Проектами

• Название: Проектами
• Дата: 20.04.2023
• Размер: 1.09 Mb.
• Имя файла: metodika_osvoennogo_obema_v_operativnom_upravlenii_proektami.pdf
• Тип: Реферат; #1077910
• страница: 9 из 11

А.2.8. Нечеткая информационная функция
P

(z, y) 1- нормальна [82], то есть:
∀ y ∈ A
0
sup
A
z
∈
P

(z, y) = 1 и
∀ z ∈ A
0
∃ y ∈ A:
P

(z, y) = 1.
Так как функции полезности участников проекта (центра и
АЭ):
Φ(σ(z), z) и f(σ(z), z) = σ(z) – c(z) зависят от неопределенных величин, то будем считать, что они выбирают свои стратегии,
недоминируемые по индуцированному нечеткому отношению предпочтения (НОП) [82]. Множество максимально недоминируе- мых (по НОП, индуцированному на множестве A функцией полез- ности АЭ f(z) и нечеткой информационной функцией
P

(z, y))
обозначим
)
),
(

(
0
A
R
P
A
σ
. Алгоритм построения этого множества описан в [75, 82]. Таким образом, задача управления имеет вид:
(24)




∈
→
Φ
−
∈
∈
)
),
(

(
min
)
),
(
(
0 0
*
*
]
;
0
[
,
*
*
A
R
P
y
y
y
A
T
T
y
M
σ
σ
σ
Обозначим Q(z) = {y
∈ A |
P

(z, y) = 1}. Решение задачи (24)
дается следующей теоремой.
Теорема 2.6. Оптимальное решение
σ
*
(z) задачи (24) имеет вид:
(25)
σ
*
(z) =



≠
=
*
*
*
,
0
),
(
z
z
z
z
z
c
,
где оптимальное значение результата деятельности АЭ z
*
в рамках гипотезы благожелательности определяется следующим выражени- ем:
(26) z
*
= arg
0
min
A
z
∈
{
)
(
min
z
Q
y
∈
[c(z) +
χ(T – T
0
– y)]}.
Если гипотеза благожелательности не выполнена, то опти- мальное значение результата деятельности АЭ z
*
определяется следующим выражением:
(27) z
*
= arg
0
min
A
z
∈
{
)
(
max
z
Q
y
∈
[c(z) +
χ(T – T
0
– y)]}.
Множество максимально недоминируемых (по НОП, индуци- рованному на множестве A целевой функцией АЭ f(
σ, z) и нечеткой информационной функцией
P

(z, y)) действий АЭ описывается

92
достаточно сложно (см. [75, 82]), и использование такого описания для решения задачи стимулирования затруднительно. Поэтому в теории активных систем (по аналогии с тем как это делалось в теории принятия решений [82]) был предложен подход, заключаю- щийся в сведении задачи анализа зависимости множества недоми- нируемых альтернатив от системы стимулирования к анализу зависимости решения задачи четкого математического программи- рования (ЧМП) от системы стимулирования [75, 79]. Более кон- кретно, было доказано, что, если выполнено предположение А.2.8,
то действие y
0
∈ A является четко недоминируемым [82] тогда и только тогда, когда существует результат деятельности z
0
∈ A
0
,
такой, что пара (y
0
, z
0
) является решением следующей задачи ЧМП:
(28) f(
σ, z) → max,
P

(z, y) = 1, y
∈ A, z ∈ A
0
В соответствии с результатом теоремы 2.3 при использовании системы стимулирования (25) максимум целевой функции АЭ
достигается в точке z. Кроме того, (25) – минимальная (квазиком- пенсаторная) система стимулирования, реализующая этот результат деятельности. В соответствии с (28) множество Q(z)
⊆ A и только оно [78] будет множеством четко недоминируемых действий, то есть
)
)),
(
(

(
*
0
A
z
R
P
A
σ
= Q(z).
Значит АЭ выберет одно из четко недоминируемых при данной системе стимулирования действий. Осталось устранить неопреде- ленность относительно конкретного выбора АЭ. В рамках ГБ для этого используется минимум по множеству Q(z), при использова- нии МГР – максимум (см. выражения (26) и (27)), то есть на втором этапе (этапе согласованного планирования [19, 78]) центру остается решить задачу поиска оптимального реализуемого действия АЭ –
см., соответственно, выражения (26) и (27).
•
Отметим, что при предельном переходе к соответствующему детерминированному случаю (в котором
P

(z, y) =



≠
=
y
z
y
z
,
0
,
1
) из теоремы 2.6 следует, что оптимальным становится решение (5),
которое оптимально в соответствующей детерминированной зада- че.

