Лекция по ОснАУ. лекции ОАУ часть1. Основы автоматического управления

• Название: Основы автоматического управления
• Анкор: Лекция по ОснАУ
• Дата: 05.10.2021
• Размер: 1.06 Mb.
• Имя файла: лекции ОАУ часть1.docx
• Тип: Документы; #241526
• страница: 3 из 9

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

• 
  В разделе рассматриваются различные формы представления конечномерных линейных непрерывных стационарных моделей СУ.
  

Рис.2.1
В зависимости от информативности о внутренней организации СУ (о ее структуре), выделяют два типа моделей.

Модели первого типа – со “свернутой” внутренней организацией или модели “входвыход” – см. рис.2.1 [5], [6], [7].

В таких моделях отсутствует информация о внутренней структуре СУ, то есть о составе функциональных звеньев и переменных и о взаимосвязях между ними. Модель представляет собой заданный в некоторой форме математический оператор преобразования входного сигнала f (управляющего или возмущения) в выходной сигнал y.

На таких моделях и рассматриваются в данном разделе формы представления оператора преобразования w.

Модели второго типа – с раскрытой внутренней организацией – несут информацию о структуре системы – см.подразд.2.5, 2.6.

2.1. Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение (ДУ) “n-го порядка” связывает во временной области входную переменную f(t), выходную переменную y(t) и их производные:

. (2.1)

Порядок n определяется по наибольшему номеру производной левой части уравнения (2.1).

ДУ дополняется начальными условиями .

Часто используется компактная запись ДУ (2.1), для чего вводится символьный оператор дифференцирования по времени pd/dt :

A_n(p) y(t)=B_m(p) f(t). (2.2)

Здесь  операторные полиномы.

Классический метод решения дифференциального уравнения.

Находится общее решение (решение свободного движения):

-для этого запишем однородное дифференциальное уравнение

А_n(p)y_св (t) =0,

Далее запишем характеристическое уравнение

A_n(p)=a_n pⁿ+ a_{n -1} p^{n -1}+ . . . a₁p + a₀ = 0 ,

и найдем корни p_i – i = 1,2, . . . n.В зависимости от характера корней выделим основные случаи:

1. 
   Все корни различные и вещественные, тогда общее решение.
   

y_св(t)= ,

где – постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий

2. 
   Среди корней характеристического уравнения есть комплексные корни
   

P_i,i+1= В этом случае общее решение имеет вид:
y_св(е)=

3. 
   В случае кратных корней общее решение дополняется соответствующей линейной комбинацией.
   
4. 
   Далее на основании заданных начальных условий и вида входного сигнала f(t) находится вынужденное решение y_вын(t) и записывается полное решение :
   

y(t) = y_св(е) + y_вын (t).

Использование преобразования Лапласа.

Напомним, что интегральное преобразование вида

x(s) = x(t) dt
называется прямым преобразованием Лапласа, а переменные x(t) и x(s) оригиналом и изображением соответственно, аргумент s = + jɷ - символ комплексной переменной.

Математическую модель системы в изображениях легко получить из соответствующего дифференциального уравнения записанного в операторной форме путем замены символа оператора дифференцирования pна символ комплексной переменной s и заменив оригиналы сигналов на их изображенияY(s) и F(s).

Тогда из уравнения 2.1 получим

(a_n sⁿ + a_n-1 s^n-1 + + a₁ s + a₀) Y(s) = (b_m s^m + b_m-1s^m-1 +.+ b₁s+b₀)F(s),

или в компактной форме

A_n(s)Y(s) = B_m(s)F(s).

Допустим, известны полиномы A_n(s) и B_m(s) и изображение F(s), тогда:

можно найти изображение выходной координаты

Y(s) = F(s).

Получить оригинал выходной координаты можно обратным преобразованием Лапласа
Y(t) = = ds
2.2. Передаточные функции

По определению передаточная функция (ПФ) представляет собой оператор, равный отношению изображений выходной и входной координат при нулевых начальных условиях. Для СУ, представленной на рис.2.1, ПФ

. (2.3)

Изображения функций будем обозначать прописными буквами.

