто не мешает проводить отметку по правой или левой границе штриха, а они нанесены при изготовлении линейки с помощью достаточно точной «матрицы» с точностью, явно лучшей 0,2 мм для деревянной линейки, и с ещё большей точностью для металлической линейки. Школьнику как раз и следовало воспользоваться листом бумаги и тонко заточен- ным карандашом, который оставляет штрих толщиной менее 0,1 мм. Наибольшая ошибка возможна при измерении малых расстояний, то есть в данном случае при измерении стороны бруска 12 мм. Точность измерений можно и нужно повысить. Для этого брусок помещается на бумагу и очерчивается заточенным карандашом с двух сторон для измерения самой маленькой стороны (12 мм). Затем брусок сдвигается вдоль нанесённых на бумагу линий и отмечается «на глаз» отличие его ширины и расстояния между нанесёнными штрихами. Это делается для того, чтобы при нанесении очередных отметок каран- дашом не делать больших ошибок. Если доверять своему 56 Часть 1 зрению (а что же ещё прикажете делать), то отличие размеров в 0,1 мм отмечается без особого труда. Затем брусок сдви- гается в направлении, поперечном к нанесённым штрихам, на свою ширину, и делается новый штрих, затем операция много раз повторяется. Таким образом, на бумаге «как бы» укладываются друг за другом несколько одинаковых брусков. После 10 таких операций возможная ошибка составит около 1 мм, то есть больше чем 10—15 описанных операций прово- дить не имеет смысла. Есть и ещё один способ улучшить точность измерений этого размера бруска с помощью той же линейки, он сродни «нониусу», только построенному на бумаге самостоятель- но. Тонко заточенным карандашом проводятся линии между двумя парами точек A—B и C—D. Одна пара точек со- ответствует отметкам линейки, например 0,0 и 10,0 см, а другая пара — отметкам 0,0 и 10,2 см. Отрезки AB и CD перпендикулярны линии AC и находятся друг от друга на расстоянии порядка 10 см. Линия BD — линия нониуса. Рис. 10 иллюстрирует этот способ. 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см 10 см C (0 см) D (10,2 см) A (0 см) B (10 см) Рис. 10 После построения такого рисунка дальнейшие операции очевидны. Для исключения возможных ошибок, связанных с тем, что линейка «толстая», следует линейку располагать так, чтобы её участок со штрихами находился по возможности ближе к бумаге и соответственно к бруску. Все эти «ма- ленькие ухищрения» каждое порознь не дают значительного улучшения точности, но и пренебрегать возможностью улуч- шить технику измерений не стоит. Понятно, что многого Погрешности 57 из простой деревянной линейки «не выжмешь», но при из- мерении расстояния порядка 12 мм считать, что результат 12 ±1 мм вполне удовлетворительный, может только очень «неразумный» школьник. А во-вторых, проанализируем результат, который получа- ется при использовании «метода границ». Если учитывать все предполагаемые ошибки при измерении размеров бруска сначала с одним знаком, а затем с другим знаком, то при вычислении полусуммы максимального и минимального объ- ёмов результат получается «смещённым»: (A + a)(B + b)(C + c) + (A −a)(B−b)(C−c) 2 = ABC + Abc + aBc + abC. Оценка ошибки измерений получается явно завышенной: (A + a)(B + b)(C + c) −(A−a)(B−b)(C−c) 2 = aBC + AbC + ABc. При этом относительные ошибки измерения разных размеров просто складываются a A + b B + c C , что заведомо «занижает» точность! И ещё одна методическая ошибка, которую допустил наш «гипотетический» школьник: он в процессе вычислений про- водил округления, поэтому получил большее значение сред- ней величины плотности материала, чем её точное значение, хотя должен был бы в соответствии принятой им самим методикой вычислений получить меньшее (за счёт смещения) значение. |