Подземная гидромеханика

• Название: Подземная гидромеханика
• Дата: 30.11.2022
• Размер: 3.56 Mb.
• Имя файла: Posobie_PGM.doc
• Тип: Учебное пособие; #820975
• страница: 15 из 17

7.3.2. Взаимодействие скважин при нестационарных процессах
Метод суперпозиции фильтрационных потоков используется и в задачах неустановившихся процессов при упругом режиме.

Группа скважин. Так, если в пласте действует группа скважин, в числе которых имеются как эксплуатационные, так и нагнетательные скважины, понижение давления в какой-либо точке пласта р определяется сложением понижений давлений, создаваемых в этой точке отдельными источниками и стоками, изображающими скважины р_j. Следовательно,

, (7.29)

где n –число скважин; Q_j – объемный дебит стока (+) или источника(-) за номером j; r_j– расстояние данной точки пласта от скважины за номером j.

Так как аргумент интегрально-показательной функции мал (меньше 1), то зависимость (7.29) можно переписать в виде
. (7.30)
Данная зависимость используется для расчета параметров пласта путем обработки кривой восстановления давления в случае скважины, эксплуатирующейся в течение длительного времени и остановленной для исследования.
Периодически работающая скважина. В неограниченном пласте останавливается скважина, эксплуатирующаяся с постоянным дебитом Q в течении времени Т, сравнимого со временем проведения исследований. Понижение давления р^/ в момент времени Т можно найти по формуле (7.23). С момента остановки давление в ней и окружающей области пласта повышается, т.е. с данного момента в одном и том же месте пласта как бы действуют совместно и непрерывно эксплуатационная (сток) и нагнетательная (источник) скважины. При этом источник имеет тот же дебит Q. Обозначим повышение давления за счет работы источника через р^//. Таким образом, начиная с момента времени Т, на основании формулы (7.23) имеем:

, (7.31)

.

Результирующее понижение давления р в любой точке пласта находится по методу суперпозиции

. (7.32)

Обозначая через р_с давление на забое скважины после её остановки, получаем

. (7.33)

Зависимость (7.33) используется при гидродинамических исследованиях скважин, работающих не продолжительное время, методом построения кривой восстановления давления.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Основные виды задач по заданию режима работы скважин.

2. Сущность метода суперпозиции.

3. Потенциал сложного потока.

4. Уравнения эквипотенциальных поверхностей.

5. Метод отображения источников и стоков.

6. Фильтрационный поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной (выражение для потенциала, изобара, поле течения).

7. Фильтрационный поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной (выражение для массового дебита, модуль массовой скорости, время и площадь обводнения).

8. Приток к группе скважин с удаленным контуром питания.

9. Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания.

10. Приток к скважине, расположенной вблизи непроницаемой прямолинейной границы.

11. Приток к скважине в пласте с произвольным контуром питания.

12. Приток к скважинам кольцевой батареи (дебит скважины и батареи). Что такое – эксцентрично расположенная скважина?

13. Приток к скважинам кольцевой батареи (поле течения, оценки эффекта взаимодействия).

14. Приток к прямолинейной батарее скважин (конечное число скважин). В чем отличие формул Голосова для четного и нечетного числа скважин?

15. Приток к прямолинейной батарее скважин (бесконечное число скважин).

16. Метод Борисова (сущность, внутреннее и внешнее сопротивления).

17. Интерференция несовершенных скважин.

18. Взаимодействие скважин в анизотропном пласте (батарея расположена во внутренней неоднородности кругового пласта).

19. Взаимодействие скважин в неоднородно проницаемом и анизотропном пластах (батарея расположена во внешней неоднородности кругового пласта).

20. Периодически работающая скважина. Уравнение КВД.

21. Влияние радиуса скважины на дебит при взаимодействии скважин.

8. РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
8.1.Общие положения теории функций комплексного переменного


Рис. 8.1. Ортогональность изобар и линий тока


Круг задач, рассмотренных в предыдущем разделе, может быть значительно расширен, если к решениям применить аппарат теории функций комплексного переменного. При этом оказывается возможным исследовать отдельные вопросы плоского потока более полно. Рассмотрим связь между задачами плоского фильтрационного потока и теорией функций комплексного переменного.

Совместим с основной плоскостью течения плоскость комплексного переменного z = х + iy.Каждое комплексное число z изображается в этой плоскости точкой М (х, у) (рис. 8.1.). Функцией комплексного переменного z будет комплексное переменное F(z), если указан закон, позволяющий получить значение F(z) no заданному значению z.

Отделив в функции F(z) действительную часть от мнимой, можем записать

F(z) = F (х + iy) = (х, у) + i (х, у), (8.1)

где  (х, у) и  (х, у) -некоторые функции действительных переменных х и у; i– мнимая единица.