ПФ (2.3) может быть легко получена из ДУ (2.1) (или (2.2)). Для этого преобразуем по Лапласу левую и правую части (2.1); при этом воспользуемся свойством линейности преобразования Лапласа и тем, что дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на комплексный аргумент s (справедливо при нулевых начальных условиях).

Таким образом, если

В результате получим:

. (2.4)

Из (2.4) с учетом (2.3) окончательно получим

. (2.5)

Как следует из (2.5), ПФ является дробно-рациональной функцией (отношением двух полиномов). Полиномы числителя и знаменателя образуются из соответствующих коэффициентов правой и левой частей исходного ДУ (2.1) или (2.2). Полином A_n(s) знаменателя ПФ системы (или отдельного звена) называется характеристическим полиномом системы (звена).

Как видно из (2.1) и (2.5), по ДУ можно сразу записать ПФ, и  наоборот.

Форма представления ПФ (2.5) называется полиномиальной. Можно представить ПФ также в факторизованной форме, то есть коэффициентом, множеством нулей (корней полинома числителя) z_j:j=1,…,m, и множеством полюсов (корней полинома знаменателя) p_i:i=1,…,n:

. (2.6)

Здесь k=b_m/a_n – отношение старших коэффициентов полиномов (2.5).

2.3. Временные характеристики

Реакция любой динамической системы на входной сигнал – временная характеристика – определяется двумя составляющими: параметрами сигнала и свойствами собственно самой системы.

Для СУ, описываемых линейными дифференциальными уравнениями (2.1), это обстоятельство проявляется в форме решения ДУ, использующей операторный метод на основе преобразования Лапласа. Как следует из (2.3), изображение выходной координаты Y(s)=F(s)W(s). Тогда оригинал – решение ДУ – может быть получен применением обратного преобразования Лапласа:

y(t)=L^1{Y(s)}. (2.7)

Решение ДУ может быть сведено к сумме двух составляющих [6], [7]:

y(t)=y_св(t)+y_вын(t). (2.8)

Свободная составляющая y_св(t) характеризует динамику собственно самой системы и определяется решением однородного уравнения, образующегося из (2.1) приравниванием нулю правой части. При этом решение определяется корнями s_i:i=1,…,n характеристического полинома A_n(s) (или, что тоже самое, полюсами ПФ) системы:

. (2.9)

Вынужденная составляющая в (2.8) y_вын(t) определяется с учетом входного сигнала.

В подразд.1.4 введено понятие устойчивости ОУ и СУ с позиции их поведения. Теперь для устойчивости СУ можно записать

. (2.10)

Если все n корней характеристического полинома действительные, то y_св(t) представляет собой сумму n экспонент  см.(2.9). Если имеются пары комплексно-сопряженных корней, то каждой такой паре s_i,i+1=j в переходном процессе соответствует составляющая C_ie^tSin(t).

Если расположить все корни характеристического полинома на комплексной плоскости, то с учетом (2.10) можно сформулировать следующее утверждение: Для устойчивости СУ необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического полинома принадлежали левой полуплоскости плоскости корней.

Если корни действительные, то они должны быть отрицательными; если присутствуют пары комплексно-сопряженных корней, то должны быть отрицательными их действительные части.

При наличии пары чисто мнимых корней s_i,i+1=j (корни располагаются на оси мнимых) в переходном процессе присутствует незатухающая колебательная составляющая; система находится на “колебательной границе устойчивости”.

Если имеется хотя бы один “правый” действительный корень или пара комплексно-сопряженных правых корней, то будет иметь место

, (2.11)

что является достаточным условием для неустойчивости СУ.

Если получено изображение процесса Y(s), то еще до нахождения по выражению (2.7) оригинала y(t) могут быть получены предельные значения в начале процесса и по его окончании с помощью теорем преобразования Лапласа о начальном и конечном значениях оригинала и изображения.

, (2.12)

. (2.13)

Информация о корнях характеристического полинома и соотношения (2.12) и (2.13) позволяют сделать ряд качественных и количественных суждений о характере временной характеристики еще до построения собственно всего переходного процесса в СУ.

