|
|
Проектами|
|
 Скачать 1.09 Mb. | Название | Проектами | | Дата | 20.04.2023 | | Размер | 1.09 Mb. | | Формат файла |  | | Имя файла | metodika_osvoennogo_obema_v_operativnom_upravlenii_proektami.pdf | | Тип | Реферат
#1077910 | | страница | 6 из 11 |
|
Глава 2. Механизмы оперативного управления проектами
Во второй главе настоящей работы рассматриваются три об- ширных класса механизмов управления проектами, учитывающих активность как управляющего органа, так и управляемых субъек- тов, и нацеленных, в основном, на оптимизацию такой важнейшей характеристики проекта как фактическое время
1
его завершения.
Первым классом механизмов, рассматриваемым в разделе 2.1,
являются механизмы получения информации о возможной про- должительности проекта от лиц (экспертов), обладающих большей информацией по этому вопросу, чем руководитель проекта. Если эксперты заинтересованы в результатах экспертизы, то возникает проблема манипулируемости (целенаправленного искажения ими сообщаемой информации), решение которой для случая сообщения экспертами скалярных оценок описано в [15]. Однако, во многих случаях эксперту проще сформулировать свое мнение в нечетком виде, поэтому ниже рассматриваются нечеткие механизмы актив- ной экспертизы, оперирующие нечеткими мнениями экспертов.
Вторым классом механизмов, рассматриваемым в разделе 2.2,
являются механизмы стимулирования, в которых решается задача синтеза поощрений исполнителей, при которых они были бы готовы сократить продолжительность проекта на оптимальную с точки зрения проект-менеджера (с учетом затрат на стимулирова- ние исполнителей) величину. Помимо изучения детерминирован- ных моделей, то есть моделей проектов (рассматриваемых как активные системы), функционирующих в условиях полной инфор- мированности, ниже рассматриваются задачи управления продол-
1
В теории сетевого планирования и управления (СПУ) ключевым поня-
тием является понятие критического пути, поэтому когда речь идет о
сокращении продолжительности проекта, в первую очередь необходимо
сокращать критические операции, причем величина сокращения, очевид-
но, не должна превышать минимальный из резервов околокритических
операций. Следовательно, можно рассматривать по отдельности
задачи сокращения каждой из критических операций, то есть в рамках
методологии СПУ достаточно ограничиться рассмотрением набора
одноэлементных задач управления (в терминологии теории активных
систем [22]).
65 жительностью проекта за счет использования механизмов мотива- ции в условиях неопределенности. Одним из способов снижения неопределенности является со- общение информации от более информированных участников системы менее информированным. На основании сообщенной исполнителями руководителю проекта информации последний определяет значения управляющих параметров, то есть использует механизмы планирования, рассматриваемые в разделе 2.3. Для механизмов планирования исследуется задача манипулируемости и показывается, что использование механизмов с сообщением информации, даже в условиях манипулирования со стороны ис- полнителей, не снижает эффективности управления. 2.1. Механизмы нечеткой активной экспертизыПод механизмом активной экспертизы понимается следующая модель [15, 17, 21, 43, 76]. Пусть имеются n активных элементов (АЭ) – экспертов [60, 61], каждый из которых имеет собственные представления ri∈ [ d; D] ⊆ ℜ1 ( ri является точкой пика однопико- вой [22, 78] функций предпочтения i-го АЭ) об оцениваемой ска- лярной величине и сообщает центру информацию si∈ [ d; D] ,i ∈ I = { 1, 2, …, n} о своих предпочтениях. Результат экспертизы (итоговое мнение, коллективное решение и т.д.) x ∈ [ d; D] опреде- ляется в соответствии с процедурой планирования π( s) , то есть x =π( s), где s = ( s1, s2, …, sn) – вектор сообщений экспертов. Относительно процедуры планирования предполагают: А.2.1. π( ⋅) - непрерывна, строго монотонно возрастает по всем переменным и удовлетворяет условию единогласия: ∀ z ∈ [ d; D] π( z, z, ..., z) = z. Без потери общности можно положить d = 0, D = 1. Если предположить, что каждый из экспертов заинтересован в том, чтобы результат экспертизы был максимально близок к его мнению, то в общем случае он будет сообщать недостоверную информацию, стремясь повлиять на результат в требуемую с его точки зрения сторону. Следовательно, возникает проблема мани- пулируемости механизма активной экспертизы. В работе [15] доказано, что для любого механизма экспертизы, удовлетворяющего введенным выше предположениям, существует
66
эквивалентный прямой (неманипулируемый) механизм, причем итоговое мнение в равновесии определяется совокупностью ис- тинных мнений (иногда называемых их идеальными точками)
экспертов r = {r
i
} и числами
ν(π) = {ν
i
(
π)}
N
i 0
=
, определяемыми следующим образом: если собственные представления всех экс- пертов различны и упорядочены в порядке возрастания, то
(1)
ν
k
(
π) = π (
3 2
1
k
0
,...,
0
,
0
,
3 2
1
k
n
−
1
,...