93
Пример 6. Пусть
P

(z, y) =



∆
+
∆
−
∉
∆
+
∆
−
∈
)]
1
(
);
1
(
[
,
0
)]
1
(
);
1
(
[
,
1
y
y
z
y
y
z
, где
∆ ∈ [0; 1]
1
. Тогда Q(z) = [z -
∆; z + ∆]. Вычислим множество
Q(z) = [
∆
+
1
z
;
∆
−
1
z
]. Тогда оптимальное решение имеет вид:
z
*
= arg
0
min
A
z
∈
{
)
(
min
z
Q
y
∈
[c(z) +
χ(T - T
0
- y)]} =
= arg
0
min
A
z
∈
[c(z) -
χ(T - T
0
-
∆
+
1
z
)].
Получили скалярную задачу оптимизации. В случае линейных штрафов получаем, что оптимально решение (6), где
ξ(⋅) = c
’-1
(
∆
+
1 0
χ
).
Отметим, что полученное решение совпадает с решением, оп- тимальным в случае соответствующей интервальной неопределен- ности (см. теоремы 2.4а и 2.4б), то есть методы учета этих двух типов неопределенности согласованы.
При отсутствии неопределенности (
∆ = 0) получаем решение, в точности совпадающее с (5). Легко проверить, что с ростом неоп- ределенности (увеличением
∆ ∈ [0; 1]) эффективность стимулиро- вания не возрастает.
•
В случае интервальной и вероятностной неопределенности и симметричной информированности участников АС относительно времени завершения проекта устранение неопределенности произ- водится, соответственно, применением МГР и ожидаемых полезно- стей, то есть методами, исследованными достаточно подробно [79].
Рассматривать их адаптацию к частному случаю задачи оператив- ного управления временем завершения проекта мы не будем, по- этому сконцентрируем основное внимание на случае нечеткой неопределенности относительно времени завершения проекта,
который, практически, не исследован в литературе по управлению
АС в условиях неопределенности.
1
При данной функции принадлежности нечеткая неопределенность
может рассматриваться как интервальная неопределенность – см.
обсуждение совпадения соответствующих решений ниже.

94 2.2.5. Внешняя нечеткая неопределенность относительно времени завершения проекта
Предположим, что результат деятельности АЭ совпадает с его действием, однако относительно времени T завершения проекта имеется нечеткая информация:
µ
T
(t),
µ
T
: [0; +
∞) → [0; 1]. Задача оперативного управления заключается в выборе центром системы стимулирования, которая минимизировала бы его выплаты с уче- том имеющейся информации.
Воспользовавшись результатом теоремы 2.3, получаем, что минимальные затраты центра на стимулирование АЭ, побуждаю- щие последнего сократить продолжительность проекта на величину
y
≥ 0 равны c(y).
Четкая целевая функция центра равна:
Φ(y, T) = c(y) + χ(T – T
0
– y).
Обозначим Y(T) = Arg
A
y
∈
min
Φ(y, T). Множество Y(T) может рас- сматриваться как нечеткое отображение
µ
Y
(t, y): A
× A → [0; 1]
времени окончания проекта в действия АЭ, то есть:
(29)
µ
Y
(t, y) =




Φ
∉
Φ
∈
∈
∈
)
,
(
min
Arg
,
0
)
,
(
min
Arg
,
1
t
y
y
t
y
y
A
y
A
y
Образом нечеткого множества
µ
T
(t) при нечетком отображении
µ
Y
(t, y) в соответствии с принципом обобщения [82] будет нечеткое множество
µ(y) с функцией принадлежности
(30)
µ(y) =
0
sup
≥
t
min {
µ
T
(t);
µ
Y
(t, y)}.
Обозначим A
max
= Arg
A
y
∈
max
µ(y) – множество действий АЭ,
максимизирующих функцию принадлежности (30).
Оптимальным будем считать максимизирующее решение [82],
то есть любое действие из множества A
max
. Из вышесказанного следует справедливость следующей теоремы.
Теорема 2.7. Оптимальной в условиях нечеткой неопределен- ности относительно времени завершения проекта является сле- дующая система стимулирования:

95
(31)
σ
*
(y) =



∉
∈
max max
,
0
),
(
A
y
A
y
y
c
Доказательство теоремы 2.7 повторяет (с учетом выражений
(29)-(31)) доказательство теоремы 2.3 (см. также теорему 2.6 и ее доказательство) и не приводится.
В предельном (детерминированном) случае нечеткое множест- во
µ
T
(t) имеет вид
µ
T
(t) =



