лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
 Скачать 7.21 Mb.
|
 (рис. 76). Заметив, что уравнения второй системы задают взаимно обратные соответствия, и учитывая, что графики взаимно обратных соответствий симметричны относительно прямой у=х, легко найти два решения этой системы, которые лежат на прямой у = х. Это значительно упростит решение исходного уравнения.Приведенный пример относится к числу задач, которые можно было бы назвать нестандартными. Необходимо отметить, что при углубленном изучении математики роль стандартных задач, основная цель которых — отработка навыков использования нормативного материала, также весьма значительна, так как задачи, подобные приведенной, могут базироваться только на достаточно высоком уровне владения техникой алгебраических преобразований. Иначе учащиеся не смогут оценить метод решения и применить его в сходной ситуации. Наконец, отметим, что при использовании задач в качестве мотивировки введения нового математического понятия или метода особенно полезны содержательные задачи. Одним из важных этапов их решения является составление соответствующих математических моделей, которые служат далее предметом изучения. 3) Выделение важнейших математических понятий, идей, фактов и методов. При изучении каждой из математических дисциплин школьники знакомятся с огромным количеством новой для них информации. Обилие рассматриваемого материала не должно скрывать от них наличия в каждом курсе ведущих идей, методов, приемов, которые наиболее важны для усвоения. Для выделения и специального направленного изучения наиболее важного материала используется весь комплекс методических средств, находящихся в распоряжении учителя. К указанию роли и значения такого материала следует неоднократно возвращаться. На основе второго закона Ньютона для решения задачи составляется дифференциальное уравнение  Ответ, полученный при решении дифференциального уравнения, подвергается дальнейшему исследованию — находится предел скорости на бесконечности: она стремится к постоянному значению  Однако этим решение не ограничивается; ставится вопрос, какому реальному процессу соответствуют условие и качественный результат задачи, и дается один из возможных ответов — свободное падение парашютиста.Для этого процесса приведенное дифференциальное уравнение является его математической моделью. В связи с установлением такого соответствия учитель должен обратить внимание учеников на несколько типичных моментов, существенных для правильной оценки полученного решения как функции, описывающей процесс свободного падения: качественное совпадение поведения функции и поведения процесса (известно, что скорость парашютиста постепенно стабилизируется), возможность опытной проверки предположения о влиянии среды на движение и др. На этом примере видно, какое значение имеет понятие математической модели в аспекте приложений математики. В силу своей сложности это понятие, по-видимому, не может являться предметом изучения в школе. Но крайне важно, чтобы оно было проиллюстрировано на развернутом примере. Этой цели может служить, например, курс дифференциальных уравнений, ориентированный на какое-нибудь одно поле приложений, и развитие теории в направлении качественного анализа процессов (задачи биологического характера; задачи, опирающиеся на законы Ньютона, и т. п.) (см. [57]). 5) Строгость при изучении математики. Углубленный курс математики, как и обычный, не может быть построен с «максимальной» строгостью изложения материала. Вместе с тем следует добиваться осознанного отношения учеников математических классов к проведению доказательств и в более широком плане ясности понимания ими структуры математической теории, роли доказательств в ней. Этого можно добиваться различными способами, причем наиболее целесообразно использовать их совместно. а) При изучении каждой достаточно обширной темы необходимо несколько утверждений приводить с возможно более развернутыми, полными доказательствами, например: в теме «Пределы последовательностей» — сходимость последовательности, определяющей число е, в теме «Первообразная и интеграл» — теорему о множестве первообразных функции, непрерывной на промежутке. Сказанное относится преимущественно к курсу математического анализа. В курсе алгебры доказательства, как правило, «сами собой» получаются достаточно строгими, если только основные свойства арифметических операций явно сформулировать как аксиомы. Это обстоятельство необходимо четко отметить в преподавании. б) Знакомство с аксиоматическим методом входит в число