1
,
1
), k =
n
,
0
При этом равновесное итоговое мнение (коллективное реше- ние) x
*
определяется [15]:
(2) x
*
(r,
ν(π)) =
n
k
,
1
max
=
min (
ν
k-1
, r
k
).
Понятно, что последовательность
ν(π) зависит от упорядоче- ния идеальных точек экспертов. В общем случае существует 2
n
разбиений вида (1), однако, так как (2) является соответствующим механизму
π прямым механизмом, все рассуждения можно прово- дить для некоторого фиксированного упорядочения.
Кроме того, в настоящем разделе мы ограничимся анонимны- ми механизмами активной экспертизы, то есть механизмами,
симметричными относительно перестановок АЭ. Если механизм экспертизы является анонимным, то разбиение (1) единственно и не зависит от упорядочений истинных мнений экспертов.
Определим линейный механизм активной экспертизы [76]:
(3)
π
L
(s) =
∑
=
n
k
k
k
s
1
α
,
где
α
k
≥ 0,
∑
=
n
k
k
1
α
= 1. Последовательность (1) для линейного механизма имеет вид:
(4)
ν
k
(
π
L
) = 1 -
∑
=
k
i
i
1
α
, k =
n
,
1
,
ν
0
(
π
L
) = 1.
Очевидно, у любого анонимного механизма последователь- ность
ν(π) разбивает отрезок [0; 1] на N равных частей, в частности
- у анонимного линейного механизма экспертизы
α
i
= 1/N. В рабо- те [76] для анонимных механизмов экспертизы доказано, что в
67 многоуровневых АС они допускают произвольную децентрализа- цию. Кроме того, в упомянутой работе доказано, что для любого механизма экспертизы в двухуровневой АС существует эквива- лентный линейный механизм экспертизы, причем при доказатель- стве этого факта устанавливается следующая взаимосвязь между исходным (нелинейным) механизмом экспертизы и соответствую- щим ему линейным механизмом: (5) αk = νk-1 - νk, k = n, 1 , и любой механизм вида (3), являющийся механизмом экспертизы, удовлетворяет αk > 0, k = n, 1 , и для любого механизма экспертизы все элементы последовательности ν( π), определяемой (1), различ- ны. При нечетном числе экспертов анонимный механизм активной экспертизы является оптимальным (в смысле погрешности проце- дуры принятия решений в ситуации равновесия относительно базовой процедуры) в классе линейных механизмов [76], и, следо- вательно (см. выше), в классе произвольных механизмов эксперти- зы с соответствующим фиксированным упорядочением истинных мнений экспертов. Таким образом, мы привели известные результаты исследова- ния механизмов активной экспертизы, позволяющие определять равновесие и описывающие свойства линейных механизмов (см. (1)-(5)). Важным свойством анонимных механизмов экспертизы является то, что при их исследовании достаточно ограничиться изучением линейных механизмов экспертизы с одинаковыми весами всех экспертов. Перейдем к рассмотрению нечетких механизмов активной экспертизы, то есть механизмов, в которых сообщения экспертов нечеткие. Для этого, в первую очередь, требуется определить, что понимается под равновесием Нэша в случае, когда стратегии игро- ков нечеткие. Напомним, что в четком случае s*∈ S – равновесие Нэша, тогда и только тогда, когда выполнено: (6) ∀ i ∈ I ∀ si∈ Si fi( * is, * is− ) ≥ fi( si, * is− ), где fi( s) – целевая функция i-го АЭ, s = ( s1, s2, …, sn) – вектор сооб- щений, s-i = ( s1, s2, …, si-1, si+1, …, sn) – обстановка игры для i-го АЭ. Обозначим P( π) – множество четких равновесий Нэша. В [15, 76] доказано, что P( π) ≠ ∅.
