прикладная математика практикум. Прикладная математика_Практикум. Практическая работа 1 Первичная статистическая обработка экспериментальных данных Пример
 Скачать 1.37 Mb.
|
|
Задание Задание 1. Владелец небольшого магазина вначале каждого рабочего дня закупает для реализации некий скоропортящийся продукт по цене a рублей за единицу. Цена реализации этого продукта – b рублей за единицу. Из наблюдений известно, что спрос на этот продукт за день может быть равен 1,2,3 или 4 единицы. Если продукт за день не продан, то в конце дня его всегда покупают по цене c рублей за единицу. Пользуясь критериями Севиджа, Вальда, Гурвица и максимизирую ожидаемый доход, определить, сколько единиц этого продукта должен закупать владелец каждый день. Чему равна ожидаемая стоимость полной информации? Таблица 6.5
Таблица 6.6
Задание 2. Компания рассматривает вопрос о строительстве завода. Возможны три варианта действий а) Построить большой завод стоимостью М1 тысяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос (годовой доход в размере тысяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятностью и низкий спрос ( ежегодные убытки тысяч долларов) с вероятностью . б) Построить маленький завод стоимостью М2 тысяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос (годовой доход в размере тысяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятностью и низкий спрос (ежегодные убытки тысяч долларов) с вероятностью . в) Отложить строительство завода на один год для сбора дополнительной информации, которая может быть позитивной или негативной с вероятностью и соответственно. В случае позитивной информации можно построить заводы по указанным выше расценкам, вероятности большого и низкого спроса меняются на и соответственно. Доходы на последующие четыре года остаются прежними. В случае негативной информации компания заводы строить не будет. Нарисовать дерево решений. Определить наиболее эффективную последовательность действий и её стоимостную оценку. Таблица 6.7
Задание 3. Предприниматель провел анализ, связанный с открытием магазина. Если он откроет большой магазин, то при благоприятном состоянии рынка получит прибыль 60 млн. рублей, при неблагоприятном – понесет убытки 40 млн. руб. Маленький магазин принесет ему 0 млн. рублей прибыли при благоприятном состоянии рынка и 10 млн. рублей убытков при неблагоприятном. Возможность благоприятного и неблагоприятного состояния рынка он оценивает одинаково. Исследование рынка, которое может провести специалист, обойдется предпринимателю в 5 млн. рублей. Специалист считает, что с вероятностью 0,6 состояние рынка окажется благоприятным. В тоже время при положительном заключении состояние рынка окажется благоприятным лишь с вероятностью 0,9. При отрицательном заключении с вероятностью 0,12 состояние рынка может оказаться благоприятным. Используйте дерево решений для того, чтобы помочь предпринимателю принять решение. Следует ли заказать проведение обследования состояния рынка? Следует ли открыть большой магазин? Какова ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения? Практическая работа № 7 7.а) Задача об изгибе балки на упругом основании методом конечных элементов Пусть задан функционал вида:
где  – симметричная  положительно определенная матрица, т.е.  при всех  ). Свойство положительной определенности соответствует положительности всех собственных чисел матрицы . Найти  .Условие минимума:
т.е. существует взаимно однозначное соответствие между задачей о минимуме функционала ( 7.1) и системой линейных уравнений Ax = b. 1. Общая постановка задачи об изгибе балки на упругом основании(модель Винклера). Суть модели Винклера состоит в предположении, что реакция основания  в произвольной точке балки x пропорциональна ее прогибу в этой точке:  . Поэтому графически такую модель можно представить пружинками, не связанными друг с другом, каждая из которых имеет жесткость, пропорциональную прогибу балки в этой точке. Рис. 7.1. Расчетная схема балки. Напряженно-деформируемое состояние такой балки соответствует решению задачи о минимуме следующего функционала (функционала энергии): Функция прогибов балки y(x), вызванных силами P, распределенной нагрузкой q и изгибающими моментами M, является условием минимума функционала энергии балки (т.е. принесет минимальное значение этому функционалу):
где  – жесткость балки при изгибе (изгибная жесткость); – коэффициент упругости основания (коэффициент постели); ,  ,  ,  ,  – заданные нагрузки.Замечание. Из курса вариационного исчисления следует, что решение такой задачи совпадает с решением следующей краевой задачи:
что соответствует исходной постановке, обычно формулируемой в курсе «Сопротивление материалов». 2. Метод конечных элементов (МКЭ). Разобьем отрезок  , занимаемый балкой, на (  ) частей (элементов);  – координаты точек разбиения,  – номер точки,  – длина -го элемента. Рис. 7.2. Конечно-элементная разбивка. В каждой -ой точке разбиения примем в качестве неизвестных  и  ,  , т.е. всего  -неизвестных.При этом
где  здесь  – символ Кронекера.2.1. Локальные построения на i-ом элементе. Переходим к локальным координатам:  ,  . При этом имеют место следующие соотношения: ,  ,  .Представим неизвестную функцию прогиба  в виде кубической параболы
Для определения 4-х параметров  ,  ,  ,  воспользуемся 4-мя узловыми значениями: ,   , ,   .Поскольку   , получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно параметров , , , :
Введем следующие обозначения   ,   ,   ,   .Тогда система уравнений (7) может быть представлена в матрично-векторном виде:
Следовательно
Легко проверить, что
Обозначим  , тогда      – скалярное произведение векторов  и  . Рассмотрим вычисление производных.    ,    , где   Т.е.