≠
=
T
t
T
t
,
0
,
1
, а множество
A
max
= Arg
A
y
∈
max
µ(y) = Arg
A
y
∈
min
Φ(y, T) соответствует (5).
Пример 7. Рисунки 12 и 13 являются графической иллюстраци- ей использования теоремы 2.7 для случая линейных штрафов.
•
Рис. 12. Нечеткое множество
µ
T
(t)
продолжительностей проекта
в примере 7
t
T
0
µ
T
(t)
Рис. 13. Образ нечеткого множества
µ
T
(t) в примере 7
T
0
+
ξ
µ(y)
T
0
ξ
y
*
(t)
t
y
0
2.3. Механизмы планирования
В разделе 2.2 рассмотрены механизмы стимулирования, побу- ждающие активные элементы сокращать продолжительность вы- полнения проекта в случае, когда последняя превышает директив- ные сроки. Анализ механизмов управления в условиях неопределенности свидетельствует, что с ростом информированно- сти управляющего органа эффективность оперативного управления не снижается. Выше были рассмотрены случаи интервальной,
вероятностной и нечеткой внешней неопределенности, то есть

96
неопределенности относительно результатов деятельности АЭ.
Кроме нее в системе может присутствовать внутренняя неопреде- ленность – недостаточная информированность центра о параметрах самих активных элементов.
В настоящем разделе рассматриваются механизмы управления в условиях внутренней неопределенности. В том числе, традицион- но в качестве одного из методов снижения неопределенности ис- пользуются механизмы с сообщением информации от более ин- формированных участников менее информированным. При их применении возникают две основные задачи – оценки эффективно- сти и исследования достоверности сообщаемой центру информа- ции. Обе эти задачи для случая сокращения продолжительности времени реализации проекта рассматриваются ниже.
2.3.1. Внутренняя интервальная неопределенность относительно возможностей АЭ
Предположим, что функция затрат c(y, r), удовлетворяющая при любом допустимом значении параметра r предположению
А.2.4, активного элемента зависит от неизвестного центру парамет- ра r
∈ [d; D], относительно которого центру известен лишь диапа- зон [d; D] его возможных значений (случай внутренней интерваль- ной неопределенности в соответствии с классификацией, введенной в [22, 79]). Рассмотрим задачу синтеза оптимальных управляющих воздействий.
Если, помимо множества возможных значений неопределенно- го параметра, центр не имеет никакой дополнительной информа- ции, то он вынужден применять принцип максимального гаранти- рованного результата (МГР) и решать затем соответствующую задачу стимулирования.
Запишем условия гарантированной реализуемости некоторого действия y
*
∈ A системой стимулирования σ ∈ M:
(1)
∀ y ∈ A ∀ r ∈ [d; D] σ(y
*
) – c(y
*
, r)
≥ σ(y) – c(y, r).
Положив
σ(y) = 0 ∀ y ≠ y
*
и используя А.2.4, оценим по (1) ми- нимальные затраты центра на стимулирование:
(2)
σ(y
*
)
≥
]
;
[
max
D
d
r
∈
c(y
*
, r).

97
Следовательно, решение задачи синтеза оптимальной системы стимулирования (по аналогии с теоремой 2.3) имеет вид:
(3)
σ
*
(y
*
, y) =




≠
=
∈
*
*
*
]
;
[
,
0
),
,
(
max
y
y
y
y
r
y
c
D
d
r
,
где оптимальное действие АЭ y
*
определяется следующим выраже- нием:
(4) y
*
= arg
]
,
0
[
0
min
T
T
y
−
∈
{
σ
*
(y) +
χ(T – T
0
- y)}.
Выше при рассмотрении задачи стимулирования в АС с интер- вальной внешней неопределенностью было показано, что при асимметричной информированности выигрыш АЭ (значение его целевой функции на реализуемом центром действии) не ниже, чем в случае симметричной информированности. Такое же заключение может быть сделано и для рассматриваемой модели. Выигрыш АЭ
(по сравнению с детерминированным случаем) равен следующей величине: {
]
;
[
max
D
d
r
∈
c(y
*
, r) – c(y
*
, r)}, причем этот выигрыш не убы- вает с ростом неопределенности (расширением отрезка [d; D]).
Качественно этот факт можно сформулировать следующим обра- зом: чем меньше знает центр об АЭ, тем это более выгодно для последнего.
Сделанный вывод справедлив и для многоэлементных АС со слабо связанными АЭ (см. раздел 2.2.1 выше). Переход осуществ- ляется следующим образом – для i-го АЭ используется функция затрат
]
;
[
max
i
i
i
D
d
r
∈
c
i
(y
i
*
, r
i
). Другими словами, вектор {x
i
} гарантиро- ванно оптимальных действий АЭ определяется как решение сле- дующей задачи:
(5)
χ(T - T
0
-
∑
∈
I
i
i
x
) +
∑
∈
∈
I
i
i
i
i
D
d
r
r
x
c
i
i
i
)
,
(
max
]
;
[
→
0
min
T
T
x
I
i
i
−
≤
∑
∈
Пример 8. Пусть n = 1 и функция затрат АЭ имеет вид:
c(y; r) = y
2
/2r, а штрафы линейны:
χ(t) = χ
0
t. Если истинное значе- ние параметра r известно центру, то, применяя результат теоремы
2.3, получаем, что оптимальное решение имеет вид:

