лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
![]()
|
§ 2. ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ Факультативные занятия форма учебной работы, предусмотренная постановлением ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 10 ноября 1966 г. «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы». Назначение факультативных занятий состоит в развитии способностей и интересов учащихся в сочетании с общеобразовательной подготовкой по избранному предмету и на ее основе. Положение факультативов в ряду форм углубленного изучения отдельных учебных предметов описывается следующим образом: «Факультативы продолжают оставаться одним из основных средств дифференциации обучения в условиях всеобщего среднего обязательного образования, помогают решать задачи совершенствования содержания и методов обучения, коммунистического воспитания учащихся, их подготовки к жизни, к труду, в том числе и в сфере материального производства» [43]. 2.1. Цели организации факультативных занятий по математике в основном те же, что и цели организации математических классов. Это расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса к предмету, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств средствами углубленного изучения математики. Факультативные занятия содействуют профессиональной ориентации учащихся в области математики и ее приложений, облегчая тем самым выбор специальности и дальнейшее совершенствование в ней. Различия в деятельности факультативных групп и математических классов связаны с тем, что первые не требуют перестройки системы обучения математике. Они работают на базе общего курса математики. Организация факультативных занятий значительно проще, чем математического класса. Поэтому факультативные занятия — более массовая форма повышенной математической подготовки школьников. Факультативные занятия играют большую роль в совершенствовании школьного, в том числе математического, образования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, в широких пределах варьировать объем и сложность изучаемого материала. Эту черту факультативов, позволяющую учителю проявить творческий подход к работе, отметил М. А. Прокофьев: факультативы есть «... средство «обкатки» большого знания. Затем содержание факультатива, выверенное и ясное, должно будет войти в общеобразовательные программы. Таков один из путей к качеству, к новому в образовании» (Новый экзамен. — Юность, 1972, № 2). 2.2. Организация факультативных занятий по математике. В настоящее иремя предусмотрены факультативные занятия начиная с VII класса. Факультативные группы численностью 15—20 (и более) человек создаются из учащихся параллельных классов. Допустимо также создание объединенных групп из учеников последовательных классов (VII—VIII или IX—X); могут быть организованы и межшкольные группы. Для успешного проведения факультатива необходимо, если только позволяют конкретные условия, внести их в школьное расписание, не допускать срывов и переносов занятий. Проведение факультативов требует высокого уровня профессиональной подготовки учителя. В ряде случаев для руководства факультативными группами приглашают преподавателей высших (особенно педагогических) или средних специальных учебных заведений. В Обучение на факультативах ведется по программам, рекомендованным Министерством просвещения СССР. К настоящему времени разработаны пособия по многим темам факультативных занятий (см. [55], [56], [57]). 2.3. Особенности факультативных занятий по математике. Факультативный курс математики (взятый в целом или же рассматриваемый для одного года обучения) представляет собой систему нескольких тем, относительно слабо связанных между собой. Каждая из них развивает некоторые из основных для школьной математики идей, понятий, методов. Отсюда следует, что факультативные занятия необходимо соотносить с основным курсом математики. Для достижения такой связи используются разнообразные методические приемы: систематизация, когда соответствующая факультативная тема изучается после того, как в основном курсе накоплен обширный относящийся к ней материал; последовательное развертывание теории, когда в основном курсе имеется начальный этап ее построения, не доведенный до обобщающих результатов; развернутое описание приложений определенного метода, если в основном курсе они только упомянуты, и многие другие. Основной курс математики служит, таким образом, источником тем (и конкретных проблем) для углубленной разработки на факультативе. Взаимосвязью основного и факультативного курсов естественно воспользоваться для развития мышления учеников, если в подходящие моменты обращать их внимание на характер работы с материалом. Например, можно не просто производить систематизацию, но и обращать внимание учеников на систематизацию как таковую, объясняя ее цели, используемые математические средства и т. д. Воздействие факультативного курса на развитие (в частности, математического) мышления школьников еще более усилится, если связи между ним и основным курсом станут двусторонними. Достигнуть этого поможет изложение на уроках математики результатов, относящихся к проблемам, поставленным в основном курсе, но полученным на факультативе. Приведем