2.4. Частотные характеристики

Частотные характеристики (ЧХ) представляют собой зависимости установившихся реакций системы (объекта) на гармонические сигналы всех частот. Если на вход некоторой линейной устойчивой СУ подать сигнал A_fSin(_it), то на ее выходе установятся вынужденные движения, которые также будут представлять собой гармонический сигнал A_y(_i)Sin(_it+(_i)) той же частоты, но измененной амплитуды и сдвинутый по фазе. Отношение A_y(_i)/A_f представляет собой коэффициент передачи по амплитуде на данной частоте R(_i); функция R() называется модулем ЧХ.

В ЧХ, используемых для расчетов СУ, частота   круговая; имеет размерность рад/с (иногда условно обозначается “с^1”).

ЧХ может быть описана оператором W(j) (частотной передаточной функцией) – комплексной функцией вещественного аргумента . Существуют различные формы представления комплексных функций:

W(j)=Re()+jIm()=R()e^j() . (2.14)

В соответствии с (2.14) используют разные типы ЧХ:

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) W(j)=Re()+jIm() есть сумма вещественной и мнимой частей ЧХ и строится на комплексной плоскости. При изменении частоты  от нуля до  конец вектора описывает на комплексной плоскости траекторию, называемую годографом Найквиста. АФХ не имеет отдельной оси частот и каждая точка характеристики может быть оцифрована соответствующим значением частоты.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)


, (2.15)

представляет собой зависимость от частоты модуля ЧХ.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ)

, (2.16)

отображает зависимость фазового сдвига от частоты.

Часто используются логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ)

L()=20lgR() дБ (2.17)

где L() – логарифмический модуль, измеряемый в децибеллах (дБ). При делении оси частот на декады (интервалы десятикратного изменения частоты) и распределении  внутри интервалов в логарифмическом масштабе, ЛАЧХ приобретают ряд специфических особенностей, облегчающих их построение и позволяющих более наглядно отображать свойства СУ (см.разд.3,4).

По оси частот в теории автоматического управления так же используют логарифмический масштаб на основе десятичного логарифма частоты. При построении логарифмических характеристик по оси абсцисс откладывают отрезки, пропорциональные не самим частотам, а логарифмам частот lg ɷ, как показано на рисунке. Для удобства на этом рисунке нанесены также значение самих частот.

При этом ось частот будет иметь следующий вид –



Изменение частоты в десять раз называют декадой. Причем на оси частот, при ее логарифмическом масштабе, принято обозначать значения частоты в рад/с. Особо отметим, что логарифмическая шкала не имеет нуля и может пересекаться вертикальной осью в любом месте, что особенно важно тем, что дает возможность рассматривать частотные свойства динамических звеньев и конкретных устройств в необходимом диапазоне изменения частот, где характеристика представляет интерес для исследователя.

Теперь дадим определение логарифмическим частотным характеристикам.

Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) динамического звена называют такое представление амплитудной частотной характеристики (АЧХ), в котором модуль (амплитуда) частотной характеристики выражен в децибелах, а частота – в логарифмическом масштабе.

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) динамического звена называют такое представление фазочастотной характеристики (ФЧХ) , в котором частота выражена в логарифмическом масштабе.

Довольно часто ЛАЧХ И ЛФЧХ строятся на одном графике, чтобы давать полное представление о свойствах объекта, покажем на рисунке примерный вид и оформление ЛАЧХ и ЛФЧХ некоторого инерционного объекта.


Как правило, ФЧХ (2.16) строится одновременно с АЧХ (2.15) или ЛАЧХ (2.17) на единой шкале частот; именно соотношение амплитудной и фазовой характеристик позволяет выявить ряд важных свойств СУ.

Если известна ПФ W(s) отдельного звена или всей СУ, то частотный оператор получается простой заменой переменной

. (2.18)

Так как ПФ является отношением двух полиномов комплексного аргумента s, то при подстановке значения частоты четные степени полиномов дают вещественные части, а нечетные степени – мнимые части ЧХ. Избавлением от иррациональности в знаменателе ПФ могут быть выделены вещественная и мнимая части ЧХ, а затем, в соответствии с (2.15), (2.17) и (2.16), модульR(), логарифмический модульL() и фаза().