Основные понятия математической логики

• Название: Основные понятия математической логики
• Дата: 02.02.2022
• Размер: 2.32 Mb.
• Имя файла: ege15.doc
• Тип: Закон; #349239
• страница: 24 из 50

Ещё пример задания:

Р-01. Какое из приведённых имен удовлетворяет логическому условию:
(первая буква согласная → вторая буква согласная) /\ (предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная)?

1) КРИСТИНА 2) МАКСИМ 3) СТЕПАН 4) МАРИЯ

Решение:

1. 
   два условия связаны с помощью операции /\ («И»), поэтому должны выполняться одновременно
   
2. 
   импликация ложна, если ее первая часть («посылка») истинна, а вторая («следствие») – ложна
   
3. 
   первое условие «первая буква согласная → вторая буква согласная» ложно тогда, когда первая буква согласная, а вторая – гласная, то есть для ответов 2 и 4
   
4. 
   второе условие «предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная» ложно тогда, когда предпоследняя буква гласная, а последняя – согласная, то есть, для ответа 3
   
5. 
   таким образом, для варианта 1 (КРИСТИНА) оба промежуточных условия и исходное условие в целом истинны
   
6. 
   ответ: 1.
   

Ещё пример задания:

Р-00. Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬((X > 2)→(X > 3))?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение (вариант 1, прямая подстановка):

1. 
   определим порядок действий: сначала вычисляются результаты отношений в скобках, затем выполняется импликация (поскольку есть «большие» скобки), затем – отрицание (операция «НЕ») для выражения в больших скобках
   
2. 
   выполняем операции для всех приведенных возможных ответов (1 обозначает истинное условие, 0 – ложное); сначала определяем результаты сравнения в двух внутренних скобках:
   

   X	X > 2	X > 3	(X > 2)→(X > 3)	¬((X > 2)→(X > 3))
   1	0	0
   2	0	0
   3	1	0
   4	1	1

3. 
   по таблице истинности операции «импликация» находим третий столбец (значение выражения в больших скобках), применив операцию «импликация» к значениям второго и третьего столбцов (в каждой строке):
   

   X	X > 2	X > 3	(X > 2)→(X > 3)	¬((X > 2)→(X > 3))
   1	0	0	1
   2	0	0	1
   3	1	0	0
   4	1	1	1

4. 
   значение выражения равно инверсии третьего столбца (меняем 1 на 0 и наоборот):
   

   X	X > 2	X > 3	(X > 2)→(X > 3)	¬((X > 2)→(X > 3))
   1	0	0	1	0
   2	0	0	1	0
   3	1	0	0	1
   4	1	1	1	0

5. 
   таким образом, ответ – 3.
   

Возможные ловушки и проблемы: можно «забыть» отрицание (помните, что правильный ответ – всего один!) можно перепутать порядок операций (скобки, «НЕ», «И», «ИЛИ», «импликация») нужно помнить таблицу истинности операции «импликация», которую очень любят составители тестов4 этот метод проверяет только заданные числа и не дает общего решения, то есть не определяет все множество значений X, при которых выражение истинно

Решение (вариант 2, упрощение выражения):

1. 
   обозначим простые высказывания буквами:
   

A = X > 2, B = X > 3

2. 
   тогда можно записать все выражение в виде
   

¬(A → B) или

3. 
   выразим импликацию через «ИЛИ» и «НЕ» (см. выше):
   

¬(A → B)= ¬(¬A  B) или

4. 
   раскрывая по формуле де Моргана операцию «НЕ» для всего выражения, получаем
   

¬(¬A  B)= A  ¬B или

5. 
   таким образом, данное выражение истинно только тогда, когда A истинно (X > 2), а B – ложно (X ≤ 3), то есть для всех X, таких что 2 < X ≤ 3
   
6. 
   из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,
   
7. 
   таким образом, ответ – 3.
   

Возможные проблемы: нужно помнить законы логики (например, формулы де Моргана) при использовании формул де Моргана нужно не забыть заменить «И» на «ИЛИ» и наоборот нужно не забыть, что инверсией (отрицанием) для выражения X > 3 является X ≤ 3, а не X < 3

Решение (вариант 3, использование свойств импликации):

1. 
   обозначим простые высказывания буквами:
   

A = X > 2, B = X > 3

2. 
   тогда исходное выражение можно переписать в виде ¬(A→B)=1 или A→B=0
   
3. 
   импликация A→B ложна в одном единственном случае, когда A=1 и B=0; поэтому заданное выражение истинно для всех X, таких что X > 2 и X ≤ 3
   
4. 
   из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,
   
5. 
   таким образом, ответ – 3.
   

Выводы: в данном случае, наверное, проще третий вариант решения, однако он основан на том, что импликация ложна только для одной комбинации исходных данных; не всегда этот прием применим второй и третий варианты позволяют не только проверить заданные значения, но и получить общее решение – все множество X, для которых выражение истинно; это более красиво для человека, обладающего математическим складом ума.