98
σ
*
(y) =



≠
=
*
*
*
,
0
),
(
y
y
y
y
y
c
, y
*
=



+
≥
+
≤
−
r
T
T
r
r
T
T
T
T
0 0
0 0
0 0
,
,
χ
χ
χ
Оптимальное значение целевой функции центра при этом рав- но:
Φ
∗
(
σ
*
(y
*
), y
*
) = min {
r
T
T
2
)
(
2 0
−
;
χ
0
(T - T
0
) -
2 0
χ
r / 2}.
Если истинное значение параметра затрат АЭ неизвестно цен- тру, то решение, максимизирующее гарантированный результат,
имеет вид:
*
g
σ
(y) =



≠
=
*
*
*
,
0
),
,
(
y
y
y
y
d
y
c
, y
*
=



+
≥
+
≤
−
d
T
T
d
d
T
T
T
T
0 0
0 0
0 0
,
,
χ
χ
χ
.
Оптимальное гарантированное значение целевой функции цен- тра при этом равно:
*
g
Φ
(
*
g
σ
(y
*
), y
*
) = min{
d
T
T
2
)
(
2 0
−
;
χ
0
(T - T
0
) -
2 0
χ
d / 2}.
Очевидно, что имеет место:
∀ r ∈ [d; D] Φ
*
(
σ
*
(y
*
), y
*
)
≤
*
g
Φ
(
*
g
σ
(y
*
), y
*
),
то есть эффективность управления в случае неопределенности
(незнания или неточного знания центром возможностей АЭ) не выше, чем в условиях полной информированности, причем с рос- том неопределенности гарантированная эффективность управления не возрастает.
•
2.3.2. Механизмы с сообщением информации
Одним из способов повышения эффективности управления в условиях неопределенности является сообщение информации от более информированных участников системы менее информиро- ванным (в нашем случае – от активных элементов центру). Так как участники системы обладают свойством активности, в том числе –
способностью к самостоятельному выбору своих действий, то в общем случае активные элементы сообщат центру такую информа- цию (не обязательно достоверную), чтобы принятое центром на

99
основании этой информации решение оказалось наиболее выгод- ным для АЭ [17, 78].
Принцип принятия решений центром на основании информа- ции, сообщенной АЭ, называется механизмом планирования. Ис- следование свойств этого механизма, побуждающих АЭ сообщать достоверную информацию, называется в теории активных систем и теории принятия решений проблемой манипулируемости
[19, 73, 104, 119, 138, 141, 144].
Рассмотрим сначала одноэлементную АС. Итак, пусть АЭ со- общает центру оценку s
∈ [d; D] параметра своей функции затрат.
Механизмом планирования
π(s), s ∈ S, в данном случае является отображение множества возможных сообщений S во множество X
планов – параметров функции стимулирования, например - в то действие, которое центр хотел бы реализовать при данной инфор- мации о параметрах АЭ, то есть X = A,
π: S → A.
В теории активных систем известен следующий результат: в системах с одним активным элементом для любого механизма планирования существует неманипулируемый механизм не мень- шей эффективности [15, 19, 78]. Этот принцип, называемый также принципом открытого управления, позволяет достаточно просто решить задачу синтеза оптимального механизма планирования для рассматриваемой модели, ограничившись классом механизмов открытого управления. Содержательно, центр должен принять сообщения АЭ за истинные и назначить такой план, который был бы наиболее выгоден для АЭ, если бы истинное значение парамет- ра его функции затрат совпадало с сообщенным.
Следовательно, если центр использует принцип открытого управления, то АЭ в общем случае сообщит s
≠ r и центр будет вынужден, например, использовать систему стимулирования, ком- пенсирующую затраты c(y, s), то есть получим задачу стимулиро- вания, методы решения которой описаны выше.
К сожалению, в многоэлементных АС утверждение об опти- мальности принципа открытого управления не имеет места. Будем считать, что центр определяет планы (на основании предоставляе- мой элементами информации) по процедуре планирования
X
S
→
:
π
, где
∏
∈
=
I
i
i
S
S
,
∏
∈
=
I
i
i
X
X
и план, назначаемый i-му