Задать функцию комплексного переменного - значит задать соответствие между парами чисел (х, у) и (, ). Функция F (z) является аналитической в точке z_m,то есть имеющей производную во всех точках некоторой окрестности z_m.

В теории функций комплексного переменного имеются следующие положения:

8. Каждые две кривые, из которых одна принадлежит семейству кривых, определяемых уравнением  (х, у) = С, а другая - семейству кривых (х, у) = С^* (С и С^* – постоянные), пересекаются под прямым углом, т. е. два семейства кривых образуют ортогональную сетку в основной плоскости течения.

2. Функции  (х, у) и (х, у) удовлетворяют уравнению Лапласа, то есть

; (8.2)

. (8.3)

Положения 1 и 2 справедливы, если выполняются такие условия:

. (8.4)

Условия (8.4) называются уравнениями Коши – Римана.
8.2. Характеристическая функция, потенциал и функция тока
Представим себе, что имеем плоский фильтрационный поток любой жидкости или газа, подчиняющийся закону Дарси. При рассмотрении одномерных течений было показано, что если фильтрация протекает по закону Дарси, существует потенциальная функция , удовлетворяющая уравнению Лапласа. Но если существует потенциальная функция , то наряду с ней существует функция , также удовлетворяющая уравнению Лапласа. Зная функцию , всегда можно определить функцию  путем интегрирования уравнения (8.4).

Потенциальная функция течения определяется зависимостью основных параметров жидкости (или газа) и пористой среды от давления. Допустим, что эта зависимость однозначная; тогда можно заключить, что в основной плоскости течения линии равного давления (изобары) совпадают с эквипотенциальными линиями  (х, у) = С. Но кривые (х, у)=С^* взаимно ортогональны с эквипотенциальными линиями. Следовательно, направление векторов скорости фильтрации будет совпадать в любой данной точке М с направлением касательной к кривой семейства (х, у)=С^*, то есть кривые этого семейства можно считать линиями тока. (При установившемся движении линии тока и траектории частиц жидкости совпадают). Функция (х, у) называется функцией тока.

Потенциальную функцию течения  и функцию тока  всегда можно принять за действительную и мнимую части некоторой функции F(z) комплексного переменного z(8.1).

Функция F (z) называется характеристической функцией течения (комплексным потенциалом).

Исследование любого плоского течения жидкости или газа в пористой среде должно начинаться с определения характеристической функции, соответствующей данной задаче. Найдя ее, мы можем считать задачу решенной. В самом деле, отделив в характеристической функции действительную часть от мнимой, т. е. представив ее в виде, показанном формулой (8.1), можно определить потенциальную функцию  (х, у) и функцию тока  (х, у). В результате можно представить полную картину потока: принимая различные значения функции , получим уравнения семейства эквипотенциальных линий  (х, у) = С, а придавая различные значения , найдем уравнения семейства линий тока (х, у) = С^*. По эквипотенциальным линиям определяется распределение давлений в пласте, по линиям тока – направление движения и характер поля скоростей фильтрации.

Проекции вектора массовой скорости фильтрации на оси координат можно записать в виде:

(8.5)
Примечание. Функции тока может быть дан следующий смысл. Фиксируем некоторую линию тока (х, у) = 0 и вообразим канал, ограниченный цилиндрическими поверхностями с образующими, перпендикулярными плоскости течения, проведенными через линию тока  = 0 и другую линию тока (х, у) = С^*и двумя плоскостями – плоскостью движения и ей параллельной, отстоящей от первой плоскости на расстояние, равное единице (рис. 8.2).



Рис. 8.2. Распределение потока между двумя параллельными плоскостями 1 и 2
При рассмотрении двух произвольных поперечных сечения канала ω₁ и ω₂ видно, что количество массы жидкости, протекающей через эти сечения в единицу времени (расход) будет одно и то же; внутри такого канала количество массы жидкости при установившемся движении измениться не может; через боковые стенки канала, образованные линиями тока  = 0 и (х, у) = С^*₁, и через плоскости движения жидкость не протекает, следовательно, втекает жидкости в единицу времени через ω₁ столько, сколько вытекает через ω₂.

Функцией тока можно назвать функцию, принимающую на линии тока (х, у) = С^* значение, равное массе жидкости (газа), протекающей в единицу времени через поперечное сечение канала, построенного на линиях  = 0 и (х, у) = С^*₁ . Функция тока определена с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора начальной линии тока = 0.