конкретный пример. На уроках алгебры при рассмотрении рекуррентного способа задания последовательностей на примере последовательности чисел Фиббоначчи был предложен парадокс превращения прямоугольника с площадью 65 в квадрат с площадью 64 (рис. 81). Парадокс легко разрешается с применением признаков подобия треугольников (линия ЛЕС, так же как и AFC, изображенная на чертеже отрезком, в действительности является ломаной). Однако у него имеется и более глубокое, алгебраическое содержание, связанное со свойствами чисел Фиббоначчи: Еще одна особенность факультативных занятий — их преемственность в отношении к многим формам внеклассной и внешкольной работы по математике. Факультативы, как и обучение в математических классах, дополняют математические кружки не только новым содержанием, новыми подходами к его раскрытию, но и компонентами, присущими любому учебному предмету: связностью изложения, длительностью цикла изучения темы и др. В этом отношении на занятиях кружков (в IV—VII классах) может проводиться соответствующая подготовка, работа по формированию интересов и склонностей ребят, объяснение возможностей дальнейшего углубления знаний и тех качеств личности, которые она требует. Такая подготовка существенно облегчает переход к систематическому изучению определенных разделов математики на факультативных занятиях. Наконец, факультативные занятия предоставляют большие возможности подготовки к математическим олимпиадам, выступлениям в школьных математических лекториях и вечерах. Таким образом, факультативы могут оказывать положительное воздействие на внеклассную работу. 2.4. Содержание факультативных курсов. Оно определено программой [44] и предусматривает изучение разделов: «Избранные вопросы математики» (VII—X классы, 1 ч в неделю), «Математика в приложениях» (IX—X классы, 1 ч в неделю), «Алгоритмы и программирование» (спецкурс в VIII, IX или X классе, 35 ч). К программе прилагается список литературы, рекомендованный для изучения каждой темы. В IX—X классах учителю предоставляется право изучать один из первых двух разделов полностью или составить комбинированную программу, взяв по одной теме из каждого раздела. Направленность изучения описывается в объяснительной записке к программе так: «... предполагается, что в процессе занятий будет показано: история возникновения ряда математических методов, концепций и идей, их значение для других наук и областей практической деятельности» _44, с. 35]. Остановимся на некоторых вопросах раскрытия материала факультативного курса. 1) Исторический материал на факультативах. Историческому аспекту математики на факультативных занятиях можно уделить большее внимание, чем в основном (и даже в углубленном) курсе, поскольку на них выносится сравнительно немного вопросов, но изучаемых зато с достаточной глубиной. Степень включенности исторических сведений в различные темы факультативного курса может меняться — от эпизодических упоминаний о фактах и личностях до изложения темы в плане ее последовательного исторического развития. Не все темы предоставляют в этом отношении равные возможности; но, во всяком случае, нельзя недооценивать как педагогического (повышение интереса к предмету), так и методологического (указание роли практики в постановке теоретических задач, разъяснение сил, движущих развитием научного знания) влияния исторических сведений на формирование мировоззрения и развитие мышления школьников. Приведем примеры включения исторических сведений в некоторые темы факультативного курса. «Делимость и простые числа», «Системы счисления и арифметические устройства ЭВМ» (VII класс). В первой из этих тем достаточно, по-видимому, отдельных упоминаний о выдающихся ученых в связи с рассказом об их достижениях (решето Эратосфена; простые числа в «Началах» Евклида; вклад Ферма в теорию чисел; величайшие достижения русских и советских ученых — П. Л. Чебышева, И. М. Виноградова и т. д.). Вторая тема предоставляет большие возможности. В отношении систем счисления наиболее поучительно проследить за процессом поиска наиболее оптимальной системы, показать преимущества позиционного принципа с точки зрения простоты алгоритмов вычислений. При изучении арифметического устройства ЭВМ невозможно обойти молчанием историю развития средств вычислительной техники — от первых арифмометров Паскаля и Шиккарда до современных вычислительных комплексов. В целом исторические сведения здесь относятся к изложению принципиально важных вопросов, хотя основной упор должен быть сделан на конкретно-математическом содержании материала. «Бесконечные множества» (VIII класс). Теоретико-множественные символика и конструкции образуют важную часть языка современной математики, поэтому в изложение этой темы могут быть включены разнообразные сведения о происхождении и развитии математических символов. С методологической точки зрения исключительный интерес представляют парадоксы теории множеств; некоторые парадоксы могут быть приведены на занятиях. Следует учесть, однако, что далеко не все они относятся к числу разрешенных в современной математике. Это живая, развивающаяся в настоящее время глава математической логики. Поэтому для изложения соответствующего материала учитель должен достаточно