Проектами
 Скачать 1.09 Mb.
|
Рассмотрим задачу оперативного управления продолжительно- стью проекта. Пусть проект состоит из двух участников – руково- дителя проекта (центра в терминологии теории активных систем [22, 78]), осуществляющего управление проектом, и исполнителя (активного элемента (АЭ) в терминологии теории активных сис- тем). Таким образом, проект рассматривается в виде активной системы (АС), имеющей следующую структуру. Участники АС - менеджер проекта (центр) и исполнитель (АЭ). Центр выполняет планирующие, управляющие и контролирующие функции и несет ответственность за завершение проекта в дирек- тивные сроки с требуемым качеством и запланированными затра- тами. Активный элемент является исполнителем работ по проекту, то есть от его действий (и, быть может, от состояния природы – см. первую главу) зависят качество, сроки и т.д. В качестве основного выберем такой показатель как время за- вершения проекта (см. также обсуждение во введении к данной главе). Если в процессе реализации проекта оказывается, что про- гнозируемое время его завершения отличается от планового, то возникает необходимость в оперативном управлении – дополни- тельных мерах по сокращению продолжительности выполнения незавершенной части проекта. Реализация этих мер требует соот- ветствующих затрат, то есть возникает задача определения опти- мальных коррекционных воздействий, причем критерием эффек- тивности, как правило, выступают финансовые показатели, зависящие как от продолжительности проекта (санкции и штрафы за задержку сроков завершения и т.д.), так и от затрат на выполне- ние проекта (см. примеры в первой главе). При решении задачи управления центр должен учитывать ак- тивность АЭ, то есть вознаграждение исполнителя в зависимости от сокращения им сроков должно быть согласовано с его предпоч- тениями. В теории активных систем задачи согласования предпоч- тений и интересов изучаются при синтезе механизмов стимулиро- вания [77, 79], поэтому рассмотрим постановку задачи стимулирования исполнителей, в которой критерием эффективно- сти являются финансовые показатели центра, зависящие в свою очередь от продолжительности проекта. 77 Последовательность изложения материала настоящего раздела следующая. Сначала рассматривается задача стимулирования в детерминированной АС, то есть в АС, функционирующей в усло- виях полной информированности о существенных внешних и внут- ренних параметрах. Затем исследуются более сложные модели, учитывающие возможность наличия интервальной, вероятностной или нечеткой неопределенности. В качестве одного из способов снижения неопределенности предлагается также использовать механизмы с сообщением информации, которые подробно рассмат- риваются в следующем разделе. 2.2.1. Детерминированная АС (отсутствие неопределенности) Будем считать, что известны плановое T 0 и прогнозируемое T времена завершения проекта (ограничимся наиболее распростра- ненным на практике случаем T ≥ T 0 ). Как отмечалось выше, рас- сматриваемая модель охватывает как задачи планирования (решае- мые до начала реализации проекта), так и задачи оперативного управления, которые могут последовательно решаться в ходе реа- лизации проекта по мере поступления новой информации – уточне- ния прогнозируемого времени завершения проекта и других пара- метров (см. модели в разделах 1.2. и 1.3, а также механизмы экспертного прогнозирования в разделе 2.1). Предположим, что в случае задержки выполнения проекта центр выплачивает, например, заказчику или вышестоящей органи- зации, штрафы χ(t), t ≥ T 0 (в частном случае, например, штрафы могут быть линейны: χ(t) = χ 0 t). Исполнитель имеет возможность сократить срок реализации проекта (относительно прогнозируемо- го) или, что то же самое – сократить продолжительность одной или нескольких критических операций, что требует от него определен- ных затрат 1 c(y), где y ∈ A – время, на которое сокращается про- должительность проекта. Переменная y может интерпретироваться как действие АЭ – выбираемая им стратегия. 1 Следует подчеркнуть, что в настоящем и следующем разделе c(y) – затраты исполнителя, но не затраты на проект (как это имело место во введении и первой главе)! 