68
Пусть функции выигрыша игроков f
i
: X
→ ℜ
1
и механизм планирования
π : S → X четкие, а сообщения АЭ нечеткие. Обо- значим
1
i
S
- множество всех нечетких подмножеств множества S
i
,
i
∈ I,
S
- множество всех нечетких подмножеств множества S.
Стратегией i-го АЭ является нечеткое сообщение
i
s
∈
i
S
с функцией принадлежности
)
(
i
s
s
i
µ
. Построим функцию принад- лежности
)
(
s
s
µ
вектора
s
∈
S
[81, 82]:
(7)
)
(
s
s
µ
=
I
i
∈
min
{
)
(
i
s
s
i
µ
}.
Обозначим S(x) = {s
∈ S | π(s) = x},
X
- множество всех не- четких подмножеств множества X. Тогда в соответствии с принци- пом обобщения [82] при нечетких сообщениях АЭ и четкой проце- дуре планирования коллективное решение
x
будет нечетким подмножеством множества [0; 1] с функцией принадлежности
)
(
x
x
µ
, определяемой следующим образом:
(8)
)
(
x
x
µ
=
)
(
sup
x
S
s
∈
)
(
s
s
µ
.
Определим предпочтения экспертов на множестве
X
нечет- ких коллективных решений. Образом нечеткого множества
)
(
x
x
µ
при четком отображении f
i
: X
→ ℜ
1
будет нечеткое множество
i
f
с функцией принадлежности
)
(
i
f
f
i
µ
, которая в силу принципа обобщения удовлетворяет:
(9)
)
(
i
f
f
i
µ
=
)
(
sup
i
i
f
X
x
∈
)
(
x
x
µ
,
где X
i
(z) = {x
∈ X | f
i
(x) = z}. Подставляя (7) и (8) в (9), получим:
(10)
)
(
i
f
f
i
µ
=
)
(
sup
i
i
f
X
x
∈
)
(
sup
x
S
s
∈
I
i
∈
min
{
)
(
i
s
s
i
µ
}.
Выражение (10) есть функция принадлежности нечеткого вы- игрыша АЭ в ситуации игры
s
= (
1
s
,
2
s
, …,
n
s
).
1
Здесь и далее тильда обозначает нечеткость соответствующей
переменной.
69 В общем случае, когда предпочтения АЭ на множестве кол- лективных решений нечеткие, то есть заданы нечеткими отноше- ниям предпочтения (НОП) iR с функциями принадлежности) , ( yxiRµ, x, y ∈ X, i ∈ I. Фиксируем для i-го АЭ нечеткую обста- новку is− , тогда (8) можно записать как ) , , ( iixssx− µ. Анало- гично можно записать (10) как: ) , , ( iiifssfi− µ. Тогда обобщенное НОП i-го АЭ на множестве iS есть [75, 82]: (11) ) , , ( 2 1 iiiisss− η = Xxx∈ 2 1 , sup min{ ) , , ( 1 1 iixssx− µ,) , , ( 2 1 iixssx− µ, ) , ( 2 1 xxiRµ}. Имея НОП (11) можно по аналогии с тем как это делается в [82] построить для каждого АЭ множество максимально недоми- нируемых при данной обстановке альтернатив, а затем воспользо- ваться (6) для определения нечеткого равновесия Нэша. Такой путь возможен, но трудоемок, поэтому вспомним, что в рассматривае- мой модели предпочтения АЭ четкие, и вернемся к выражению (10). Введем на множестве iS отношение « is− f » доминирования стратегий: при фиксированной остановке is− игры 2 isis− f 1 isтогда и только тогда, когда: (12) ∀ 1 if∃ 2 if: 2 if≥ 1 if и ) , , ( 1 1 iiifssfi− µ≤ ) , , ( 2 2 iiifssfi− µРациональным будем считать выбор активным элементом не- доминируемой стратегии. Вектор недоминируемых стратегий назовем нечетким равновесием Нэша. Отметим, что в предельном случае – при переходе к четким стратегиям – введенное нечеткое равновесие Нэша совпадает с (6). Обозначим ) ( πP – множество нечетких равновесий Нэша. Очевидно, что выполнено P( π) ⊆ ) ( πP, то есть ) ( πP≠ ∅. Введем следующее предположение: 70 A.2.2. Функции выигрыша АЭ строго