уверенно владеть этим разделом математики. Гораздо легче остановиться на истории открытия несчетных множеств, доказательстве существования иррациональных и трансцендентных чисел (сопоставляя доказательства Кантора и Лиувилля), мощности множества точек единичного квадрата и аналогичных вопросах. «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» (IX класс). Роль исторических сведений здесь очень велика, — настолько, что вся тема может быть построена в историческом плане. Может быть сделан акцент на практическую важность статистической обработки информации (статистика числа рождений и смерти, деятельность страховых обществ), первых попыток развития теории вероятностей как отражения запросов развития общества, роли азартных игр как простейшей математической модели, на которой отшлифовывались основные понятия теории вероятностей. В качестве финала такого построения курса можно рассказать о современных методах контроля качества изделий. «Комплексные числа и многочлены» (X класс). Исторический аспект данной темы связан прежде всего с идеей последовательного построения числовой системы. На этой основе можно развернуть поучительную картину событий, длившуюся свыше трех тысяч лет, охватившую многие народы и страны. Можно рассказать о том, как постепенно происходило признание новых числовых областей в связи с развитием теории и нахождением областей приложений. Можно остановиться и на отдельных более специальных вопросах, давая им историческое освещение: развитие техники выполнения арифметических операций с комплексными числами; решение уравнений в радикалах; геометрическая интерпретация комплексных чисел. Полезно рассказать о роли комплексных чисел в развитии математического аппарата ряда разделов физики. 2) Прикладная направленность факультативного курса математики. Важнейшей особенностью факультативных занятий по математике является их направленность в сторону приложений математики. Это относится не только к темам курса «Математика в приложениях», где изучение приложений, проведение практических работ предусмотрено программой. При изучении всех тем курса «Избранные вопросы математики» необходимо предусмотреть обсуждение того значения, которое они имеют в различных областях науки и производства. Приведем простые примеры: двоичный сумматор («Системы счисления»), переключательная схема («Элементы математической логики»), мнимые числа в аэродинамике и теории электрических цепей («Комплексные числа и многочлены»). Наибольшие (вернее, наиболее просто реализуемые в условиях школьного преподавания) возможности для иллюстрации прикладного значения математики имеет тема «Дифференциальные уравнения» (см., например, [50]). Отметим, что прикладной аспект математики проявляется не только в процессе изучения целой темы или крупного ее раздела. Часто он связан с небольшим кругом понятий или даже с отдельным понятием. Например, можно привести интересные приложения чисел Фиббоначчи к различным прикладным вопросам: росту дерева, размножению некоторых видов животных, составлению программы телепередач и др. (см. [49], с. 326). 3) Практические работы. В программу раздела «Математика в приложениях» включены практические работы по каждой теме. Эта форма занятий в наибольшей степени сближает процесс обучения в школе с различными применениями знаний на практике. Для проведения практических работ учитель составляет инструкцию, в которой нужно определить цели практической работы, задания для учащихся, порядок работы. Задания полезно подбирать дифференцированно, а при подведении итогов показать результаты деятельности всей группы как целого. В качестве примера рассмотрим практическую работу по теме «Многогранники» (IX класс, практическая работа № 2). При подготовке инструкции (построение разверток, проекций и моделей правильных и полуправильных многогранников) должно быть предусмотрено составление эскиза, проверка его учителем, изготовление по эскизу разверток и моделей призм, пирамид и т. д. (подробные рекомендации имеются в [7]). Каждый участник факультативной группы работает при этом самостоятельно; для изготовления моделей более сложных многогранников целесообразно использовать групповую (3—4 человека в группе) форму выполнения задания. Эта форма полезна в отношении развития навыков коллективной работы (см. § 3, п. 1.1). Перед выполнением задания может быть заслушано сообщение об основных видах правильных и полуправильных многогранников. Перед выполнением лабораторной работы «Метод итерации» в теме «Последовательности и уравнения» (IX класс) учащиеся могут познакомиться с методом последовательных приближений и его применением к решению уравнений (см. [9}), после чего им предлагаются задания для самостоятельного решения уравнений и систем уравнений. 