100
АЭ, будет определяться выражением:
)
(s
x
i
i
π
=
,
I
i
∈
,
s = (s
1
, s
2
, .., s
n
),
S
s
∈
. В качестве моделей поведения АЭ примем концепции равновесия Нэша и равновесия в доминантных страте- гиях.
Механизм
X
S
→
:
π
, в котором АЭ сообщают оценки из множеств
}
{
i
S
, называется непрямым механизмом [78, 85]. При фиксированном соответствии отбора равновесий для непрямого механизма
π(⋅) можно построить соответствующий ему прямой механизм:
))

(
(
)

(
*
r
s
r
h
π
=
, где s
*
(
r
) – вектор равновесных по
Нэшу при значениях параметров
r
стратегий, в котором АЭ сооб- щают непосредственно оценки своих параметров. Если в соответст- вующем прямом механизме сообщение достоверной информации является доминантной стратегией, то он называется эквивалентным прямым механизмом [78].
В предположении рационального поведения элементов при фиксированных планах выбираемые ими действия
∗
i
y
будут макси- мизировать соответствующие целевые функции, то есть:
)
,
,
(
Argmax
)
,
(
i
i
i
i
A
i
y
i
i
i
i
r
y
x
f
r
x
P
y
i
∈
∗
=
∈
. Таким образом, можно говорить о функции полезности АЭ (в игре с сообщением инфор- мации функции полезности АЭ называют функциями предпочтения
[22, 78]):
)
,
,
(
max
)
,
(
i
i
i
i
A
y
i
i
i
r
y
x
f
r
x
i
i
∈
=
ϕ
Очевидно, в механизмах с сообщением информации АЭ будут руководствоваться своей собственной полезностью и необязательно будут сообщать достоверную информацию. Явление сообщения АЭ
недостоверной информации называется манипулированием инфор- мацией, а механизмы, в которых выгодно (является равновесием)
сообщение достоверной информации называются неманипулируе- мыми. Для прямых механизмов неманипулируемым называется механизм, в котором при любых типах АЭ сообщение достоверной информации является равновесием в доминантных стратегиях.
Для механизмов управления проектами задача планирования
(задача сокращения продолжительности производственного цикла)
рассматривалась в работах [8, 18, 22]: для частного случая функций затрат АЭ типа Кобба-Дугласа [48] построен оптимальный немани-

101
пулируемый механизм. Этот результат, наряду с механизмами опережающего самоконтроля [18, 21] и другими, естественно,
может использоваться и при применении методики освоенного объема (см. пример ниже).
Пусть центр использует следующий механизм планирования –
назначаемые АЭ планы {x
i
} определяются в результате решения следующей задачи
1
:
(6)
χ(T - T
0
-
∑
∈
I
i
i
x
) +
∑
∈
I
i
i
i
i
s
x
c
)
,
(
→
0
min
T
T
x
I
i
i
−
≤
∑
∈
Содержательно, решая задачу (6), центр определяет вектор действий АЭ, реализация которого при использовании соответст- вующей компенсаторной системы стимулирования минимизирует суммарные выплаты центра при условии, что сообщенная АЭ
информация считается истинной.
Отметим, что, если функция штрафов линейна, то получаем
АС со слабо связанными АЭ (задача (6) распадается на набор одно- элементных задач, для которых существует общее бюджетное ограничение).
Очевидно, что в условиях внутренней интервальной неопреде- ленности эффективность управления при использовании механиз- мов с сообщением информации не ниже, чем при использовании метода максимального гарантированного результата. Справедли- вость этого утверждения следует сравнения максимальных значе- ний целевых функций в задачах (5) и (6).
Пусть зависимость затрат АЭ от параметра удовлетворяет сле- дующему предположению:
(7)
∀ y ∈ A ∀ r
1
≤ r
2
c(y, r
1
)
≥ c(y, r
2
).
Если имеет место (7), то при использовании центром механиз- ма планирования (6) выполнена гипотеза реальных оценок:
∀ i ∈ I
s
i
< r
i
. Справедливость этого утверждения следует из того, что целевая функция i-го АЭ при выборе им действия x
i
, удовлетво- ряющего (6), имеет вид:
(8) f
i
(x
i
, r
i
, s
i
) = c
i
(x
i
, s
i
) – c
i
(x
i
, r
i
), i
∈ I.
1
Содержательно, центр согласованно распределяет величины сокраще-
ний продолжительностей критических операций между соответствую-
щими исполнителями.