78 Для того, чтобы побудить АЭ к выбору некоторой стратегии центр должен использовать соответствующую систему стимулиро- вания, то есть назначить зависимость σ(y) вознаграждения АЭ от выбираемых им действий. Эта зависимость σ(⋅) ∈ M называется функцией стимулирования (M – множество допустимых функций стимулирования). Интересы участников проекта (активной системы) выражены их целевыми функциями. Будем считать, что рациональность пове- дения участников проекта заключается в стремлении к максимиза- ции целевых функций. Более подробно, предположим, что центр заинтересован в том, чтобы минимизировать свои выплаты (сум- марные выплаты по штрафам и стимулированию АЭ), то есть целевая функция центра •( σ(⋅), y) имеет вид: (1) Φ(σ(⋅), y) = σ(y) + χ(T – T 0 – y). Целевая функция активного элемента f( σ(⋅), y) представляет собой разность между стимулированием и затратами: (2) f( σ(⋅), y) = σ(y) – c(y). Введем следующие предположения: А.2.3. A = [0; T – T 0 ]. А.2.4. M – множество кусочно-непрерывных положительно- значных функций. А.2.5. c(y) – положительнозначная, монотонно возрастающая, строго выпуклая, непрерывно дифференцируемая функция, такая, что c(0) = 0. В ходе всего изложения материала настоящего раздела, если не будет оговорено особо, будем предполагать, что выполнена гипоте- за благожелательности (ГБ) – из множества реализуемых действий 1 P( σ) = Arg A y ∈ max f(y, σ) активный элемент выбирает действия, наиболее благоприятные для центра. Последовательность функционирования следующая: центр со- общает АЭ функцию стимулирования, после чего АЭ при извест- ной функции стимулирования выбирает свое действие. Следова- 1 Реализуемым некоторой системой стимулирования действием АЭ называется такое его допустимое действие, на котором достигается максимум его целевой функции [78, 79]. 79 тельно, задача центра заключается в выборе такой допустимой системы стимулирования, которая минимизировала бы значение его целевой функции при условии, что АЭ выбирает допустимое действие, максимизирующее его собственную целевую функцию: (3) ∈ → Φ ∈ − ∈ ∈ ) ( max min ) ), ( ( * ] ; 0 [ , * * 0 * y f Arg y y y A y T T y M σ σ Задача (3) является игрой типа Г 2 (в терминологии теории ие- рархических игр [38, 40, 56]) и может рассматриваться как детер- минированная задача стимулирования второго рода (в терминоло- гии теории активных систем [22, 78]). Ее решение дается следующей теоремой 1 Теорема 2.3. Оптимальное решение σ * (y) задачи (3) имеет вид: (4) σ * (y) = ≠ = * * * , 0 ), ( y y y y y c , где оптимальное действие АЭ y * определяется следующим выраже- нием: (5) y * = arg ] , 0 [ 0 min T T y − ∈ Φ(y). При использовании центром системы стимулирования (4) (на- зываемой в теории активных систем квазикомпенсаторной [22, 78, 79]), максимальное значение целевой функции равно нулю и принимает это значение в двух точках, то есть P( σ * ) = {0} ∪ {y * }. В [78, 79] доказано, что оптимальной является такая допусти- мая система стимулирования, на которой достигается минимум затрат центра на стимулирование по реализации действий АЭ. Поэтому докажем, что система стимулирования (4)-(5) характери- зуется минимальными затратами центра на стимулирование. Пусть существует система стимулирования σ , такая, что y * ∈ P( σ ), σ (y * ) < σ * (y * ). Условие реализуемости имеет вид: 1 В теории активных систем существует семейство теорем, дающих оптимальное решение задачи стимулирования в различных моделях АС [22, 79]. Поэтому теорема 2.3 может рассматриваться как результат применения этой общей методологии к конкретной модели оперативного управления продолжительностью проекта. 80 ∀ y ∈ A σ (y * ) – c(y * ) ≥ σ (y) – c (y). Подставим в это условие y = 0. Получим: σ (y * ) – c(y * ) ≥ σ (0). В силу введенных предположений σ <0, что противоречит А.2.4. • Пример 3. В частном случае, когда штрафы центра линейны: χ(t) = χ 0 t, действие (5) единственно (так как штрафы линейны, а функция затрат АЭ строго выпукла), следовательно на отрезке [0; T – T 0 ] функция {c(y) - χ 0 y)} достигает единственного максиму- ма. Более того, оптимальное решение оказывается устойчивым по параметрам модели в следующем смысле. Обозначим ξ = c ’ –1 ( χ 0 ), где c ’ –1 ( ⋅) – функция, обратная произ- водной функции затрат АЭ (она существует в силу А.2.5). Тогда оптимальное решение задачи (3) можно записать в виде: (6) y * ( ξ) = + ≥ + ≤ − ξ ξ ξ 0 0 0 , , T T T T T T Содержательно, в случае линейных штрафов центру не обяза- тельно знать «точную» оценку реального времени T завершения проекта (неизвестного и приближенно оцениваемого в ходе его реализации), если оптимистичная оценка задержки T – T 0 времени завершения проекта превышает величину ξ, которая зависит от внешних штрафов и функции затрат АЭ, то оптимальное с точки зрения внешних выплат центра сокращение продолжительности проекта «не зависит» от оценки будущей его продолжительности. • Итак, мы рассмотрели задачу оптимизации продолжительности проекта за счет использования механизмов стимулирования в одноэлементной активной системе. Перейдем к описанию много- элементного случая. Пусть имеется многоэлементная АС с n ≥ 1 активными элемен- тами, каждый из которых отвечает за соответствующую операцию (комплекс которых и составляет проект) и может сокращать ее продолжительность, независимо от продолжительности других операций. Обозначим y i ≥ 0 – время сокращения i-ой операции, i ∈ I, где I = {1, 2, …, n} – множество АЭ. Время сокращения продолжительности проекта ∆T зависит от порядка выполнения и технологической