2.5. Методы обучения на факультативных занятиях. При выборе методов и приемов обучения на факультативных занятиях необходимо учитывать содержание факультативного курса, уровень развития и подготовленности учащихся, их интерес к тем или иным разделам программы. Одно из главнейших требований к методам состоит в активизации мышления учащихся, развитии самостоятельности в различных формах ее проявления. Как и в работе с математическими классами, на факультативах могут использоваться разнообразные формы и методы проведения занятий: лекции, практические работы, обсуждение заданий по дополнительной литературе, доклады учеников, составление рефератов, экскурсии. Рассмотрим некоторые из них. Часть материала может быть изложена лекционно, особенно при его синтезе и обобщении. Цель учителя — показать, как проводить подобную организацию материала: некоторые детали доказательств можно опустить, из определений привести только самые главные, но конкретные методы решения задач изложить в таком виде, чтобы ясно прослеживался путь решения. Такие лекции полезно проводить по "материалу, в котором уделяется большое внимание отработке навыков. Например, в теме «Функции и графики» таким является материал, относящийся к понятию асимптоты. Иной тип лекций используется, когда целью служит не систематизация навыков, а общее развитие школьников, например в отношении понимания прикладной роли математики. Здесь важно выделить не методы решения отдельных типов задач, а идеи, служащие основой для них, или же сами методы, но в обобщенной форме. В таких лекциях большое место занимают история, примеры из современной жизни и производства. Примеры: теория вероятностей в нашей жизни — в теме «Теория вероятностей и элементы комбинаторики»; зачем нужны комплексные числа — в теме «Комплексные числа и многочлены». При проведении лекции возможны беседы с учениками, обсуждение возникающих по ходу рассказа вопросов, постановка задач и др. Полезная форма работы — подготовка учениками рефератов. Выполнение таких заданий важно прежде всего в отношении развития навыков самообразования, удовлетворения индивидуальных интересов учеников. Одновременно индивидуальное задание должно иметь ценность для всех участников факультативной группы. Следует стремиться к тому, чтобы подготовленные доклады заслушивались и обсуждались. К подготовке доклада можно привлечь нескольких ребят, заранее изучивших его. Они могут выполнять роль ассистентов лектора или его оппонентов. Для рефератов нужно подбирать темы, по которым имеются легкодоступные источники. Наибольшее распространение получил журнал «Квант», имеется и много других возможностей (см. литературные указания в § 1, п. 5.7). Приведем примеры тем рефератов с указанием литературы, рекомендуемой для ученика: «Операции над множествами» ([10], Квант, 1973, № 7, с. 2); «Числа Фиббоначчи» ([15], [49], Квант, 1979, № 5, с. 73); «Правильные многогранники» ([7], Квант, 1973, № 5, с. 26; Математика в школе, 1979, № 3, с. 73). План реферата можно предложить ученику составить самостоятельно, потом проверить его и дать рекомендации по работе с литературой. Очень большое значение для успешности усвоения материала имеет подбор задач. Вводные задачи на факультативных занятиях преследуют цель включения учащихся в самостоятельную творческую работу; подчас учитель может намеренно привести задачу, способную поставить учеников в тупик. Например, перед изучением теории рядов на факультативных занятиях в IX классе можно обсудить различные способы «вычисления суммы» ряда 1 — 1 +1 — . . .: Этот Следует предусмотреть также в нужных местах изложения проблемные задачи, циклы для самостоятельного решения, задачи для закрепления и формирования навыков, исследовательские задачи. Время, выделенное программой для решения задач повышенной трудности (11 ч), можно распределить в течение всего учебного года. Более сложные задачи можно рассмотреть на заключительных занятиях по темам. На этих же занятиях целесообразно ознакомить школьников с программами вступительных экзаменов и особенностями обучения в вузах. Остановимся вкратце на использовании наглядных и технических средств обучения на факультативных занятиях. Оно во многих случаях позволяет активизировать познавательную деятельность, не говоря о том, что некоторые виды технических средств (например, применение кинофрагментов) обладают исключительно большими возможностями наглядного показа материала обучения. При изучении некоторых тем можно воспользоваться диафильмами, например: «Счетная техника» в теме «Системы счисления», «Преобразования графиков функций» в теме «Функции и графики», «Геометрическое изображение комплексных чисел» в теме «Комплексные числа и многочлены». Факультативные занятия должны быть интересными, увлекательными для школьников. Вот что пишет о популяризации науки Я- И. Перельман: «. . . спору нет, наука бесконечно интересна,— но для кого? Для того, кто в нее углубился, кто овладел ее методом, а не для того, кто стоит лишь в ее преддверии. Популяризатор не может возлагать надежд на увлекательность самого предмета и освободить себя от забот о поддержании внимания своего читателя» (Неделя, 1968, № 15). Хорошо известно, что занимательность изложения помогает раскрытию содержания сложных научных понятий и проблем. Занимательность поможет школьникам освоить факультативный курс, содержащиеся в нем идеи и методы математической науки, логику и приемы творческой деятельности. В этом отношении цель учителя — добиться понимания учениками того, что они подготовлены к работе над сложными проблемами, однако для этого необходимы заинтересованность предметом, трудолюбие, владение навыками организации своей работы. |