102
В силу условия индивидуальной рациональности значение це- левой функции (8) должно быть неотрицательно, поэтому из (7)
следует, что
∀ i ∈ I s
i
< r
i
Пример 9. Пусть функции затрат
АЭ имеют вид
1
:
c
i
(y
i
, r
i
) = r
i
Ψ(y
i
/ r
i
), i
∈ I. Если функция штрафов центра линейна,
то, обозначая
ξ(⋅) = Ψ
’-1
(
⋅) и предполагая, что
∑
∈
I
i
i
r
≤ (T-T
0
)/
ξ(χ
0
),
получим, что решение задачи (6) имеет вид: y
i
*
(s
i
) = s
i
ξ(χ
0
).
Функция предпочтения i-го АЭ имеет вид:
(9)
ϕ
i
(s
i
, r
i
) =
i
i
A
y
∈
max
f
i
(y
i
, r
i
, s
i
) = c
i
(x
i
, s
i
) – c
i
(x
i
, r
i
), i
∈ I.
В рассматриваемом примере
ϕ
i
(s
i
, r
i
) = s
i
Ψ(ξ(χ
0
)) - r
i
Ψ(ξ(χ
0
)s
i
/r
i
).
Так как функция предпочтения каждого АЭ зависит только от его собственной стратегии s
i
, то в равновесии АЭ сообщат:
(10) s
i
*
(r
i
) = max {d
i
, r
i
min {1,
ξ[Ψ(ξ(χ
0
))/
ξ(χ
0
)]}}, i
∈ I.
Итак, у каждого АЭ существует доминантная стратегия (10),
следовательно, можно воспользоваться принципом открытого управления.
Например, для функций Кобба-Дугласа выполнено:
ξ[Ψ(ξ(χ
0
))/
ξ(χ
0
) =
α
α 1 1
−
−
≤ 1,
то есть при квадратичных затратах s
i
*
(r
i
) = r
i
/ 2 и т.д.
2
Легко ви- деть, что при
α → 1 s
i
*
→ r
i
•
Итак, мы рассмотрели задачу синтеза неманипулируемого ме- ханизма, причем вопрос о его эффективности не ставился. Ниже
1
Частным случаем функции
Ψ(⋅) является функция Кобба-Дугласа:
Ψ(z) = z
α
/
α.
2
Отметим, что мы решили задачу синтеза неманипулируемого механиз-
ма для рассматриваемой в примере модели. При этом оказалось, что в
исходном (непрямом) механизме сообщение достоверной информации не
является равновесной стратегией АЭ. На первый взгляд этот факт
противоречит серии теорем об оптимальности принципа открытого
управления в механизмах внутренних цен [6, 76, 78]. Противоречие, одна-
ко, кажущееся – в упомянутых работах использовалась пропорциональная
система стимулирования, а в приведенном примере – квазикомпенсатор-
ная (см. также механизмы В-типа в [76]).

103
рассматривается класс активных систем, для которых также суще- ствует неманипулируемый механизм планирования.
Введем следующее предположение.
А.2.9. Функция штрафов и функции затрат АЭ линейны, при- чем относительно функций затрат АЭ центр не имеет никакой дополнительной информации
1
В рамках предположения А.2.9 задача (6) примет вид:
(11)
∑
∈
−
I
i
i
i
s
x
)
(
0
χ
→
0
min
T
T
x
I
i
i
−
≤
∑
∈
,
где s
i
– сообщение i-го АЭ центру о коэффициенте r
i
линейной функции затрат: c
i
(y
i
, r
i
) = r
i
y
i
, i
∈ I.
Пусть функции затрат АЭ упорядочены следующим образом:
(12) r
1
≤ r
2
≤ … ≤ r
n
Примем следующую договоренность: если несколько АЭ со- общили одинаковые заявки, то приоритет имеет АЭ с меньшим номером.
Если выполнено (12), то решение задачи (11) очевидно: упоря- дочиваем АЭ в порядке возрастания значений сообщенных ими параметров и назначаем планы в соответствии со следующей про- цедурой:
(13) x
1
*
= T – T
0
, если s
1
≤ χ
0
, иначе x
1
*
= 0; x
i
*
= 0, i =
n
,
2
При этом ненулевой план получает единственный АЭ (если он существует), а именно тот, который сообщил минимальное значе- ние коэффициента (не превосходящее ставки
χ
0
). Содержательно,
если s
1
≥ χ
0
, то центру выгоднее платить внешние штрафы, чем сокращать продолжительность проекта.
Теорема 2.8. Если выполнено предположение А.2.9, то равно- весие в механизме (13) имеет следующую структуру
2
:
(14) если
χ
0
< r
1
, то s
i
*
= r
i
, x
i
*
= 0, i
∈ I;
(15) если
χ
0
≥ r
1
, то s
1
*
= r
2
, x
1
*
= T - T
0
, s
i
*
= r
i
, x
i
*
= 0, i =
n
,
2
Более того, соответствующий прямой механизм неманипули- руем.
1
В терминах рассмотренной выше модели последнее утверждение озна-
чает, что
∀ i ∈ I d
i
= 0, D
i
= +
∞.
2
Отметим, что (15) является аукционным равновесием [64, 86, 143].