Массовую скорость фильтрации можно очень просто определить в любой точке пласта, найдя производную от характеристической функции по комплексному аргументу z. Чтобы это показать, составим полный дифференциал от характеристической функции F (z):

(8.6)



Вынося во второй скобке множитель iза знак скобки и воспользовавшись затем уравнениями Коши – Римана (8.4) получим:



т.е. . (8.7)
Учитывая (8.5), перепишем (8.7) в виде

. (8.8)

Из (8.7) и (8.8) следует, что производная dF/dzесть комплексное число, модуль которого равен модулю массовой скорости фильтрации:

. (8.9)

Таким образом, модуль производной от характеристической функции течения равен модулю массовой скорости фильтрации.

Для однородной несжимаемой жидкости функция тока будет иметь значение объемного (а не массового) расхода жидкости через поперечное сечение канала, построенного на линиях тока =0 и =С^*. Модуль же производной от характеристической функции течения будет равен скорости (а не массовой скорости) фильтрации жидкости u.
8.3. Характеристические функции некоторых основных типов плоского потока
Исследование плоского потока методом комплексного переменного начнём с того, какие типы плоского потока соответствуют простейшим аналитическим функциям.

Исследуем течения, заданные характеристическими функциями вида

F(z) = Az и F(z) = Alnz.

I. Пусть характеристическая функция имеет вид F(z) = Az,

где z = x +iy, a A - любое комплексное или действительное число. Пусть, например, А = А₁+ iA₂.

Отделим в F (z) действительную часть от мнимой:

.

Следовательно, потенциальная функция  и функция тока  выразятся следующим образом:

(8.10)

Приравнивая полученное выражение потенциальной функции  постоянной С, найдем уравнение семейства эквипотенциальных линий:

А₁х – А₂y = С. (8.11)

Из (8.11) следует, что эквипотенциальные линии - прямые с угловым коэффициентом A₁/А₂.

Уравнение семейства линий тока найдем, приравняв выражение для  (8.10) постоянной С^*:

А₁у + А₂х = С^**. (8.12)



Рис. 8.3. Сетка, изображающая прямолинейно-параллельный поток в направлении, показанном стрелками.
Отсюда следует, что линии тока – прямые с угловым коэффициентом (-A₂А₁).

Таким образом, заданная характеристическая функция соответствует прямолинейно-параллельному потоку. Фильтрационное поле представлено ортогональной прямолинейной сеткой, изображенной на рис. 8.3.
Чтобы определить массовую скорость фильтрации, вычислим производную от F (z) no z. Согласно формулам (8.8) и (8.9).



При А₁=0–поток параллелен оси 0у, а при А₂=0–параллелен оси 0х.


191

II. а) Пусть характеристическая функция задана в виде:

F(z) = Alnz, (8.13)

где А – некоторое действительное число.




Рис. 8.4. Карта эквипотенциальных линий и линий тока
Представим комплексный аргумент z с помощью полярных коoординат так ( рис. 8.4):

z = х +iy =

=r (cos θ + i sin θ) = re^iθ, (8.14)

где г – радиус - вектор точки; θ – полярный угол.

Подставляя значение z в (8.13) и отделяя действительную часть от мнимой, получим:

F(z) = A In (re^iθ) = A In r + iAθ.

Значит

=Alnr; =Aθ. (8.15)

Приравнивая эти значения  и  постоянным, найдем уравнения эквипотенциальных линий и линий тока в следующем виде:

• 
  для эквипотенциальных линий – ν=const (8.16)
  
• 
  для линии тока – θ = const. (8.17)
  

Очевидно, эквипотенциальные линии будут концентрическими окружностями с центром в начале координат (рис. 8.4). Линии тока – прямые, проходящие через начало координат.

В данном случае имеется плоскорадиальный (сходящийся или расходящийся) поток. Центр скважины (сток или источник) находится в начале координат.

Найдем массовую скорость фильтрации, для чего вычислим производную от функции F (8.13) по z:

.

Эта производная – комплексное переменное, модуль которого равен массовой скорости и представляет собой множитель перед е^-iθ.Следовательно , (8.18)

то есть массовая скорость фильтрации обратно пропорциональна расстоянию от скважины. (Точка г = 0 является особой точкой плоскости; здесь и функция F (z) уже не будет аналитической). Для плоскорадиального потока имеем:

, (8.19)

где G = const – массовый дебит; h– мощность пласта.

Приравнивая правые части (8.18) и (8.19), определим коэффициент А:

. (8.20)

Подставив это значение А в формулу (8.13), получим

, (8.21)

где положительный дебит Gсоответствует случаю стока (эксплуатационной скважине), а отрицательный - случаю источника (нагнетательной скважине).

Таким образом, функция (8.21) характеризует плоскорадиальное движение жидкости или газа в однородном горизонтальном пласте неограниченной протяженности. Скважина предполагается гидродинамически совершенной.