Основные понятия математической логики

• Название: Основные понятия математической логики
• Дата: 02.02.2022
• Размер: 2.32 Mb.
• Имя файла: ege15.doc
• Тип: Закон; #349239
• страница: 19 из 50

Ещё пример задания:

Р-06. На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 10] и Q = [6, 14]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [0, 3] 2) [3, 11] 3) [11, 15] 4)[15, 17]

Решение:

1. 
   два условия связаны с помощью операции \/ («ИЛИ»), поэтому должно выполняться хотя бы одно из них
   
2. 
   для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
   

A: x  А, P: x  P, Q: x  Q

3. 
   тогда получаем, переходя к более простым обозначениям:
   

Z = (A→P) + Q

4. 
   представим импликацию A → P через операции «ИЛИ» и «НЕ»: , так что получаем
   
5. 
   это значит, что для тождественной истинности выражения Z нужно, чтобы для любого x было выполнено одно из условий: , P, Q; из всех этих выражений нам неизвестно только
   
6. 
   посмотрим, какие интервалы перекрываются условиямиP иQ:
   

7. 
   видим, что отрезок [2,14] перекрыт, поэтому выражение должно перекрывать оставшуюся часть; таким образом, должно быть истинно на интервалах (– ,2) и (14,) и, соответственно, выражение A (без инверсии) может быть истинно только внутри отрезка [2,14]
   
8. 
   из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2) находится целиком внутри отрезка [2,14], это и есть правильный ответ
   
9. 
   Ответ: 2.
   

Решение (вариант 2, А.Н. Евтеев):

1. 
   пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения
   
2. 
   полученное после преобразований выражение должно быть истинно при любом x
   
3. 
   логическая сумма истинна во всех случаях кроме одного: если все слагаемые ложны, следовательно выражение ложно только когда A = 1, P = 0 и Q = 0
   
4. 
   поэтому если область истинности A выйдет за пределы отрезка [2,14], где одновременно ложны P и Q, то будет ложно
   
5. 
   это значит, что A может быть истинно только внутри отрезка [2,14]
   
6. 
   из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2) находится целиком внутри отрезка [2,14], это и есть правильный ответ
   
7. 
   Ответ: 2.
   

Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

1. 
   пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения
   
2. 
   если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков
   
3. 
   эти точки (2,6,10 и 14) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения
   

x	P	Q
x < 2	0	0	0
2 < x < 6	1	0	1
6 < x < 10	1	1	1
10 < x < 14	0	1	1
x > 14	0	0	0

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

4. 
   по условию выражение должно быть равно 1 при любых значениях x, то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение (и соответствующее значение ) для каждого интервала:
   

x	P	Q
x < 2	0	0	0	1	0	1
2 < x < 6	1	0	1	любое	любое	1
6 < x < 10	1	1	1	любое	любое	1
10 < x < 14	0	1	1	любое	любое	1
x > 14	0	0	0	1	0	1

5. 
   таким образом, значение должно быть равно 0 вне отрезка [2,14]; из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2)
   
6. 
   Ответ: 2.