однопиковые с точками пика ri; нечеткие множества is, i ∈ I, нормальны 1 Теорема 2.1. В нечетком анонимном механизме активной экс- пертизы для любого АЭ и для любого равновесного по Нэшу его сообщения существует недоминируемое равновесное по Нэшу четкое сообщение. Доказательство. В силу предположения А.2.2 множество Xi( fi) состоит не более чем из двух точек (и не менее, чем одной точки), которые мы обозначим ) ( iifx− и ) ( iifx+ , ) ( iifx− ≤ ) ( iifx+ Очевидно, что при этом выполнено: ∀ 1 if > 2 if) ( 2 iifx− ≤) ( 1 iifx− ≤ ri≤) ( 1 iifx+ ≤ ) ( 2 iifx+ Выражение (9) при этом упрощается и принимает вид: (13) ) ( iffiµ = max { ( xµ) ( iifx− ), ( xµ) ( iifx+ )} .Пусть при нечеткой обстановке is− для i-го АЭ существует нечеткая недоминируемая стратегия * is. Сделаем ее четкой (про- изведем «дефаззификацию»), положив соответствующую функцию принадлежности ) ( * issiµ равной нулю всюду, за исключением точки, на которой достигается максимум в (12)-(13). Получим четкую недоминируемую стратегию i-го АЭ. Анало- гичным образом можно поступить по одиночке и для других АЭ, получив в итоге четкое равновесие Нэша типа (6), эквивалентное исходному. • Следствием утверждения теоремы 2.1 является тот факт, что для любого АЭ и для любой его нечеткой стратегии всегда сущест- вует не худшая для него четкая стратегия. Поэтому, с одной сторо- ны, можно утверждать, что допущение возможности сообщения экспертами нечеткой информации качественно не изменяет 2 струк- туру и свойства равновесных стратегий. 1 Нормальным называется нечеткое множество, максимальное значениефункции принадлежности которого равно единице [82].2 С содержательной точки зрения нечеткое коллективное решениеможет давать лицу, принимающему решение (ЛПР), большую информа-цию, нежели чем четкое коллективное решение экспертов.
71
С другой стороны, при нечетких сообщениях АЭ расширяется множество равновесных по Нэшу стратегий (P(
π)
⊆
)
(
π
P
), что порождает определенные трудности при построении соответст- вующего прямого механизма (см. также модель интервальной экспертизы ниже). Поясним последнее утверждение более подроб- но. Соответствующим исходному механизму
π(s), π: S → X, пря- мым механизмов h(r), h:
ℜ
n
→ X, называется механизм [17, 78, 85],
в котором АЭ сообщают центру информацию о своих точках пика,
после чего центр вычисляет равновесные s
*
(r) в исходном меха- низме при данных точках пика заявки, то есть h(r) =
π(s
*
(r). Если соответствующий прямой механизм неманипулируем, то есть в нем сообщение достоверной информации является равновесной стратегией каждого АЭ, то он называется эквивалентным прямым механизмом [78, 85].
Если для каждого профиля предпочтений (профилем предпоч- тений в случае однопиковых целевых функций называется вектор точек пика) в исходном (непрямом) механизме существует единст- венное равновесие Нэша (вектор равновесных по Нэшу сообщений
АЭ), то это равновесие подставляется в соответствующий прямой механизм. Именно так дело обстоит в четком механизме активной экспертизы, в котором существует единственное равновесие Нэша и для которого можно построить эквивалентный прямой механизм.
