Главная страница
Навигация по странице:

  • Решение (способ 2, инверсия и преобразование)

  • Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов): пп. 1-5 такие же, как и в первом способе решения если рассматривать все значения x

  • Основные понятия математической логики


    Скачать 2.32 Mb.
    НазваниеОсновные понятия математической логики
    Дата02.02.2022
    Размер2.32 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаege15.doc
    ТипЗакон
    #349239
    страница21 из 50
    1   ...   17   18   19   20   21   22   23   24   ...   50

    Ещё пример задания:


    Р-04. На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 25], Q = [15, 30] и R=[25,40]. Выберите такой отрезок A, что формула

    ( (xQ) → (xR) ) /\ (xA) /\ (xP)

    тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

    1) [0, 15] 2) [10, 40] 3) [25, 35] 4)[15, 25]

    Решение (способ 1):

    1. три условия связаны с помощью операции /\ (логическое «И»), поэтому для того, чтобы выражение было тождественно равно нулю, для каждого значения x по крайней мере одно из них должно был ложно

    2. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

    A: x А, P: x P, Q: x Q, R: x R

    1. учтем, что в формуле дважды используется знак  («не принадлежит»), поэтому при переходе к более простым обозначениям получаем:



    1. представим импликацию через операции «ИЛИ» и «НЕ»: , так что получаем

    2. роль сомножителя A состоит в том, чтобы обнулить выражение везде, где произведение равно 1; поэтому для этих значений x выражение A должно быть равно нулю, а для остальных x его значение не играет роли

    3. область истинности выражения по закону де Моргана совпадает с областью истинности выражения , то есть это область вне общей части отрезков Q и R (она показана жёлтым цветом на рисунке):



    1. теперь умножим это выражение на (ему соответствует область вне отрезка [10,25]), построив область ; эта область, где одновременно истинны и , выделена фиолетовым цветом:



    1. как следует из п. 4, в фиолетовой области на предыдущем рисунке выражение A должно быть обязательно равно 0, и только внутри отрезка [10,30] может быть истинно

    2. таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30]

    3. этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4)

    4. Ответ: 4.

    Решение (способ 2, инверсия и преобразование):

    1. пп. 1-4 такие же, как и в первом способе

    2. выражение тождественно ложно тогда и только тогда, когда обратное ему, , тождественно истинно; таким образом, если выполнить инверсию для , мы сведём задачу к задаче из демо-варианта ЕГЭ-2013, разобранной выше

    3. имеем, используя законы де Моргана:



    1. выражение истинно на общей части (пересечении) отрезков Q и R, то есть, на отрезке [25,30]

    2. добавляя к этому диапазону отрезок P, получим отрезок [10,30], где истинно выражение



    1. остальную часть числовой оси (при x меньше 10 и x больше 30) должно перекрыть выражение , то есть должно быть ложно вне отрезка [10,30]

    2. таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30]

    3. этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4)

    4. Ответ: 4.

    Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

    1. пп. 1-5 такие же, как и в первом способе решения

    2. если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков

    3. эти точки (10,15,25, 30 и 40) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения

    x

    P



    Q



    R







    x < 10

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    10 < x < 15

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    15 < x < 25

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    25 < x < 30

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    30 < x < 40

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    x > 40

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

    1. по условию выражение должно быть равно 0 при любых значениях x, то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение для каждого интервала:

    x







    x < 10

    1

    0

    0

    10 < x < 15

    0

    любое

    0

    15 < x < 25

    0

    любое

    0

    25 < x < 30

    0

    любое

    0

    30 < x < 40

    1

    0

    0

    x > 40

    1

    0

    0

    1. таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30]

    2. этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4)

    3. Ответ: 4.
    1   ...   17   18   19   20   21   22   23   24   ...   50


    написать администратору сайта