104
Доказательство теоремы 2.8 заключается в построении соот- ветствующего механизму (13) прямого механизма планирования.
В рассматриваемой модели гипотеза реальных оценок имеет вид: s
i
≥ r
i
, i
∈ I, то есть ни один из АЭ не сообщит оценку, строго меньшую истинного значения (в противном случае, попадая в число победителей при использовании центром компенсаторной системы стимулирования он получит строго отрицательную полез- ность). С другой стороны, если некоторый АЭ имеет значение r
i
строго меньшее ставки
χ
0
, то центру невыгодно включать его в число победителей. Поэтому введем множества
Ω
i
(
χ
0
, r
i
) = [r
i
,
χ
0
],
i
∈ I. Очевидно, множество потенциальных победителей I’ есть множество тех АЭ, у которых соответствующее множество
Ω
i
непусто: I’ = {i
∈ I | Ω
i
(
χ
0
, r
i
)
≠ ∅}.
Рассмотрим два случая. Первый – когда
χ
0
< r
1
. Понятно, что в этом случае центру невыгодно поручать сокращение продолжи- тельности проекта ни одному из АЭ: x
i
*
= 0, i
∈ I, поэтому в равно- весии они сообщат минимальные (в силу гипотезы реальных оце- нок) оценки, то есть s
i
*
= r
i
, i
∈ I.
Во втором случай один или несколько АЭ имеют истинные значения параметров, не превосходящие ставку штрафов, то есть
χ
0
≥ r
1
. При этом первый АЭ является монополистом и может уве- личивать свою заявку в диапазоне [r
1
; r
2
]. Сообщая s
1
> r
2
, первый
АЭ рискует не попасть в число победителей, так как в этом случае второй АЭ может «перехватить инициативу», сообщив r
2
≤ s
2
≤ s
1
Аналогичным образом определяются множества диктаторства [85]
всех АЭ. Следовательно, все АЭ, кроме первого (диктатора) сооб- щат минимальные заявки и не войдут в число победителей: s
i
*
= r
i
,
x
i
*
= 0, i =
n
,
2
. Первый АЭ сообщит s
1
*
= min {
χ
0
; r
2
} и будет единственным победителем: x
1
*
= T - T
0
. Сообщать меньшее значе- ние заявки ему невыгодно, так как при этом уменьшается значение его целевой функции.
Выражения (14)-(15) определяют соответствующий исходному прямой механизм, в котором АЭ сообщают непосредственно оцен- ки своих параметров, а центр восстанавливает равновесие в исход- ном непрямом механизме по (14)-(15).
•
Оценим эффективность K
1
механизма (13). Если бы центру бы- ли достоверно известны истинные значения параметров АЭ, то при

105
χ
0
≥ r
1
, он назначил бы победителем первого АЭ, заплатив цену r
1
за единицу сокращения продолжительности проекта. Значение целевой функции центра при этом было бы равно K
*
= (T –
T
0
) min {r
1
;
χ
0
}. В механизме (13) цена за единицу сокращения продолжительности проекта равна min {
χ
0
; r
2
}, а значение целевой функции центра равно K
1
= (T – T
0
) min {
χ
0
; r
2
}. Разность
K
1
– K
*
= (T – T
0
)(min {
χ
0
; r
2
} - min {
χ
0
; r
1
})
≥ 0
определяет потери эффективности, обусловленные неполной ин- формированностью центра.
В более общем случае, то есть если существуют ограничения на максимальные значения действий АЭ: A
i
= [0; L
i
], то величину
(T – T
0
) сокращения времени выполнения проекта следует распре- делять последовательно в порядке возрастания номеров АЭ (в упорядочении значений сообщенных ими параметров) при условии,
что коэффициент штрафов
χ
0
не меньше сообщенного коэффициен- та. Прежде чем рассматривать соответствующий механизм плани- рования, решим соответствующую детерминированную задачу, то есть найдем решение, которое оптимально в условиях полной информированности центра.
Итак, пусть центру известны значения {r
i
} и он распределяет величину требуемого сокращения продолжительности проекта
∆T = (T –T
0
) между АЭ следующим образом: если
χ
0
≥ r
1
и T –
T
0
≥ L
1
, то x
1
= L
1
, если
χ
0
≥ r
2
и T – T
0
– L
1
≥ L
2
, то x
2
= L
2
и так далее до тех пор, пока не найдется АЭ с номером k такой, что либо
r
k+1
>
χ
0
(далее - первый случай), либо
∑
−
=
−
<
1 1
0
k
i
i
T
T
L
и
∑
=
−
≥
k
i
i
T
T
L
1 0
(далее – второй случай, который изображен на рисунке 14). Тогда равновесное сокращение продолжительности проекта равно:
(16)
∆T
*
= min {T – T
0
;
∑
=
k
i
i
L
1
}.
Суммарные затраты центра равны:
(17) C
*
(
∆T
*
) =
∑
=
k
i
i
i
L
r
1
- max {[
∑
=
k
i
i
L
1
- (T–T
0
)] r
k
, 0} +
χ
0
(T–T
0
-
∆T
*
).