Сложнее дело обстоит, когда существует несколько равнове- сий Нэша. В этом случае для задания соответствующего прямого механизма используют соответствие отбора равновесий, опреде- ляющее единственное для каждого профиля предпочтений равно- весие в непрямом механизме. При этом возникают следующие трудности. Основная проблема заключается в том, что при практи- ческом использовании соответствия отбора равновесий нет ника- кой гарантии, что АЭ выберут равновесие, отбираемое применяе- мым соответствием. Выходов из этой ситуации несколько: либо использование максимального гарантированного (по множеству равновесий при каждом профиле) результата, либо введение до- полнительных гипотез о поведении АЭ (см. интервальные модели экспертизы ниже). В первом случае уменьшается эффективность управления, во втором требуется обоснование вводимых гипотез.
Таким образом, можно сделать следующий качественный вы- вод – при использовании механизмов нечеткой активной эксперти-
72
зы увеличивается информация, поступающая к ЛПР, но, в то же время, возникает неопределенность относительно равновесных стратегий экспертов, снятие которой либо приводит к снижению эффективности данного механизма, либо требует дополнительной информации для введения обоснованных предположений о пове- дении экспертов. И тот и другой способ применимы далеко не во всех ситуациях, встречающихся на практике, поэтому наиболее прямолинейным способом решения проблемы множественности равновесий является отказ от нечеткости, то есть переход к четким механизмам экспертизы, в которых равновесие единственно.
Частным случаем механизмов нечеткой активной экспертизы является класс механизмов интервальной активной экспертизы, к описанию которых мы и переходим. Пусть каждый эксперт (ак- тивный элемент) сообщает центру отрезок
i
s
= [
−
i
s
;
+
i
s
], где
0
≤
−
i
s
≤
+
i
s
≤
1, i
∈ I. Механизм интервальной экспертизы являет- ся частным случаем механизма нечеткой экспертизы, так как первому соответствует конкретная функция принадлежности:
(14)
)
(
i
s
s
i
µ
=
∉
∈
+
−
+
−
]
;
[
,
0
]
;
[
,
1
i
i
i
i
i
i
s
s
s
s
s
s
, i
∈ I.
При использовании анонимного механизма множество S(x)
имеет вид:
S(x) = {s
∈ S |
∑
=
n
i
i
s
1
= nx}.
Коллективное решение является интервалом с функцией при- надлежности:
(15)
)
(
x
x
µ
=
∉
∈
∑
∑
∑
∑
=
+
=
−
=
+
=
−
]
;
[
,
0
]
;
[
,
1 1
1 1
1
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
s
s
nx
s
s
nx
73
Интервальный выигрыш i-го АЭ имеет функцию принадлеж- ности
)
(
i
f
f
i
µ
, определяемую следующим образом
(16)
i
f
µ
=
∉
∉
∈
∈
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
+
=
−
+
=
+
=
−
−
=
+
=
−
+
=
+
=
−
−
]
;
[
)
(
и
]
;
[
)
(
,
0
]
;
[
)
(
или
]
;
[
)
(
,
1 1
1 1
1 1
1 1
1
n
i
i
n
i
i
i
i
n
i
i
n
i
i
i
i
n
i
i
n
i
i
i
i
n
i
i
n
i
i
i
i
s
s
f
nx
s
s
f
nx
s
s
f
nx
s
s
f
nx
.
Построим равновесие Нэша. Пусть АЭ упорядочены в порядке возрастания их точек пика: r
1
≤ r
2
≤ …≤ r
n
. Построим разбиение отрезка [0; 1]:
Ω
i
= [
n
i
n
−
;
n
i
n
1
+
−
], i
∈ I. По аналогии с четким случаем [15] можно утверждать, что если существует (а он если существует, то единственен) АЭ с номером k таким, что r
k
∈ Ω
k
, то он является диктатором, то есть его тока пика будет принадлежать интервальному коллективному решению.