связи операций и является функцией от сокращений каждой из операций (как критических, так и околокритических), то есть: ∆T = Y(y 1 , y 2 , …, y n ). Получили 81 многоэлементную активную систему со слабо связанными элемен- тами [79]. Пусть центр решил n задач типа (3) – по одной для каждого АЭ. Результатом является набор { ϑ i (y i )} минимальных затрат цен- тра на стимулирование по реализации 1 соответствующего вектора y действий АЭ: y = (y 1 , y 2 , ,…, y n ). Целевая функция центра имеет при этом вид: Φ(y) = χ(T – T 0 – Y(y)) - ∑ ∈ I i ϑ i (y i ). Следовательно, задача стимулирования заключается в поиске такого допустимого (y ∈ A’ = ℜ n ) вектора действий АЭ, который минимизировал бы целевую функцию центра Φ(y). Задача Φ(y) → A y ′ ∈ min является стандартной задачей условной оптимизации. В качестве ограничения множества допустимых действий АЭ может выступать, например, бюджетное ограничение: если фонд оперативного управления центра ограничен величиной R, то, оче- видно, допустимыми будут такие действия, для которых имеет место: A’ = {y ∈ + ℜ n | ∑ ∈ I i ϑ i (y i ) ≤ R}. В зависимости от технологической взаимосвязи показателей операций (см. раздел 1.4, посвященный проблемам агрегирования показателей освоенного объема) возможны различные зависимости Y( ⋅). Например, если операции выполняются последовательно, то ∆T = ∑ ∈ I i y i , если параллельно, то ∆T = I i ∈ min y i и т.д. Проиллюстрируем использование предложенного похода к решению задач стимулирования в многоэлементных АС на сле- дующем примере. Пример 4. Предположим, что штрафы линейны, а бюджетное ограничение отсутствует и ∆T = ∑ ∈ I i y i , тогда получаем набор 1 В случае оптимальности компенсаторных функций стимулирования минимальные затраты центра на стимулирование определяются затра- тами АЭ, то есть имеет место: ϑ i (y i ) = c i (y i ), i ∈ I. 82 одноэлементных задач, в каждой из которых оптимально решение типа (6) с соответствующей функцией ξ i ( ⋅) = 1 ' − i c ( ⋅), i ∈ I. Если ∆T = I i ∈ min y i , тогда, очевидно, что в оптимальном реше- нии все АЭ должны завершить свои операции одновременно, то есть ∃ v ≥ 0: ∀ i ∈ I y i = v. Следовательно, решение задачи стиму- лирования заключается в поиске такого значения скалярной вели- чины v, которое минимизировало бы целевую функцию центра, то есть: χ(T – T 0 – v) - ∑ ∈ I i ϑ i (v) → 0 min ≥ v . Получили стандартную зада- чу скалярной оптимизации. Если штрафы линейны, то оптималь- ным оказывается следующее сокращение продолжительности проекта: v * = ) ( ) ( 0 1 ' χ − ∈ ⋅ ∑ I i i c • Итак, задача оперативного управления продолжительностью проекта в случае многоэлементной АС со слабо связанными АЭ сводится к параметрическому набору одноэлементных задач сти- мулирования и задаче поиска оптимальных значений параметров. Основную сложность при этом представляет решение одноэле- ментных задач 1 , так как второй этап сводится к стандартной задаче условной или безусловной оптимизации. Поэтому при изучении задач стимулирования в условиях неопределенности мы ограни- чимся рассмотрением, в основном, одноэлементных задач. Рассмотрев детерминированные задачи стимулирования, пе- рейдем к рассмотрению задач оперативного управления продолжи- тельностью проекта в условиях неопределенности. 1 Для случая сильно связанных АЭ игра АЭ может быть декомпозирована. При этом оптимальной является «компенсаторная» «одноэлементная» система стимулирования, то есть сделанные качественные выводы, относительно необходимости акцентирования основного внимания на специфике одноэлементных задач, остаются в силе и в общем случае многоэлементных АС, то есть при сильно связанных активных элемен- тах. 83 2.2.2. Внешняя интервальная неопределенность относительно результатов деятельности АЭ В рамках модели, рассмотренной в предыдущем подразделе, предположим, что реальное сокращение z ∈ A 0 = A = [0; + ∞) про- должительности проекта зависит от действия АЭ и от состояния природы. Будем считать, что, выбирая свои стратегии, участники проекта имеют информацию лишь об интервале возможных значе- ний: z ∈ Z(y) = [Q - (y); Q + (y)]. Кроме того, предположим, что дейст- вия, выбираемые АЭ, не наблюдаются центром, которому стано- вится известен лишь результат деятельности. Поэтому стимулирование АЭ центром уже не может (как в детерминирован- ном случае) основываться на действиях АЭ, а должно зависеть от неопределенной величины – результата деятельности. Целевая функция АЭ равна: f( σ, y, z) = σ(z) – c(y). Устраняя ин- тервальную неопределенность, то есть применяя метод максималь- ного гарантированного результата (МГР), получим, что гарантиро- ванное значение целевой функции АЭ равно: (7) f Г ( σ, y) = ) ( min y Z z ∈ σ(z) – c(y). Следовательно, в рассматриваемой модели множество реали- зуемых действий АЭ есть P( σ) = Arg A y ∈ max f Г ( σ, y). Введем следующее предположение: |