программных требований к изучению математики. Традиционно это знакомство связано с курсом геометрии. При изучении первых разделов стереометрии (свойства прямых, плоскостей, параллельность и перпендикулярность в пространстве) проводится не просто строгое доказательство отдельных теорем, но аксиоматически строится значительная часть курса стереометрии. Важно, чтобы при изучении этого материала был усвоен и принцип такого построения теории. Этому целесообразно посвятить целый урок, на котором учитель может синтезировать способ организации материала. Здесь же, по нашему мнению, следует сообщить, что подобный, вполне строгий способ изложения теории далеко не всегда удобен для изучения. В дальнейшем учителю необходимо систематически отмечать неполноту рассуждений в тех случаях, когда это представляется методически целесообразным. В частности, очень полезно предъявлять контрпримеры, показывающие значение той или иной посылки. Например, в доказательстве теоремы о множестве первообразных непрерывной функции, заданной на промежутке, довольно малозаметным выглядит условие, что область определения функции — именно промежуток, а не более сложное числовое множество. Желательно предложить ученикам вопрос, где именно в доказательстве было использовано это предположение, а далее привести пример, показывающий, что без него утверждение перестает быть верным. Простейший пример такого рода доставляет функция у = \/х на естественной области определения. Можно проверить, что множество ее первообразных состоит из функций вида  где  — производные константы. Таким образом, это множество зависит не от одного, а от двух параметров.Хороший набор контрпримеров к различным свойствам функций, изучаемым в курсе математического анализа, имеется в [48]. в) Исключительно большое значение в формировании правильного представления о математической строгости имеет сопоставление строгих доказательств с рассуждениями, использующими геометрическую наглядность или физическую интерпретацию математических понятий. Например, в математическом классе, по-видимому, теорему Ла-гранжа полезно вывести в стандартной последовательности: теорема Больцано — Вейерштрасса — теорема Ролля — теорема Коши — теорема Лагранжа (это поучительный цикл задач, его следует задать для решения в классе и разобрать). Однако познавательная ценность I доказательства будет невелика, если не интерпретировать теорему Лагранжа физически (с использованием понятия мгновенной скорости) и геометрически (с использованием понятия касательной). Точно так же при изучении алгебры неравенство Коши — Буня-ковского совершенно необходимо сопоставить с соответствующим свойством скалярного произведения. г) Приведенный пример аксиоматического построения начал стереометрии (б) не единственный, который может быть использован в математическом классе. Накоплен некоторый опыт аксиоматического изложения первых свойств действительных чисел (см. [51], с. 15—19). Следует отметить, что при чтении курсов лекций во многих случаях  предоставляется возможность первые свойства изучаемой теории вывести строго из аксиом. Это относится, в частности, к таким темам, как теория групп или понятие метрического пространства. д) Следует сказать также несколько слов о требованиях, которые нужно предъявлять к выполнению учениками задач и упражнений. Записи должны быть логичными, четкими, как и речь. Не следует допускать злоупотребления символикой. Необходимо формировать в учениках чувство формы и меры. Здесь в значительной степени могут проявляться воспитывающие функции курса математики. 6) Внутрипредметные связи дисциплин математического цикла. Общей чертой изучения математики в массовой и математической школах является тесная взаимосвязь ведущих линий курса математики. В качестве конкретных примеров можно привести взаимосвязи, в значительной мере определяющие стиль изучения следующих тем: графики функций — геометрические преобразования, неравенства — геометрическое содержание неравенств, площадь — интеграл. В математических классах к связям такого рода добавляется незначительное число новых. Примерами могут служить связи дифференциальных уравнений с геометрией (через понятие касательной), комплексных чисел с тригонометрией и решением уравнений, комбинаторики с теорией вероятностей. Можно отметить, что при углубленном изучении математики внутрипредметные связи ориентированы на формирование приемов решений задач. Рассмотрим несколько примеров. Задача I. Все изображенные на чертеже (рис. 77) отрезки являются хордами окружности  Найти величину угла  если |