106
Зная (16) и (17), можно определить среднюю стоимость для центра сокращения продолжительности проекта на единицу време- ни (см. рисунок 14):
(18)
β
*
(
∆T
*
) = C
*
(
∆T
*
) /
∆T
*
Очевидно, что
β
*
≤ χ
0
, но данное соотношение не может яв- ляться критерием включения соответствующего АЭ во множество победителей.
β
*
y = T - T
0
r
1
y
Рис. 14. Затраты центра на сокращение продолжитель-
ности проекта в условиях полной информированности
0
L
1
L
1
+L
2
L
1
+L
2
+L
3
r
3
r
2
c(y) – кусочно- линейная функция,
k = 3
(
χ
0
≥r
3
,
∆T
*
=T–T
0
)
c
*
(
∆T
*
)
Сделав маленькое отступление, отметим, что двойственной
(содержательно, но не формально) к рассматриваемой модели является модель отбора проектов в методе
«затраты- эффективность». Напомним, что в этом методе центр имеет воз- можность привлекать внешние средства по ставке
χ
0
и имеет набор проектов, требующих каждый некоторого финансирования и при- носящих определенную прибыль, причем рентабельности проектов неизвестны центру и сообщаются АЭ. Проекты выстраиваются в порядке убывания рентабельности (получается кусочно-линейная вогнутая функция – см. рисунок 14) и получают финансирование в порядке убывания рентабельности до тех пор, пока не закончится имеющийся у центра ресурс, или пока рентабельность очередного

107
проекта не станет ниже ставки привлечения внешних средств.
Понятно, что результаты исследования рассматриваемой в настоя- щем разделе модели АС с сообщением информации могут быть использованы в методе «затраты-эффективность».
Имея решение (16)-(18) детерминированной задачи, перейдем к анализу случая, когда истинные затраты АЭ неизвестны центру.
Если центр использует вместо истинных значений параметров функций затрат АЭ сообщенные ими заявки, то равновесие и его свойства определяются следующей теоремой.
Теорема 2.9. Если возможности АЭ ограничены, то равновесие имеет следующую структуру
1
:
(19) s
i
*
= r
i
, i > k; s
i
*
= min {
χ
0
; r
k+1
}, i =
k
,
1
;
(20) x
i
*
= 0, i > k; x
i
*
= L
i
, i =
1
,
1
−
k
, x
k
*
= min {L
k
; T – T
0
-
∑
−
=
1 1
k
i
i
L
}.
Доказательство очевидно и не приводится
2
Равновесное сокращение продолжительности проекта равно как и в случае полной информированности
∆T
*
, определяемой (16)
(содержательно совпадение для случаев полной и неполной инфор- мированности обеспечивается за счет гипотезы реальных оценок).
Значение целевой функции центра в равновесии (19)-(20) (то есть суммарные затраты центра) равно:
(21) C(
∆T
*
) =
∑
=
+
k
i
i
k
L
r
1 1
0
}
,
min{
χ
-
- max {[
∑
=
k
i
i
L
1
- (T – T
0
)] min {
χ
0
; r
k+1
}; 0} +
χ
0
(T - T
0
-
∆T
*
).
Зная (16) и (21), можно определить среднюю стоимость для центра сокращения продолжительности проекта на единицу време- ни:
1
Отметим, что при неограниченных возможностях АЭ k = 1 и резуль-
тат теоремы 2.9 переходит в результат теоремы 2.8.
2
Рассматриваемый механизм чрезвычайно близок к простым конкурсным
механизмам с «игрой на эффекте», описанным в работах [64]. Поэтому
перспективным представляется использование в рассматриваемой
модели конкурсных механизмов, имеющих более высокую гарантирован-
ную эффективность, например, прямые конкурсы, двухэтапные конкурсы
и др. [21].

108
(22)
β(∆T
*
) = C(
∆T
*
) /
∆T
*
Разность
∆C = C(∆T
*
) - C
*
(
∆T
*
) характеризует потери центра,
обусловленные неполной его информированностью. Видно, что при предельном переходе к случаю полной информированности раз- ность
∆С обращается в ноль, причем с уменьшением неопределен- ности уменьшаются и потери центра.
Отметим, что при фиксированных параметрах функций затрат
АЭ потери
∆С центра уменьшаются с ростом величины ограниче- ний на действия АЭ.

109