Обозначим
−
Σ
i
=
∑
≠
−
i
j
j
s
,
+
Σ
i
=
∑
≠
+
i
j
j
s
. Структура равновесия
Нэша
*
s
и его свойства в рамках предположений А.2.1-А.2.2
даются следующей теоремой.
Теорема 2.2. 1) Если
−
Σ
i
> nr
i
, то
*
i
s
= [0; a], где a – произ- вольное число из отрезка [0; 1];
Если
+
Σ
i
+ 1 < nr
i
, то
*
i
s
= [a; 1], где a – произвольное число из отрезка [0; 1];
Если nr
i
∈ [
−
Σ
i
;
+
Σ
i
+ 1], то
*
i
s
= [a; b], где a
≤ b и
a
∈ [0; min{nr
i
-
−
Σ
i
; 1}].
Доказательство теоремы 2.2 тривиально, так как заключается в проверке того, что построенные сообщения при фиксированной обстановке являются недоминируемыми, и опускается.
Следствие. В интервальном механизме активной экспертизы диктатором является АЭ с номером k (см. определение выше).
Равновесные сообщения имеют следующий вид:
(17)
∀ i < k
*
i
s
= [0; a],
∀ i > k
*
i
s
= [b; 1],
а сообщение диктатора таково, что r
k
∈ π(
*
s
).
74 Отметим, что в соответствии с результатом теоремы 2.2 одним из равновесий Нэша является сообщение всеми экспертами одина- ковых сообщений, совпадающих с отрезком [0; 1] (см. выражение (17)), то есть всем интервалом возможных значений оцениваемой величины. Понятно, что подобные сообщения (являющиеся равно- весными!) не несут для ЛПР никакой информации. Основной качественный результат теоремы 2.2 заключается в том, что в интервальных механизмах активной экспертизы сущест- вует множество равновесий Нэша. Для уменьшения их числа необходимо вводить те или иные гипотезы о поведении АЭ или модифицировать механизм, например, ограничивать «ширину» отрезков, сообщаемых АЭ, и т.д. Выше мы рассмотрели модель нечеткой активной экспертизы, в которой механизм планирования и целевые функции АЭ были четкими, а нечеткими могли быть сообщения АЭ. «Фаззифициро- вать» можно и другие параметры, например, механизм планирова- ния и др. В качестве иллюстрации в заключение настоящего разде- ла кратко рассмотрим модель экспертизы, в которой все параметры за исключением предпочтений АЭ четкие. Пусть iR – НОП i-го АЭ, i ∈ I, на множестве X = [ 0; 1], имеющее функцию принадлежности ) , ( yxiRµ, i ∈ I. Если страте- гии АЭ и механизм планирования четкие, то четким является и результат экспертизы – коллективное решение. Механизм планирования π( ⋅) и НОП АЭ iR индуцируют на множестве Si = [ 0; 1] НОП iQ с функцией принадлежности iiiQsssi− , , ( 2 1 µ). При фиксированной обстановке игры s-i, в част- ном случае, функцию принадлежности НОП iQ можно записать в виде: ) , , ( 2 1 iiiQsssi− µ = )) , ( ), , ( ( 2 1 iiiiRssssi− − ππµ. Значит НОП iQ является прообразом НОП iR при отображении π( ⋅), то есть объединением всех нечетких множеств в Si× Si, образы которых при этом отображении лежат в нечетком множестве iQµ (опреде-
75
ление прообраза нечеткого множества для общего случая приведе- но в [82]).
Построим в S
i
нечеткое подмножество недоминируемых аль- тернатив с функцией принадлежности
(18)
η
i
(s
i
, s
-i
) = 1 -
i
S
z
∈
sup
[
)
,
,
(
i
i
Q
s
s
z
i
−
µ
-
)
,
,
(
i
i
Q
s
z
s
i
−
µ
].
Функцию (18) можно рассматривать как функцию выигрыша
i-го АЭ и определять по ней нечеткое равновесие Нэша. В пре- дельном случае (при переходе к четким предпочтениям АЭ) нечет- кое равновесие Нэша переходит в четкое (см. выражение (6)).
|
|
|