Далее
где  
где  
2.2. Построение локальной матрицы жесткости на i-ом элементе. С учетом представленных выше локальных построений вычислим квадратичную часть функционала  :
Рассмотрим общий случай  ,      ,где     Следует заметить, что   – симметричная матрица. Тогда    ,где
При 
При 
Таким образом   , где
– локальная матрица жесткости 2.3. Построение локального вектора нагрузки на i-ом элементе. С учетом представленных выше локальных построений вычислим линейную часть функционала :
Рассмотрим в общем случае  , .Полагаем, что  , например,  . Тогда        , где   
При
Таким образом,
, где   – локальный вектор нагрузки2.4. Построение глобальной матрицы жесткости и вектора нагрузки разрешающей системы. Общий функционал, представляющий сумму функционалов по элементам, с учетом представленных выше локальных построений примет вид
где   – вектор узловых неизвестных.Объединяя коэффициенты локальных матриц жесткости и компоненты локальных векторов нагрузок, относящихся к общим узловым значениям, получим
где матрица  называется глобальной матрицей жесткости, а вектор  – глобальным вектором нагрузки. Рис. 7.3. К формированию глобальной матрицы жесткости. Замечания к рисунку 7.3. 1.  – элементы локальной матрицы жесткости на  -ом элементе: ,  ;2. При   ;3. При   , ;4. При   ;5. Представленный фрагмент матрицы отображает коэффициенты при узловых неизвестных  и частично  .Схематично формирование элементов вектора представлено на рисунке 7.4. Рис. 7.4. К формированию глобального вектора нагрузки. Замечания к рисунку 7.4. 1.  – элементы локального вектора нагрузки на -ом элементе: ,  ;2. При  ;3. При  ;4. Представленный фрагмент вектора соответствует в линейной части функционала узловым неизвестным  .2.5. Учет закреплений. Пусть для некоторого узла с номером  ,  задано условие
Этому номеру соответствует порядковый номер неизвестной  :
Тогда для выполнения условия (26) следует приравнять нулю строку и столбец глобальной матрицы, имеющих номер  , на главной диагонали вставить единицу, кроме того, обнулить -ю компоненту глобального вектора нагрузки:
Если задано условие
Тогда порядковый номер неизвестной  имеет вид:
Для выполнения условия (7.29) требуется произвести аналогичную предыдущему случаю коррекцию глобальной матрицы и глобального вектора нагрузки (см. формулы (7.28)), где порядковый номер неизвестной представлен формулой (7.30). 1.6. Учет краевых условий исходной постановки.
Как следует из вариационной постановки (7.3) или (7.5), т.е. поперечные силы  и  относятся к линейной части функционала и соответствуют узловым неизвестным  и  , изгибающие моменты  и  также относятся к линейной части функционала и соответствуют узловым неизвестным  и  , следовательно, для их учета требуется коррекция глобального вектора нагрузки в виде:
Таким образом, решение исходной задачи методом конечных элементов сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых неизвестных:
Задание. 1. Построить локальные векторы нагрузки. 2. Построить локальные матрицы жесткости. 3. Получить численное решение и построить графики при  .Варианты задания.  – жесткость балки; – коэффициент упругости основания (коэффициент постели); – внешняя нагрузка; ,  – сосредоточенные изгибающие моменты на краях балки; ,  – сосредоточенные силы на краях балки; – длина балки.При этом    – предпоследняя цифра номера зачетной книжки;  – последняя цифра номера зачетной книжки. |
, где 
и 
, 
,
, 
, 
, 
.
,